MATHZANI http://prof.pantaloni.free.fr/ MATHZANI SPIP http://blogs.law.harvard.edu/tech/rss fr MATHZANI prof.pantaloni@laposte.net prof.pantaloni Sun, 30 Apr 2017 16:54:31 +0200 0000 :: href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/siteon0.jpg" MATHZANI http://prof.pantaloni.free.fr MATHZANI Ressources algorithme des IREM http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article173 <p class="spip">Ci dessous un tableau fait par la C2i TICE (Commission inter-IREM TICE) qui recense les ressources des IREM sur l'algorithmique.</p> <p class="spip"><a href="https://docs.google.com/spreadsheets/d/1XMbedKlpY81Vs7HpLxCqe_icD8Y9cRLtY4Aflbc6pso/pubhtml?gid=1566202113&single=true" class="spip_out">Lien vers le tableau</a></p> Fri, 24 Mar 2017 15:51:50 +0100 prof.pantaloni <p class="spip">Ci dessous un tableau fait par la C2i TICE (Commission inter-IREM TICE) qui recense les ressources des IREM sur l'algorithmique.</p> <p class="spip"><a href="https://docs.google.com/spreadsheets/d/1XMbedKlpY81Vs7HpLxCqe_icD8Y9cRLtY4Aflbc6pso/pubhtml?gid=1566202113&single=true" class="spip_out">Lien vers le tableau</a></p> 02. Classe inversée, côté prof. http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article172 <p class="spip"><a href="https://twitter.com/share" class="twitter-share-button" data-url="http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article172" data-text="Classe inversée, côté prof. Outils numériques pour le prof de #classeinversée en maths sur MathZani " data-via="panlepan" data-lang="fr" data-size="large" data-count="none">Tweeter</a></p> <script>!function(d,s,id){var js,fjs=d.getElementsByTagName(s)[0];if(!d.getElementById(id)){js=d.createElement(s);js.id=id;js.src="//platform.twitter.com/widgets.js";fjs.parentNode.insertBefore(js,fjs);}}(document,"script","twitter-wjs");</script> <p class="spip">Pour la classe inversée, j'utilise différents outils numériques : Pronote pour ses QCM, WIMS (exerciseur en ligne), Edmodo (communication avec les élèves), sources LaTeX du livre Sesamath pour les exercices/activités, GeoGebra tube, et bien sûr mon site. <br />Vous trouverez<a href="http://prezi.com/try8ezow_cdz/?utm_campaign=share&utm_medium=copy" class="spip_out"> ici un diaporama Prezi</a> que j'ai fait pour détailler et motiver ma façon d'inverser ma classe. <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/svg/diaporama-classe-inversee-pantaloni-sozi.svg" class="spip_in">Ici une version vectorielle de ce diaporama</a> créé avec Inkscape et Sozi.</p> <h3 class="spip">QCM avec Pronote</h3> <p class="spip">Vous trouverez ici un <a href="https://docs.google.com/presentation/d/1BXLiL5dlwfBtve_Z9e6ab2QILTUmsVFQY51VY1D7Eyo/edit?usp=sharing" class="spip_out">diaporama de présentation des QCM avec Pronote</a> pour les profs en guise de tutoriel.</p> <h3 class="spip">WIMS</h3> <p class="spip">J'utilise le serveur WIMS de l'université Paris Sud : <a href="http://wims.auto.u-psud.fr/" class="spip_out">wims.auto.u-psud.fr/</a> <br />Je crée des feuilles d'exercices, j'ai une lecture de <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/wims-1.png" class="spip_in">ce qui a été fait par chaque élève</a>.</p> <p class="spip"><a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/wims-vue-eleve.png" class="spip_in">De leur côté</a> ils voient les feuilles actives, les exercices faits et non faits.</p> <h3 class="spip">Edmodo</h3> <p class="spip">Pour communiquer directement avec les élèves, j'ai inscrit la classe sur <a href="https://www.edmodo.com" class="spip_out">Edmodo</a>, ils ont l'appli sur leur portable. <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/edmodo1.png" class="spip_in">Je leur donne l'info</a> des nouveaux QCM à faire quand ils sont disponibles et autres informations (indications aux devoirs, animations, <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/qcm-edmodo.png" class="spip_in">QCM quand Pronote est en panne</a> ;-) )</p> <h3 class="spip">Sesamath</h3> <p class="spip">Toute la collection de manuels Sesamath offre ses sources en <a href="http://manuel.sesamath.net/index.php?page=manuel_et_cahiers_2nde_2014&check_cookies=1" class="spip_out">libre accès ici</a> Il y a quand même un peu de travail d'adaptation du code avec ses nombreuses macros mais cela donne une bonne base.</p> <h3 class="spip">GeoGebra</h3> <p class="spip">GeoGebra tube permet de mettre des ressources interactives en ligne. Un simple lien rend l'animation accessible aux élèves, dans un QCM Pronote par exemple. On peut aussi inscrire sa classe et poser des questions de différentes sortes (ouvertes ou QCM) à la suite de l'animation.</p> <p class="spip">Ma page GeoGebra <a href="https://www.geogebra.org/prof.pantaloni" class="spip_out">www.geogebra.org/prof.pantaloni</a> <br />Quelques exemples d'activités pour les élèves : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Animation d'introduction au <a href="https://www.geogebra.org/m/mqt9wz4k" class="spip_out">nombre dérivé</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://ggbm.at/KCb9mHHy" class="spip_out">Un jeu pour les sommes de vecteurs</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://ggbm.at/PypthDAk" class="spip_out">Suites récurrentes</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> En anglais pour la DNL : <a href="https://ggbm.at/HpsjJK8Q" class="spip_out">Break a spaghetti in three. Chances to build a triangle ?</a></p> <h3 class="spip">Ressources :</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://padlet.com/poleinnovant/classeinversee10ressourcespourselancer" class="spip_out">Classe inversée : 10 ressources pour se lancer</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://mathazay.fr/" class="spip_out">mathazay.fr</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://www.ticeman.fr/lecoutelas/" class="spip_out">Ticeman</a> blog de nouveautés TICE <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> ...</p> <p class="spip"> <!-- DEBUT DE COMMENTAIRE Avec la méthode que j'utilise, cela demande d'avoir prévu les documents pour le chapitre en avance. FIN DE COMMENTAIRE --></p> Mon, 23 Jan 2017 12:03:07 +0100 prof.pantaloni <p class="spip"><a href="https://twitter.com/share" class="twitter-share-button" data-url="http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article172" data-text="Classe inversée, côté prof. Outils numériques pour le prof de #classeinversée en maths sur MathZani " data-via="panlepan" data-lang="fr" data-size="large" data-count="none">Tweeter</a></p> <script>!function(d,s,id){var js,fjs=d.getElementsByTagName(s)[0];if(!d.getElementById(id)){js=d.createElement(s);js.id=id;js.src="//platform.twitter.com/widgets.js";fjs.parentNode.insertBefore(js,fjs);}}(document,"script","twitter-wjs");</script> <p class="spip">Pour la classe inversée, j'utilise différents outils numériques : Pronote pour ses QCM, WIMS (exerciseur en ligne), Edmodo (communication avec les élèves), sources LaTeX du livre Sesamath pour les exercices/activités, GeoGebra tube, et bien sûr mon site. <br />Vous trouverez<a href="http://prezi.com/try8ezow_cdz/?utm_campaign=share&utm_medium=copy" class="spip_out"> ici un diaporama Prezi</a> que j'ai fait pour détailler et motiver ma façon d'inverser ma classe. <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/svg/diaporama-classe-inversee-pantaloni-sozi.svg" class="spip_in">Ici une version vectorielle de ce diaporama</a> créé avec Inkscape et Sozi.</p> <h3 class="spip">QCM avec Pronote</h3> <p class="spip">Vous trouverez ici un <a href="https://docs.google.com/presentation/d/1BXLiL5dlwfBtve_Z9e6ab2QILTUmsVFQY51VY1D7Eyo/edit?usp=sharing" class="spip_out">diaporama de présentation des QCM avec Pronote</a> pour les profs en guise de tutoriel.</p> <h3 class="spip">WIMS</h3> <p class="spip">J'utilise le serveur WIMS de l'université Paris Sud : <a href="http://wims.auto.u-psud.fr/" class="spip_out">wims.auto.u-psud.fr/</a> <br />Je crée des feuilles d'exercices, j'ai une lecture de <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/wims-1.png" class="spip_in">ce qui a été fait par chaque élève</a>.</p> <p class="spip"><a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/wims-vue-eleve.png" class="spip_in">De leur côté</a> ils voient les feuilles actives, les exercices faits et non faits.</p> <h3 class="spip">Edmodo</h3> <p class="spip">Pour communiquer directement avec les élèves, j'ai inscrit la classe sur <a href="https://www.edmodo.com" class="spip_out">Edmodo</a>, ils ont l'appli sur leur portable. <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/edmodo1.png" class="spip_in">Je leur donne l'info</a> des nouveaux QCM à faire quand ils sont disponibles et autres informations (indications aux devoirs, animations, <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/qcm-edmodo.png" class="spip_in">QCM quand Pronote est en panne</a> ;-) )</p> <h3 class="spip">Sesamath</h3> <p class="spip">Toute la collection de manuels Sesamath offre ses sources en <a href="http://manuel.sesamath.net/index.php?page=manuel_et_cahiers_2nde_2014&check_cookies=1" class="spip_out">libre accès ici</a> Il y a quand même un peu de travail d'adaptation du code avec ses nombreuses macros mais cela donne une bonne base.