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Solutions d’énigmes

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Dans cette rubrique je range des solutions que j’ai trouvées à des énigmes mathématiques issues de concours de jeux mathématiques ou de l’excellent site www.diophante.fr

Articles

La meilleure connexion, Janvier 2010
Le casse tête de novembre 2009 de Diophante. Un excellent problème d’optimisation qui m’a bien occupé et qui m’a fait découvrir le point de Fermat-Toricelli et les échelles de Steiner.
Piper deux dés pour rendre les sommes équiprobables, Mars 2010
Peut-on piper deux dés de telle sorte que toutes les sommes de 2 à 12 soient équiprobables ?
Integral of the fractional part of the reciprocal of x (video), Septembre 2010
Solution au problème du mois de février 2010 PotM sur le site de Les Reid : http://people.missouristate.edu/lesreid/Adv133.html Ma solution est publiée sur son site sous forme de pdf ci-joint, et pour le fun j’en ai fait une video explicative en anglais. C’est ma première video de ce genre donc soyez indulgent ;-)
Cadet Rouselle, Septembre 2010
Solution du casse tête du mois d’avril 2010 de www.diophante.fr
Rolling stone, Septembre 2010
My solution to Les Reid advanced problem #104 :
http://people.missouristate.edu/lesreid/Adv104.html A Circle Rolling Down a Ramp.
A circle one foot in radius is placed on a ramp that makes an angle of 30 degrees with the horizontal so that a point P on the circle touches the ramp 10 feet from the base of the ramp. As the circle rolls down the ramp, what is the maximum height that P attains (...)
Le meilleur humidificateur, Avril 2012
Probleme du mois de may 2011 de Les Reid. Optimisation d’une aire. My solution to Les Reid’s advanced problem #148 : Maximizing Humidifier Efficiency
Clairières dans la forêt. , Avril 2012

Ma solution au problème de Diophante A1981. Un problème d’arithmétique utilisant le théorème des restes chinois.

Dans cette immense forêt, des arbres ont été plantés aux points de coordonnées x et y entières (négatives, positives ou nulles) par rapport à une origine O. Un arbre est invisible depuis cette origine si le segment qui le relie à O passe par au moins un autre arbre. On abat tous les arbres invisibles depuis l’origine. Démontrer que la forêt contient alors des clairières carrées de dimensions quelconques dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Localiser les clairières carrées de côtés 3 et 4 situées strictement à l’intérieur du secteur défini par 0 < x < y et dont le centre est à une distance inférieure à 2011 de l’origine.

Un impair, deux pairs, trois impairs..., Avril 2012
Enoncé : On considère la suite strictement croissante des entiers naturels qui commence par le premier nombre impair (1) puis se poursuit avec les deux nombres pairs qui suivent 1 : 2 et 4 puis avec les trois nombres impairs qui suivent 4 : 5,7 et 9, puis avec les quatre nombres pairs qui suivent 9 : 10, 12, 14 et 16 etc.. Trouver le 2009ième terme puis donner la formule exprimant le n-ième terme en fonction de n.
Une bien étrange figure . . ., Avril 2012
Une figure à construire à la règle et au compas. Ce problème qui est de mon cru est plus difficile qu’il n’y parait. J’en donne une solution. Le problème est ensuite paru sur Diophante.fr.
Aux fumeurs repentis, Avril 2012
Un problème de partage de triangles en deux surfaces égales avec des allumettes.
Rectangle interdit, Avril 2012
Sur un échiquier (8 x 8 cases), on marque n cases, en évitant que les centres de 4 des cases marquées ne forment un rectangle à côtés parallèles aux côtés de l’échiquier. Quelle est la plus grande valeur possible de n ?
Réseau interstellaire, Avril 2012
Raccorder les 8 étoiles situées aux sommets d’un cube d’un parsec de côté par un réseau de segments de longueur totale minimale sachant que des nœuds en dehors des sommets sont autorisés.
Nombres-compressibles, Avril 2012
Un nombre entier ayant n chiffres dans le système décimal est dit compressible si on peut l’écrire à l’aide des 4 opérations usuelles, de l’exponentiation, des 10 chiffres mais en utilisant strictement moins de n chiffres.
(20102011 !)^2 est-il supérieur à 20102011^20102011 ?, Avril 2012
(20102011 !)^2 est-il supérieur à 20102011^20102011 ? Une solution utilisant une minoration du logarithme de la factorielle dûe à Daniel Perrin
Suite de Jourdin, Avril 2012
Un calcul du terme général d’une suite. On se ramène à une suite arithmético-géométrique.
Découpage d’un triangle en deux coups de ciseaux, Septembre 2014
Casse-tête de Diophante mai 2014
A cute triangle. (Maths central), Septembre 2014
Soit cinq segments, dont le plus long ne dépasse pas la somme des longueur des deux plus courts. On peut donc former dix triangles en choisissant n’importe quels des trois segments comme côtés. Démontrer qu’au moins un de ces dix triangles a trois angles aigus.
Drawing a bisector in a gymnasium., Septembre 2014
Two straight non-parallel lines are drawn on a gymnasium floor, construct the portion of the bisector of the angle that would be formed by these two lines.
The rhombic dodecahedron, Septembre 2014
A solid is formed by placing congruent regular square pyramids on each face of a cube.
- What is the maximum value of V/S, where V is the volume and S the surface area of the solid ?