</p> <h3 class="spip">GeoGebra</h3> <p class="spip">GeoGebra tube permet de mettre des ressources interactives en ligne. Un simple lien rend l'animation accessible aux élèves, dans un QCM Pronote par exemple. On peut aussi inscrire sa classe et poser des questions de différentes sortes (ouvertes ou QCM) à la suite de l'animation.</p> <p class="spip">Ma page GeoGebra <a href="https://www.geogebra.org/prof.pantaloni" class="spip_out">www.geogebra.org/prof.pantaloni</a> <br />Quelques exemples d'activités pour les élèves : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Animation d'introduction au <a href="https://www.geogebra.org/m/mqt9wz4k" class="spip_out">nombre dérivé</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://ggbm.at/KCb9mHHy" class="spip_out">Un jeu pour les sommes de vecteurs</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://ggbm.at/PypthDAk" class="spip_out">Suites récurrentes</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> En anglais pour la DNL : <a href="https://ggbm.at/HpsjJK8Q" class="spip_out">Break a spaghetti in three. Chances to build a triangle ?</a></p> <h3 class="spip">Ressources :</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://padlet.com/poleinnovant/classeinversee10ressourcespourselancer" class="spip_out">Classe inversée : 10 ressources pour se lancer</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://mathazay.fr/" class="spip_out">mathazay.fr</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://www.ticeman.fr/lecoutelas/" class="spip_out">Ticeman</a> blog de nouveautés TICE <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> ...</p> <p class="spip"> <!-- DEBUT DE COMMENTAIRE Avec la méthode que j'utilise, cela demande d'avoir prévu les documents pour le chapitre en avance. FIN DE COMMENTAIRE --></p> Débuter avec LaTeX et aide-mémoire http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article171 <p class="spip">J'ai fait et <a href="https://www.overleaf.com/articles/latex-intro-rapide-and-aide-memoire/kjrdyzrfvhvt#.WGIkzqjjLMI" class="spip_out">mis en ligne ici</a> une adaptation française d'un document d'introduction et aide-mémoire pour LaTeX fait par Dave Richeson (divisbyzero.com).</p> <p class="spip">En cliquant sur "View pdf" vous aurez le document de deux pages assez condensé. J'ai essayé de caser l'essentiel pour bien débuter. Pour aller plus loin je recommande "The not so short introduction to LaTeX" ou sa version française "<a href="http://mirrors.ctan.org/info/lshort/french/lshort-fr.pdf" class="spip_out">Une courte ( ?) introduction à LaTeX</a>". <br />En cliquant sur "Open as template" vous aurez aussi le fichier source et pourrez le faire votre, et le modifier. Le site Overleaf permet d'éditer un texte en LaTeX sans avoir à se soucier d'installer une distribution sur son ordinateur, cela me semble idéal pour débuter et pour partager des documents ainsi que pour un travail collaboratif.</p> Tue, 27 Dec 2016 09:54:13 +0100 prof.pantaloni <p class="spip">J'ai fait et <a href="https://www.overleaf.com/articles/latex-intro-rapide-and-aide-memoire/kjrdyzrfvhvt#.WGIkzqjjLMI" class="spip_out">mis en ligne ici</a> une adaptation française d'un document d'introduction et aide-mémoire pour LaTeX fait par Dave Richeson (divisbyzero.com).</p> <p class="spip">En cliquant sur "View pdf" vous aurez le document de deux pages assez condensé. J'ai essayé de caser l'essentiel pour bien débuter. Pour aller plus loin je recommande "The not so short introduction to LaTeX" ou sa version française "<a href="http://mirrors.ctan.org/info/lshort/french/lshort-fr.pdf" class="spip_out">Une courte ( ?) introduction à LaTeX</a>". <br />En cliquant sur "Open as template" vous aurez aussi le fichier source et pourrez le faire votre, et le modifier. Le site Overleaf permet d'éditer un texte en LaTeX sans avoir à se soucier d'installer une distribution sur son ordinateur, cela me semble idéal pour débuter et pour partager des documents ainsi que pour un travail collaboratif.</p> 1S2 classe inversée numérique http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article169 <p class="spip">Vous trouverez ici tous les liens utiles pour la classe numérique inversée. Pour comprendre ce qu'est la classe inversée et comment je fonctionne, voir cet article que j'ai écrit : <br />"<a href="http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article168" class="spip_in">La classe inversée, comment ça marche ?</a>" <br />Tous les collègues suivent la même <a href="http://mathazay.fr/wp-content/uploads/2015/08/Plan1S.pdf" class="spip_out">progression exposée ici</a>.</p> <h3 class="spip">WIMS</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Lien raccourci à retenir et taper dans la barre d'adresse : <a href="http://bit.do/1S2016" class="spip_out"><strong class="spip">bit.do/1S2016</strong></a> <br />On utilise le serveur <a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?lang=fr&+module=adm%2Fclass%2Fclasses&+type=participant" class="spip_out">WIMS de l'université Paris Sud</a>. Recherche Google : "WIMS psud" puis chercher votre classe : 1S2. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?session=D0030FB23E.2&+lang=fr&+module=adm%2Fclass%2Fclasses&+type=authparticipant&+class=5326068&+subclass=yes" class="spip_out">Accès direct par ce lien</a>.</p> <h3 class="spip">Vidéos</h3> <p class="spip">Voici l'adresse de toutes les playlists pour le programme de 1S :</p> <p class="spip"><a href="https://www.youtube.com/user/YMONKA/playlists?sort=dd&view=50&shelf_id=5" class="spip_out">https://www.youtube.com/user/YMONKA/playlists ?sort=dd&view=50&shelf_id=5</a></p> <h3 class="spip">Chap. 1. Le second degré</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Présentation GeoGebra du chapitre avec "<a href="https://ggbm.at/gW5xDuNe" class="spip_out">Paraboles et différentes formes des polynômes du second degré</a>." <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://drive.google.com/open?id=0B_TT24S0dYIFYUVLTnk5YU9UYUk" class="spip_out">Diaporama d'intro</a>. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/OQHf-hX9JhM?list=PLVUDmbpupCaqilBbriQYMVjn0BRBCgwdH" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Commencer par les deux premières vidéos (pour jeudi 8 sept) "Déterminer la forme canonique d'une fonction du second degré - Première" et la 2e avec ses exercices corrigés. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/Nt0Yk-0aFWQ" class="spip_out">English version</a> (Completing the square to get the vertex form). <br /><strong class="spip">English Vocabulary</strong>. Quadratic Function : "polynôme du second degré" . Vertex form : "forme canonique". <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Deuxième série de vidéos (pour jeudi 22 sept) : <br /><a href="https://youtu.be/eKrZK1Iisc8" class="spip_out">Factoriser un trinôme</a> <br /><a href="https://youtu.be/sFNW9KVsTMY?list=PLVUDmbpupCaqilBbriQYMVjn0BRBCgwdH" class="spip_out">Signe d'un trinôme</a> Deux vidéos à la suite. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-1-secdegre.pdf" class="spip_in">Livret exercices + résumé de cours</a></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.dropbox.com/s/jvs57mnmxgqlasd/DM1-somme-et-produit-2016.pdf?dl=0" class="spip_out">Devoir en temps libre : </a> NEW ! Somme et produit des racines.</p> <h3 class="spip">Chap. 2. Droites et vecteurs du plan.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.youtube.com/watch?v=NosYmlLLFB4&list=PLVUDmbpupCapi4jj5xcVprzQ9PxU36y2w" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/exo1Schap2.pdf" class="spip_in">Livret exercices + résumé de cours</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/vecteurs-et-droites-cours.pdf" class="spip_in">Fiche de cours</a> Résumé de l'essentiel à connaître.</p> <h3 class="spip">Chap.3 Suites : généralités.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/HacflVQ7DIE?list=PLVUDmbpupCaoqExMkHrhYvWi4dHnApgG_" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br />Vidéos 1,2 (3), 4 (5), et pour la représentation graphique des suites : https://youtu.be/xdYW1ZQjs4o ? <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-3-suites-gene.pdf" class="spip_in">Livret exercices + résumé de cours</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/TP-suites-recurrentes.pdf" class="spip_in">TP Suites récurrentes</a> pour montrer les différents comportements à connaître : convergence vers un point fixe, divergence vers l'infini ou en "spirale", monotonie. Les trois fichiers Geogebra utilisés sont regroupés ici sur Geogebra Tube : <br /><a href="http://ggbtu.be/b1896659" class="spip_out">http://ggbtu.be/b1896659</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://mathazay.fr/wp-content/uploads/2015/10/crs_suites.pdf" class="spip_out">Support de cours</a>. Juste le I. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Devoir en temps libre (Suite de Héron) <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/DM2-Suite-Heron-sqrt-2016.pdf" class="spip_in">énoncé</a> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/DM2-Suite-Heron-sqrt-2016-CORR.pdf" class="spip_in">CORRIGÉ</a></p> <h3 class="spip">Chap.4 Statistiques.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/Rhgv1gRUI2w?list=PLVUDmbpupCaqtS21_xAQy_SocDB8RBOaH" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> 1)2)3)5) ne devraient pas être nécessaires mais si vous avez des doutes ça vous fera des révisions. <br />1) Moyenne <br />2) Médiane <br />3) Quartiles <br /><strong class="spip">4) écart-type et variance (NEW !)</strong> <br />5) Diagramme en boîte <br /><strong class="spip">6&8) ou 7&9) Tutoriels calculette.</strong> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-4-stat.pdf" class="spip_in">Livret exercices + résumé de cours</a></p> <h3 class="spip">Chap.5 Fonctions de référence.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-5-fct-ref.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> TP GeoGebra <a href="https://ggbm.at/tTZ4ubtJ" class="spip_out">fonctions de référence</a> <br />https://ggbm.at/tTZ4ubtJ</p> <h3 class="spip">Chap.6 Suites arithmétiques et géométriques.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-6-suites-arith-geom.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/YCokWYcBBOk?list=PLVUDmbpupCarbgrGmxYnfkNLlSioDg0-5" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Vidéos #1, 2, 3, 4, 5, 7 <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Pour les sommes des termes : <a href="https://youtu.be/TZ4r—5-Lrk" class="spip_out">https://youtu.be/TZ4r—5-Lrk</a></p> <p class="spip">On pourra aussi voir cette vidéo <a href="https://youtu.be/A4eQqtPZqTQ" class="spip_out">https://youtu.be/A4eQqtPZqTQ</a> pour un exemple plus simple sur le même modèle mais ce n'est pas obligatoire.</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Je vous ai fait une jolie animation gif pour la preuve de la formule dite du "petit Gauss" donnant la somme des premiers entiers. <a href="http://vincent-pantaloni-us.tumblr.com/image/134522694237" class="spip_out">http://vincent-pantaloni-us.tumblr.com/image/134522694237</a> <br /><a href="http://www.mathwarehouse.com/animated-gifs/images/sequences-series/sum-of-n-numbers-gauss-animation.gif" class="spip_out">Celui-ci</a> sur mathwarehouse.com est encore mieux en fait.</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Programme-revision-chap5-chap6-2A5.pdf" class="spip_in">Correction d'exercices</a> pour réviser le contrôle sur les deux derniers chapitres.</p> <h3 class="spip">Chap.7 Trigonométrie.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-7-trigo.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> <br /><strong class="spip">Révisions</strong> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/Fk_YO30jXn8" class="spip_out">https://youtu.be/Fk_YO30jXn8</a> (Placer un point par enroulement autour du cercle trigonométrique - Seconde) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/1l3SzSamBRk" class="spip_out">https://youtu.be/1l3SzSamBRk</a> (Lire sur le cercle trigo des valeurs de sin et cos - Seconde) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/-fu9bSBKM00" class="spip_out">https://youtu.be/-fu9bSBKM00</a> (Passer du radian au degré et réciproquement - Première) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://www.mathwarehouse.com/animated-gifs/#sine-cosine-unit-circle" class="spip_out">Animation gif</a> pour les courbes de sin et cos. <br /><strong class="spip">New</strong> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Vidéo pour les angles associés : <br /><a href="https://youtu.be/HdJDCP8RVjQ" class="spip_out">https://youtu.be/HdJDCP8RVjQ</a></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Video sur les angles orientés de vecteurs : <br /><a href="https://youtu.be/Umes4aZEZO4" class="spip_out">https://youtu.be/Umes4aZEZO4</a></p> <h3 class="spip">Chap.8 Nombre dérivé.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Activites-chap8-deriv.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités + résultats du cours</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Activité 1 d'intro. Voir animation sur Geogebra : <a href="https://www.geogebra.org/m/mqt9wz4k" class="spip_out">chute libre et vitesse instantanée</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/UmT0Gov6yyE?list=PLVUDmbpupCar85S0V4y-Flv426LmtZ2YZ" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br /><strong class="spip">Videos</strong> : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> #1 (Le cours y est expliqué sur un exemple). <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> #2 (deuxième exemple plus complexe). <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> #7 (équation de la tangente) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> #5 <a href="https://youtu.be/0jhxK55jONs" class="spip_out">Lecture graphique du nombre dérivé et équation de la tangente.</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/1fOGueiO_zk" class="spip_out">Dérivée d'un polynôme</a></p> <h3 class="spip">Chap.9 Variables aléatoires - Loi binomiale.</h3> <p class="spip"><a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCapoStVETZ2x6iy0vCua0HvK" class="spip_out">Playlist du chapitre</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/activites_loibino.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> <br />QCM et vidéos sélectionnées : <br />1) [Proba] Loi de proba et arbres <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> video1 : <a href="https://youtu.be/fSGGe2-L3Ag" class="spip_out">Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> video 2 : <a href="https://youtu.be/_oPnmvYhJpI" class="spip_out">EXERCICE : Déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoire</a> <br />2) [Proba] Schéma de Bernoulli <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> vidéo : <a href="https://youtu.be/b18_r8r4K2s" class="spip_out">Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre (loi binomiale)</a> <br />3) [Proba] Calculer un coefficient binomial <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> video1 : <a href="https://youtu.be/-gvlrfFdaS8" class="spip_out">Calculer un coefficient binomial </a> par dénombrement. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> video 2 : <a href="https://youtu.be/6JGrHD5nAoc" class="spip_out">Calculer un coefficient binomial : triangle de Pascal</a> <br />4) [Proba] Loi binomiale (exercice) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> vidéo : <a href="https://youtu.be/ehoo0PSLWwM" class="spip_out">EXERCICE : Calculer une probabilité sur une loi binomiale</a></p> <h3 class="spip">Chap.10 Somme de termes de suites.</h3> <p class="spip">Un petit complément/révivsion <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-6-COMPLEMENT-SOMMES-suites-arith-geom.pdf" class="spip_in">Exercices</a></p> <h3 class="spip">Chap.11 Produit scalaire.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/qLlJu-sKINI" class="spip_out">Video dintroduction :</a> Travail d'une force. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/GHPvfaHnysg?list=PLVUDmbpupCaqXSHQxDf2kfOgQAIEDKggp" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Activites-chap11-pscal-2.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> avec résultats du cours. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/CORR-exos-pscal.pdf" class="spip_in">Correction de quelques exercices</a></p> <h3 class="spip">Chap.12 Dérivation et sens de variation.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/OMsZNNIIdrw?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br />#11 (Etudier les variations d'une fonction) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://ggbtu.be/m2948841" class="spip_out">Animation Geogebra</a> pour conjecturer le comportement du volume d'une boîte.</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://ggbtu.be/m2983081" class="spip_out">Animation Geogebra</a> pour l'activité 1 (volume maximal pour une boîte). Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Activites-chap12-deriv.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a></p> <p class="spip">Les trois premières pour les formules dérivation des produits (#4), inverse (#5) et quotients (#6) de fonctions dérivables.</p> <p class="spip">Pour s'entraîner : WIMS et #14 (EXERCICE : Etudier les variations d'une fonction (Niv.2))</p> <p class="spip"> <!-- DEBUT DE COMMENTAIRE {{{Chap.13 }}} - [TD Raccords lisses->doc626]/ et ce que je dois savoir sur le nombre dérivé pour le DS - [TD d'intro->doc605] FIN DE COMMENTAIRE --></p> Thu, 01 Sep 2016 19:10:07 +0200 prof.pantaloni <p class="spip">Vous trouverez ici tous les liens utiles pour la classe numérique inversée. Pour comprendre ce qu'est la classe inversée et comment je fonctionne, voir cet article que j'ai écrit : <br />"<a href="http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article168" class="spip_in">La classe inversée, comment ça marche ?</a>" <br />Tous les collègues suivent la même <a href="http://mathazay.fr/wp-content/uploads/2015/08/Plan1S.pdf" class="spip_out">progression exposée ici</a>.</p> <h3 class="spip">WIMS</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Lien raccourci à retenir et taper dans la barre d'adresse : <a href="http://bit.do/1S2016" class="spip_out"><strong class="spip">bit.do/1S2016</strong></a> <br />On utilise le serveur <a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?lang=fr&+module=adm%2Fclass%2Fclasses&+type=participant" class="spip_out">WIMS de l'université Paris Sud</a>. Recherche Google : "WIMS psud" puis chercher votre classe : 1S2. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?session=D0030FB23E.2&+lang=fr&+module=adm%2Fclass%2Fclasses&+type=authparticipant&+class=5326068&+subclass=yes" class="spip_out">Accès direct par ce lien</a>.</p> <h3 class="spip">Vidéos</h3> <p class="spip">Voici l'adresse de toutes les playlists pour le programme de 1S :</p> <p class="spip"><a href="https://www.youtube.com/user/YMONKA/playlists?sort=dd&view=50&shelf_id=5" class="spip_out">https://www.youtube.com/user/YMONKA/playlists ?sort=dd&view=50&shelf_id=5</a></p> <h3 class="spip">Chap. 1. Le second degré</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Présentation GeoGebra du chapitre avec "<a href="https://ggbm.at/gW5xDuNe" class="spip_out">Paraboles et différentes formes des polynômes du second degré</a>." <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://drive.google.com/open?id=0B_TT24S0dYIFYUVLTnk5YU9UYUk" class="spip_out">Diaporama d'intro</a>. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/OQHf-hX9JhM?list=PLVUDmbpupCaqilBbriQYMVjn0BRBCgwdH" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Commencer par les deux premières vidéos (pour jeudi 8 sept) "Déterminer la forme canonique d'une fonction du second degré - Première" et la 2e avec ses exercices corrigés. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/Nt0Yk-0aFWQ" class="spip_out">English version</a> (Completing the square to get the vertex form). <br /><strong class="spip">English Vocabulary</strong>. Quadratic Function : "polynôme du second degré" . Vertex form : "forme canonique". <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Deuxième série de vidéos (pour jeudi 22 sept) : <br /><a href="https://youtu.be/eKrZK1Iisc8" class="spip_out">Factoriser un trinôme</a> <br /><a href="https://youtu.be/sFNW9KVsTMY?list=PLVUDmbpupCaqilBbriQYMVjn0BRBCgwdH" class="spip_out">Signe d'un trinôme</a> Deux vidéos à la suite. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-1-secdegre.pdf" class="spip_in">Livret exercices + résumé de cours</a></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.dropbox.com/s/jvs57mnmxgqlasd/DM1-somme-et-produit-2016.pdf?dl=0" class="spip_out">Devoir en temps libre : </a> NEW ! Somme et produit des racines.</p> <h3 class="spip">Chap. 2. Droites et vecteurs du plan.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.youtube.com/watch?v=NosYmlLLFB4&list=PLVUDmbpupCapi4jj5xcVprzQ9PxU36y2w" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/exo1Schap2.pdf" class="spip_in">Livret exercices + résumé de cours</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/vecteurs-et-droites-cours.pdf" class="spip_in">Fiche de cours</a> Résumé de l'essentiel à connaître.</p> <h3 class="spip">Chap.3 Suites : généralités.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/HacflVQ7DIE?list=PLVUDmbpupCaoqExMkHrhYvWi4dHnApgG_" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br />Vidéos 1,2 (3), 4 (5), et pour la représentation graphique des suites : https://youtu.be/xdYW1ZQjs4o ? <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-3-suites-gene.pdf" class="spip_in">Livret exercices + résumé de cours</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/TP-suites-recurrentes.pdf" class="spip_in">TP Suites récurrentes</a> pour montrer les différents comportements à connaître : convergence vers un point fixe, divergence vers l'infini ou en "spirale", monotonie. Les trois fichiers Geogebra utilisés sont regroupés ici sur Geogebra Tube : <br /><a href="http://ggbtu.be/b1896659" class="spip_out">http://ggbtu.be/b1896659</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://mathazay.fr/wp-content/uploads/2015/10/crs_suites.pdf" class="spip_out">Support de cours</a>. Juste le I. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Devoir en temps libre (Suite de Héron) <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/DM2-Suite-Heron-sqrt-2016.pdf" class="spip_in">énoncé</a> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/DM2-Suite-Heron-sqrt-2016-CORR.pdf" class="spip_in">CORRIGÉ</a></p> <h3 class="spip">Chap.4 Statistiques.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/Rhgv1gRUI2w?list=PLVUDmbpupCaqtS21_xAQy_SocDB8RBOaH" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> 1)2)3)5) ne devraient pas être nécessaires mais si vous avez des doutes ça vous fera des révisions. <br />1) Moyenne <br />2) Médiane <br />3) Quartiles <br /><strong class="spip">4) écart-type et variance (NEW !)</strong> <br />5) Diagramme en boîte <br /><strong class="spip">6&8) ou 7&9) Tutoriels calculette.</strong> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-4-stat.pdf" class="spip_in">Livret exercices + résumé de cours</a></p> <h3 class="spip">Chap.5 Fonctions de référence.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-5-fct-ref.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> TP GeoGebra <a href="https://ggbm.at/tTZ4ubtJ" class="spip_out">fonctions de référence</a> <br />https://ggbm.at/tTZ4ubtJ</p> <h3 class="spip">Chap.6 Suites arithmétiques et géométriques.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-6-suites-arith-geom.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/YCokWYcBBOk?list=PLVUDmbpupCarbgrGmxYnfkNLlSioDg0-5" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Vidéos #1, 2, 3, 4, 5, 7 <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Pour les sommes des termes : <a href="https://youtu.be/TZ4r—5-Lrk" class="spip_out">https://youtu.be/TZ4r—5-Lrk</a></p> <p class="spip">On pourra aussi voir cette vidéo <a href="https://youtu.be/A4eQqtPZqTQ" class="spip_out">https://youtu.be/A4eQqtPZqTQ</a> pour un exemple plus simple sur le même modèle mais ce n'est pas obligatoire.</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Je vous ai fait une jolie animation gif pour la preuve de la formule dite du "petit Gauss" donnant la somme des premiers entiers. <a href="http://vincent-pantaloni-us.tumblr.com/image/134522694237" class="spip_out">http://vincent-pantaloni-us.tumblr.com/image/134522694237</a> <br /><a href="http://www.mathwarehouse.com/animated-gifs/images/sequences-series/sum-of-n-numbers-gauss-animation.gif" class="spip_out">Celui-ci</a> sur mathwarehouse.com est encore mieux en fait.</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Programme-revision-chap5-chap6-2A5.pdf" class="spip_in">Correction d'exercices</a> pour réviser le contrôle sur les deux derniers chapitres.</p> <h3 class="spip">Chap.7 Trigonométrie.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-7-trigo.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> <br /><strong class="spip">Révisions</strong> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/Fk_YO30jXn8" class="spip_out">https://youtu.be/Fk_YO30jXn8</a> (Placer un point par enroulement autour du cercle trigonométrique - Seconde) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/1l3SzSamBRk" class="spip_out">https://youtu.be/1l3SzSamBRk</a> (Lire sur le cercle trigo des valeurs de sin et cos - Seconde) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/-fu9bSBKM00" class="spip_out">https://youtu.be/-fu9bSBKM00</a> (Passer du radian au degré et réciproquement - Première) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://www.mathwarehouse.com/animated-gifs/#sine-cosine-unit-circle" class="spip_out">Animation gif</a> pour les courbes de sin et cos. <br /><strong class="spip">New</strong> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Vidéo pour les angles associés : <br /><a href="https://youtu.be/HdJDCP8RVjQ" class="spip_out">https://youtu.be/HdJDCP8RVjQ</a></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Video sur les angles orientés de vecteurs : <br /><a href="https://youtu.be/Umes4aZEZO4" class="spip_out">https://youtu.be/Umes4aZEZO4</a></p> <h3 class="spip">Chap.8 Nombre dérivé.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Activites-chap8-deriv.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités + résultats du cours</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Activité 1 d'intro. Voir animation sur Geogebra : <a href="https://www.geogebra.org/m/mqt9wz4k" class="spip_out">chute libre et vitesse instantanée</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/UmT0Gov6yyE?list=PLVUDmbpupCar85S0V4y-Flv426LmtZ2YZ" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br /><strong class="spip">Videos</strong> : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> #1 (Le cours y est expliqué sur un exemple). <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> #2 (deuxième exemple plus complexe). <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> #7 (équation de la tangente) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> #5 <a href="https://youtu.be/0jhxK55jONs" class="spip_out">Lecture graphique du nombre dérivé et équation de la tangente.</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/1fOGueiO_zk" class="spip_out">Dérivée d'un polynôme</a></p> <h3 class="spip">Chap.9 Variables aléatoires - Loi binomiale.</h3> <p class="spip"><a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCapoStVETZ2x6iy0vCua0HvK" class="spip_out">Playlist du chapitre</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/activites_loibino.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> <br />QCM et vidéos sélectionnées : <br />1) [Proba] Loi de proba et arbres <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> video1 : <a href="https://youtu.be/fSGGe2-L3Ag" class="spip_out">Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> video 2 : <a href="https://youtu.be/_oPnmvYhJpI" class="spip_out">EXERCICE : Déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoire</a> <br />2) [Proba] Schéma de Bernoulli <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> vidéo : <a href="https://youtu.be/b18_r8r4K2s" class="spip_out">Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre (loi binomiale)</a> <br />3) [Proba] Calculer un coefficient binomial <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> video1 : <a href="https://youtu.be/-gvlrfFdaS8" class="spip_out">Calculer un coefficient binomial </a> par dénombrement. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> video 2 : <a href="https://youtu.be/6JGrHD5nAoc" class="spip_out">Calculer un coefficient binomial : triangle de Pascal</a> <br />4) [Proba] Loi binomiale (exercice) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> vidéo : <a href="https://youtu.be/ehoo0PSLWwM" class="spip_out">EXERCICE : Calculer une probabilité sur une loi binomiale</a></p> <h3 class="spip">Chap.10 Somme de termes de suites.</h3> <p class="spip">Un petit complément/révivsion <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/chap-6-COMPLEMENT-SOMMES-suites-arith-geom.pdf" class="spip_in">Exercices</a></p> <h3 class="spip">Chap.11 Produit scalaire.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/qLlJu-sKINI" class="spip_out">Video dintroduction :</a> Travail d'une force. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/GHPvfaHnysg?list=PLVUDmbpupCaqXSHQxDf2kfOgQAIEDKggp" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Activites-chap11-pscal-2.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a> avec résultats du cours. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/CORR-exos-pscal.pdf" class="spip_in">Correction de quelques exercices</a></p> <h3 class="spip">Chap.12 Dérivation et sens de variation.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/OMsZNNIIdrw?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ" class="spip_out">Playlist de ce chapitre.</a> <br />#11 (Etudier les variations d'une fonction) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://ggbtu.be/m2948841" class="spip_out">Animation Geogebra</a> pour conjecturer le comportement du volume d'une boîte.</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://ggbtu.be/m2983081" class="spip_out">Animation Geogebra</a> pour l'activité 1 (volume maximal pour une boîte). Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Activites-chap12-deriv.pdf" class="spip_in">Feuille d'activités</a></p> <p class="spip">Les trois premières pour les formules dérivation des produits (#4), inverse (#5) et quotients (#6) de fonctions dérivables.</p> <p class="spip">Pour s'entraîner : WIMS et #14 (EXERCICE : Etudier les variations d'une fonction (Niv.2))</p> <p class="spip"> <!-- DEBUT DE COMMENTAIRE {{{Chap.13 }}} - [TD Raccords lisses->doc626]/ et ce que je dois savoir sur le nombre dérivé pour le DS - [TD d'intro->doc605] FIN DE COMMENTAIRE --></p> 1STMG classe inversée numérique http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article167 <p class="spip">Vous trouverez ici tous les liens utiles pour la classe numérique inversée. Pour comprendre ce qu'est la classe inversée et comment je fonctionne, voir cet article que j'ai écrit : <br />"<a href="http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article168" class="spip_in">La classe inversée, comment ça marche ?</a>"</p> <p class="spip">Je recommande la <a href="http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-maths/1ere-stmg" class="spip_out">page de Yvan Monka (maths et tiques)</a> concernant les méthodes en vidéo par chapitre en STMG.</p> <h3 class="spip">Chap. 1. Pourcentages comme proportions.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Revoir : On pourra visionner les rappels fournis dans ces <a href="https://capsulesmaths.wordpress.com/5eme/pourcentages/" class="spip_out">deux courtes vidéos</a> sur comment calculer puis appliquer un pourcentage. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> S'entraîner en calcul mental de calculs de pourcentages avec le Matou Matheux <br /></p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><a href="http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/ment800/mental6/20AppliquerPourCent/accueil.htm" class="spip_out">Calcul de %. Niveau 1</a></td><td><a href="http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/ment800/mental3/07pourcentsimple/accueil.htm" class="spip_out">Calcul de %. Niveau 2</a></td><td><a href="http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/ment800/mental5/16CalculerPourCent/accueil.htm" class="spip_out">Proportion et pourcentage</a></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://www.education-et-numerique.fr/0.3/activity/embed.html?id=577a57523361eb54476ec8b2" class="spip_out">Cours en ligne.</a></p> <h3 class="spip">Chap. 2. Second degré.</h3> <p class="spip">Résoudre une équation du second degré : ax²+bx+c=0 <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/youUIZ-wsYk?list=PLVUDmbpupCaqilBbriQYMVjn0BRBCgwdH" class="spip_out">Trois videos qui s'enchaînent</a> (1) (2) (3) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/sFNW9KVsTMY?list=PLVUDmbpupCaorRlxu3gIJSnPqOy-n61hW" class="spip_out">Deux vidéos</a> pour étudier le signe d'un polynôme du second degré.</p> Tue, 30 Aug 2016 22:04:36 +0200 prof.pantaloni <p class="spip">Vous trouverez ici tous les liens utiles pour la classe numérique inversée. Pour comprendre ce qu'est la classe inversée et comment je fonctionne, voir cet article que j'ai écrit : <br />"<a href="http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article168" class="spip_in">La classe inversée, comment ça marche ?</a>"</p> <p class="spip">Je recommande la <a href="http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-maths/1ere-stmg" class="spip_out">page de Yvan Monka (maths et tiques)</a> concernant les méthodes en vidéo par chapitre en STMG.</p> <h3 class="spip">Chap. 1. Pourcentages comme proportions.</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Revoir : On pourra visionner les rappels fournis dans ces <a href="https://capsulesmaths.wordpress.com/5eme/pourcentages/" class="spip_out">deux courtes vidéos</a> sur comment calculer puis appliquer un pourcentage. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> S'entraîner en calcul mental de calculs de pourcentages avec le Matou Matheux <br /></p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><a href="http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/ment800/mental6/20AppliquerPourCent/accueil.htm" class="spip_out">Calcul de %. Niveau 1</a></td><td><a href="http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/ment800/mental3/07pourcentsimple/accueil.htm" class="spip_out">Calcul de %. Niveau 2</a></td><td><a href="http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/ment800/mental5/16CalculerPourCent/accueil.htm" class="spip_out">Proportion et pourcentage</a></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://www.education-et-numerique.fr/0.3/activity/embed.html?id=577a57523361eb54476ec8b2" class="spip_out">Cours en ligne.</a></p> <h3 class="spip">Chap. 2. Second degré.</h3> <p class="spip">Résoudre une équation du second degré : ax²+bx+c=0 <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/youUIZ-wsYk?list=PLVUDmbpupCaqilBbriQYMVjn0BRBCgwdH" class="spip_out">Trois videos qui s'enchaînent</a> (1) (2) (3) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://youtu.be/sFNW9KVsTMY?list=PLVUDmbpupCaorRlxu3gIJSnPqOy-n61hW" class="spip_out">Deux vidéos</a> pour étudier le signe d'un polynôme du second degré.</p> 01. La classe inversée, comment ça marche ? http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article168 <p class="spip">Introduction en une minute : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.reseau-canope.fr/notice/vous-avez-une-minute-pour-comprendre-la-classe-inversee.html" class="spip_out">"Vous avez une minute ? Pour comprendre la classe inversée"</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Ci dessous, un diaporama <a href="http://prezi.com/try8ezow_cdz/?utm_campaign=share&utm_medium=copy" class="spip_out">Prezi</a> que j'ai fait pour détailler et motiver ma technique. <br />Au cas où celà ne fonctionne pas sur votre ordinateur, <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/svg/diaporama-classe-inversee-pantaloni-sozi.svg" class="spip_in">voici une version vectorielle de ce diaporama</a> créé avec Inkscape et Sozi. <br /></p> <p class="spip"><iframe id="iframe_container" frameborder="0" webkitallowfullscreen="" mozallowfullscreen="" allowfullscreen="" width="475" height="375" src="https://prezi.com/embed/try8ezow_cdz/?bgcolor=ffffff&lock_to_path=0&autoplay=0&autohide_ctrls=0&landing_data=bHVZZmNaNDBIWnNjdEVENDRhZDFNZGNIUE43MHdLNWpsdFJLb2ZHanI5N1M4TnNwYmg0azhIUHhlQnpNcGgxRnZnPT0&landing_sign=7BY1wy7KBOF0zgUKafflpGTLDowsbNchIe1ir0JNxew"></iframe></p> <h3 class="spip">Comment je pratique la classe inversée :</h3> <p class="spip"><strong class="spip">À la maison : Vidéos et QCM</strong> <br />Je donne des vidéos à regarder aux élèves. Entre une et quatre vidéos, pour la semaine suivante. Concernant les vidéos :</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Elles sont quasiment toutes faites par le même enseignant <a href="https://www.youtube.com/channel/UCaDqmzanCq4ZYhdEm0Df9Qg" class="spip_out">Yvan Monka</a>. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Elles sont courtes (moins de 10 mn) et expliquent une méthode sur des exemples en rappelant et expliquant le point du cours utilisé. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Elles permettent aux élèves de comprendre à leur rythme une méthode avant d'arriver en classe et pratiquer. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Ils ont systématiquement un QCM à remplir sur Pronote concernant les vidéos vues.</p> <p class="spip">Ce QCM <i class="spip">noté</i> que j'ai créé sert à : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> savoir si les élèves ont bien vu la vidéo, et je sais qui ne les a pas vues. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> inciter les élèves à bien regarder la vidéo (points aisément gagnés sur la moyenne) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> pointer l'essentiel de la vidéo, les éventuelles difficultés, voire les autres méthodes possibles ou coquilles à corriger.</p> <p class="spip"><strong class="spip">En classe :</strong> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> En première séance en demi-classe les élèves mettent individuellement en pratique ce qu'ils ont appris avec des <strong class="spip">exercices de routine</strong> interactifs sur WIMS (exerciseur interactif en ligne) que j'ai préparés. Ce sont des <i class="spip">tâches simples</i>. Chacun va à son rythme et je circule entre les élèves pour les aider individuellement. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Ensuite, la séance suivante on fait le point sur le début de chapitre et on attaque la séance de travail en groupes de quatre. Je leur distribue un livret A4 avec tous les exercices/activités pour ce chapitre ainsi que les résultats de cours. Chaque groupe enchaîne les exercices à son rythme. Je passe de groupe en groupe pour donner des aides personnelles. Des élèves vont corriger au fur et à mesure au tableau. Je donne des éléments pour débloquer et des rédactions des points délicats.</p> <h3 class="spip">Sites à visiter sur la classe inversée :</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> L'article <a href="https://www.ac-paris.fr/portail/upload/docs/application/pdf/2014-10/articletechnologie193_classe_inversee_hdufour_bd.pdf" class="spip_out">La classe inversée</a> de Héloïse Dufour représente une bonne introduction au concept. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://eduscol.education.fr/maths/usages/videos" class="spip_out">Comment et pourquoi utiliser des vidéos en mathématiques ?</a> sur Eduscol "<i class="spip">l'école change avec le numérique</i>". <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://eduscol.education.fr/maths/usages/exerciseurs" class="spip_out">Sur l'utilisation d'exerciseurs.</a> sur Eduscol. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://maths.ac-creteil.fr/spip.php?article182" class="spip_out">La Classe Inversée en mathématiques</a> par l'académie de Créteil. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://www.laclasseinversee.com/" class="spip_out">laclasseinversee.com</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Sur Twitter : #classeinversee <a href="https://twitter.com/Classe_Inversee" class="spip_out">@Classe_Inversee</a></p> Tue, 23 Aug 2016 18:45:41 +0200 prof.pantaloni <p class="spip">Introduction en une minute : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.reseau-canope.fr/notice/vous-avez-une-minute-pour-comprendre-la-classe-inversee.html" class="spip_out">"Vous avez une minute ? Pour comprendre la classe inversée"</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Ci dessous, un diaporama <a href="http://prezi.com/try8ezow_cdz/?utm_campaign=share&utm_medium=copy" class="spip_out">Prezi</a> que j'ai fait pour détailler et motiver ma technique. <br />Au cas où celà ne fonctionne pas sur votre ordinateur, <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/svg/diaporama-classe-inversee-pantaloni-sozi.svg" class="spip_in">voici une version vectorielle de ce diaporama</a> créé avec Inkscape et Sozi. <br /></p> <p class="spip"><iframe id="iframe_container" frameborder="0" webkitallowfullscreen="" mozallowfullscreen="" allowfullscreen="" width="475" height="375" src="https://prezi.com/embed/try8ezow_cdz/?bgcolor=ffffff&lock_to_path=0&autoplay=0&autohide_ctrls=0&landing_data=bHVZZmNaNDBIWnNjdEVENDRhZDFNZGNIUE43MHdLNWpsdFJLb2ZHanI5N1M4TnNwYmg0azhIUHhlQnpNcGgxRnZnPT0&landing_sign=7BY1wy7KBOF0zgUKafflpGTLDowsbNchIe1ir0JNxew"></iframe></p> <h3 class="spip">Comment je pratique la classe inversée :</h3> <p class="spip"><strong class="spip">À la maison : Vidéos et QCM</strong> <br />Je donne des vidéos à regarder aux élèves. Entre une et quatre vidéos, pour la semaine suivante. Concernant les vidéos :</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Elles sont quasiment toutes faites par le même enseignant <a href="https://www.youtube.com/channel/UCaDqmzanCq4ZYhdEm0Df9Qg" class="spip_out">Yvan Monka</a>. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Elles sont courtes (moins de 10 mn) et expliquent une méthode sur des exemples en rappelant et expliquant le point du cours utilisé. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Elles permettent aux élèves de comprendre à leur rythme une méthode avant d'arriver en classe et pratiquer. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Ils ont systématiquement un QCM à remplir sur Pronote concernant les vidéos vues.</p> <p class="spip">Ce QCM <i class="spip">noté</i> que j'ai créé sert à : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> savoir si les élèves ont bien vu la vidéo, et je sais qui ne les a pas vues. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> inciter les élèves à bien regarder la vidéo (points aisément gagnés sur la moyenne) <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> pointer l'essentiel de la vidéo, les éventuelles difficultés, voire les autres méthodes possibles ou coquilles à corriger.</p> <p class="spip"><strong class="spip">En classe :</strong> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> En première séance en demi-classe les élèves mettent individuellement en pratique ce qu'ils ont appris avec des <strong class="spip">exercices de routine</strong> interactifs sur WIMS (exerciseur interactif en ligne) que j'ai préparés. Ce sont des <i class="spip">tâches simples</i>. Chacun va à son rythme et je circule entre les élèves pour les aider individuellement. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Ensuite, la séance suivante on fait le point sur le début de chapitre et on attaque la séance de travail en groupes de quatre. Je leur distribue un livret A4 avec tous les exercices/activités pour ce chapitre ainsi que les résultats de cours. Chaque groupe enchaîne les exercices à son rythme. Je passe de groupe en groupe pour donner des aides personnelles. Des élèves vont corriger au fur et à mesure au tableau. Je donne des éléments pour débloquer et des rédactions des points délicats.</p> <h3 class="spip">Sites à visiter sur la classe inversée :</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> L'article <a href="https://www.ac-paris.fr/portail/upload/docs/application/pdf/2014-10/articletechnologie193_classe_inversee_hdufour_bd.pdf" class="spip_out">La classe inversée</a> de Héloïse Dufour représente une bonne introduction au concept. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://eduscol.education.fr/maths/usages/videos" class="spip_out">Comment et pourquoi utiliser des vidéos en mathématiques ?</a> sur Eduscol "<i class="spip">l'école change avec le numérique</i>". <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://eduscol.education.fr/maths/usages/exerciseurs" class="spip_out">Sur l'utilisation d'exerciseurs.</a> sur Eduscol. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://maths.ac-creteil.fr/spip.php?article182" class="spip_out">La Classe Inversée en mathématiques</a> par l'académie de Créteil. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://www.laclasseinversee.com/" class="spip_out">laclasseinversee.com</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Sur Twitter : #classeinversee <a href="https://twitter.com/Classe_Inversee" class="spip_out">@Classe_Inversee</a></p> Oral de rattrapage second groupe bac S http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article166 <p class="spip">Une vingtaine de sujets et les recommandations pour l'épreuve. Les derniers sujets sont pour les spécialistes.</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.dropbox.com/s/n7psyt97h9puioe/Oral-oraux-second-groupe-rattrapage.pdf?dl=0" class="spip_out">Fichier pdf</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.dropbox.com/s/3c0ou55ldzeo1f4/Oral-oraux-second-groupe-rattrapage.tex?dl=0" class="spip_out">Fichier source en LaTeX</a></p> Tue, 05 Jul 2016 12:17:47 +0200 prof.pantaloni <p class="spip">Une vingtaine de sujets et les recommandations pour l'épreuve. Les derniers sujets sont pour les spécialistes.</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.dropbox.com/s/n7psyt97h9puioe/Oral-oraux-second-groupe-rattrapage.pdf?dl=0" class="spip_out">Fichier pdf</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://www.dropbox.com/s/3c0ou55ldzeo1f4/Oral-oraux-second-groupe-rattrapage.tex?dl=0" class="spip_out">Fichier source en LaTeX</a></p> Mathématiques du jonglage http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article165 <h3 class="spip">Introduction :</h3> <p class="spip">Je vais présenter ici un panorama des résultats mathématiques sur le jonglage que l'on trouve un peu éparpillés sur le net et assez rarement en français.</p> <p class="spip">À l'été 2013, 20 ans après avoir appris à jongler avec trois balles je me suis remis au jonglage en me lançant le défi de réussir jongler à cinq balles c'est à dire de réussir cette magnifique « cascade » : <span class='spip_document_632 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/5-ball-cascade-anim.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></p> <p class="spip">Grâce à YouTube j'ai pu suivre des tutoriels qui m'ont bien aidé, et en parcourant différents sites web sur le jonglage j'ai rapidement découvert et essayé de comprendre un système de notation des figures appelé <i class="spip">siteswap</i> (mot à mot : échange de site). Par exemple pour apprendre la cascade à cinq balles ci-contre on recommande de commencer par maîtriser le jonglage normal à quatre balles puis les figures ci-dessous : le 55550 (à gauche) et le 552 (à droite)</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_633 spip_documents spip_documents_left' style='float:left; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/55550_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td><td> <span class='spip_document_634 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/552_200-2.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">siteswap 55550</strong></center></td><td><center><strong class="spip">siteswap 552</strong></center></td></tr> </tbody> </table> </center> <p class="spip">Outre l'immense plaisir de réussir à jongler avec cinq balles à la fin de l'été, j'ai découvert différents aspects des mathématiques du jonglage que j'ai enseignés à des élèves dans le cadre de la DNL (maths en anglais) ou lors d'un projet trans-diciplinaire sur le cirque en seconde ou encore lors de conférences pour la semaine des mathématiques. Je vais présenter ici les différents aspects mathématiques du jonglage qui m'ont passionnés en essayant autant que possible d'éviter trop de formalisme. Tous les gif animés de robots qui jonglent ont été pris sur <a href="http://juggle.wikia.com" class="spip_out">juggle.wikia.com</a> et ont été créés avec <a href="http://jugglinglab.sourceforge.net/" class="spip_out">Juggling Lab</a>. Toutes les autres figures ont été créées personnellement avec Inkscape et Gimp.</p> <h3 class="spip">Théorème de Shannon.</h3> <p class="spip">Si on essaye de passer du jonglage à trois balles au jonglage à 4 puis 5 balles (et plus si affinité) on se rend vite compte qu'il va falloir lancer les balles plus haut.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_635 spip_documents spip_documents_left' style='float:left; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/3_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td><td> <span class='spip_document_637 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/7_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td></tr> <tr class="row_odd"><td><center>Cascade à 3 balles</center></td><td><center>Cascade à 7 balles</center></td></tr> </tbody> </table> </center> <p class="spip">Pour comprendre pourquoi et même déterminer à quelle hauteur lancer les balles pour réussir à réaliser un jonglage régulier avec B balles (B entier supérieur à 1), il y a le théorème de Shannon. Du même <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon" class="spip_out">Claude Shannon</a> que la théorie de l'information. Ce grand mathématicien a démontré le premier théorème sur le jonglage et même fabriqué des machines qui jonglent (<a href="https://youtu.be/sBHGzRxfeJY" class="spip_out">video</a>)</p> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de Shannon.</strong> <i class="spip">On a pour un jonglage régulier (i.e. chaque main fait le même lancer à chaque fois) avec B balles l'égalité de rapports suivants :</i></p> <center> <strong class="spip">(f+d) / (e+d)=B / H</strong></center> <i class="spip">où les lettres f, d, e, et H désignent :</i> <ul class="spip"><li class="spip"> <i class="spip">f : le temps qu'une balle passe en l'air</i> </li><li class="spip"> <i class="spip">d : le temps qu'une balle passe dans la main</i> </li><li class="spip"> <i class="spip">e : le temps qu'une main reste vide</i> </li><li class="spip"> <i class="spip">H : le nombre de mains utilisées pour jongler</i> </li></ul> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Preuve</strong> Je vais donner une démonstration de ce théorème dans le cas H=2 (deux mains) et B=3 (trois balles). Le principe se généralise bien. Il faut imaginer qu'on déroule verticalement dans le temps ce mouvement des balles vues du dessus.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_641 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/optimised.gif' width="336" height="64" alt="" /></span></p> <p class="spip">On observe ce motif de tresse <span class='spip_document_642 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:125px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/tresse-1.png' width="125" height="305" alt="" /></span> (On peut d'ailleurs effectivement obtenir une vraie tresse si on jongle avec des cordes accrochées aux balles). Si on représente cette tresse schématiquement comme ci-dessous sur une période (entre les pointillés) on peut y lire les différents temps utilisés par Shannon.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_643 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:129px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/tresse-et-tps.png' width="129" height="224" alt="" /></span> On compte le temps d'une période de deux manières : d'une part pour une balle (ici la bleue à droite) et d'autre part pour une main (la gauche). On obtient :</p> <center> 2(f+d)=3(e+d) </center> <p class="spip">Et donc en divisant de part et d'autre par 2(e+d) :</p> <center> (f+d) / (e+d)=3/2 </center> <p class="spip">Ce qui est bien le résultat annoncé pour le cas H=2 et B=3. □</p> <p class="spip">En partant de la relation de Shannon :</p> <center> <strong class="spip">(f+d) / (e+d)=B / H</strong></center> On peut exprimer le temps de vol f en fonction des autres variables en multipliant par e+d : <center> f = (e+d)B/H -d </center> Cette dernière relation montre que f est une fonction affine croissante du nombre de balles B. Autrement dit, plus on veut jongler avec un nombre important de balles, plus il faut augmenter leur temps de vol f. Comment augmenter f ? En lançant les balles plus haut bien sûr. Pour savoir plus précisément à quelle hauteur, on doit utiliser la loi de la chute des corps. <h3 class="spip">Hauteur des lancers pour jongler B balles.</h3> <p class="spip">Étant uniquement soumis à l'accélération de la pesanteur g (environ 10 m/s² sur Terre), la chute des corps nous dit que chaque balle met un temps t pour tomber d'une hauteur h reliés par la relation :</p> <center> h=gt²/2 </center> Comme une balle met autant de temps pour monter à la hauteur h, on a f=2t et donc : <center> h=g(f/2)²/2 </center> Soit pour g=10, après simplification : <center> h=1,25 f² </center> En combinant ce résultat avec le résultat obtenu grace au théorème de Shannon : f = (e+d)B/H -d on a donc : <center> h = 1,25[(e+d)B/H -d]² </center> Pour deux mains (H=2) et en fixant les valeurs en secondes de e et d à un quart de seconde (e=d=0,25) on obtient la relation : h = 1,25[B/4 -1/4]² ce qui se réarrange en : <center> <strong class="spip">h ≈ 0,08(B-1)²</strong> </center> On peut ainsi obtenir un tableau de valeur et une courbe pour la hauteur h en mètres à laquelle il faut lancer chacune des B balles avec lesquelles on veut jongler. <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>B</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr> <tr class="row_odd"><td>h</td><td>0</td><td>0.1</td><td>0.3</td><td>0.7</td><td>1.3</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6.5</td></tr> </tbody> </table> </center> <span class='spip_document_654 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/graphiquehvsb.png' width="429" height="312" alt="" /></span> <p class="spip">La hauteur évolue comme le carré du nombre de balles, on comprend pourquoi une balle de plus augmente considérablement la difficulté. Ces hauteurs sont approximatives, en particulier pour éviter d'avoir à lancer trop haut, on peut jouer sur e et d : en diminuant e+d, c'est à dire en étant plus rapide avec les mains, on pourra faire baisser la hauteur nécessaire. Les hauteurs pour 8, 9, 10 balles peuvent sembler exagérées, mais je vous laisse regarder cette <a href="https://youtu.be/QsOHV779nwU" class="spip_out">vidéo de Bruce Sarafian</a> avec différents records pour 8, 9, 10, 11 et même 12 balles ou <a href="https://youtu.be/gXBRf_WFt08" class="spip_out">celle-ci d'Alex Baron</a> pour un flash avec 13 balles pour apprécier la hauteur des lancers et la vitesse des mains.</p> <h3 class="spip">Siteswap.</h3> <p class="spip">On pourra visiter les liens suivants :</p> <ul class="spip"><li class="spip"> <a href="http://juggle.wikia.com/wiki/Category:Siteswaps" class="spip_out">Wikia</a></li></ul> <p class="spip"><span class='spip_document_645 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:60px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/rythme-small.gif' width="60" height="149" alt="" /></span> Voici le principe, on reprend le schéma de la tresse, où on représente le temps qui s'écoule vers le bas, les points de part et d'autres représentent les mains qui vont lancer les balles alternativement à un rythme régulier, schématisé par le point rouge sur cette animation. L'intervalle de temps entre deux mouvements de main, donc entre deux positions du point rouge est pris comme unité de tempo. Cela représente un temps. A partir de là on peut définir les différents lancers par le nombre de temps qu'il faudra à la balle pour retomber.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_649 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diff-lancers.png' width="387" height="176" alt="" /></span></p> <ol class="spip"><li class="spip"> La balle est lancée directement dans la main opposée, rapidement (1 temps)</li><li class="spip"> La balle est lancée dans la même main pas très haut (en pratique, même on ne la lance pas, elle reste dans la main)</li><li class="spip"> La balle est lancée dans la main opposée mais plus haut puisqu'il lui faut 3 temps pour retomber. Dans le même temps on doit pouvoir faire trois lancers 1 : G->D->G->D. C'est le lancer utilisé pour jongler la cascade à 3 balles.</li><li class="spip"> La balle est lancée verticalement pour retomber dans la même main</li><li class="spip"> Lancer croisé haut (pour la cascade à 5 balles)</li></ol> <p class="spip">Ainsi de suite, les lancers impairs sont croisés et les pairs sont verticaux et retombent dans la même main. On peut alors désigner une figure de jonglage par la succession de ces nombres entiers. On donne juste le code sur une période si le mouvement est cyclique.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td> <center> <span class='spip_document_651 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/12345_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </center> <hr class="spip" /> <p class="spip">Voici le diagramme en échelle de la figure <strong class="spip">12345</strong> et le jonglage correspondant. Pour faire ce diagramme, je pars du haut et je note les nombres 12345-12345... alternativement sur chaque point. Ensuite on trace les lancers correspondants en partant de chaque point. On observe que le 5 est indépendant, il est toujours fait avec la même balle bleue. Les deux autres motifs identiques sont faits par deux balles (rouges) qui subissent finalement les lancers 1, 2, 4, 3. <br />On remarque qu'il faut commencer avec les trois balles dans la même main. <br />Sur l'animation, cherchez à repérer les différents lancers. Le 2 ne se voit pas, la balle reste dans la main et correspond au temps mort après qu'un 1 a été lancé.</p> </td><td> <span class='spip_document_650 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:109px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/12345-pattern-ladder.png' width="109" height="520" alt="" /></span> </td></tr> </tbody> </table> </center> <p class="spip">Les jonglages réguliers correspondent aux siteswaps de période 1. La cascade à 3 balles est simplement : 3. Plus généralement le jonglage régulier à n balles se code par : n. Ci-dessous les tresses régulières pour les jonglages réguliers à 3, 4 et 5 balles. On observe que le jonglage régulier à 4 balles ne croise pas : tout se passe comme si on jonglait avec deux balles dans chaque main.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_653 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/345reg.png' width="300" height="334" alt="" /></span> </td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">Tresses régulières</strong></center></td></tr> <tr class="row_even"><td> <span class='spip_document_636 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/4_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> </tbody> </table> </center> <h3 class="spip">Groupe des tresses mathématiques</h3> <p class="spip">Il existe une <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Tresse_(mathématiques)" class="spip_out">théorie mathématique sur les tresses</a> (<i class="spip">braid theory</i> en anglais) qui est liée à la théorie des noeuds. On peut voir des similarités avec les tresses de jonglage mais il y a des différences notables. Pour les tresses mathématiques il est important de savoir quel brin passe au dessus de quel autre brin ce qui est sans intérêt pour nous, et la notion de temps qui est fondamentale en jonglage n'existe pas dans la théorie des tresses. Des tresses qui sont mathématiquement isomorphes peuvent correspondre à des jonglages différents.</p> <h3 class="spip">Questions et résultats mathématiques sur le siteswap</h3> <p class="spip">Les questions mathématiques que je me suis posées et auxquelles je vais répondre sont :</p> <ol class="spip"><li class="spip"> Toute succession de nombres correspond-elle à un siteswap jonglable ? (On verra que non)</li><li class="spip"> Y a-t-il une condition sur la séquence de nombres pour qu'un siteswap soit jonglable ?</li><li class="spip"> Si un siteswap jonglable est donné, comment savoir combien il nécessite de balles ?</li><li class="spip"> Comment déterminer tous les siteswap jonglables ? <hr class="spip" /> <p class="spip"><span class='spip_document_655 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:100px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/12impossible.png' width="100" height="83" alt="" /></span> <strong class="spip">Tout siteswap n'est pas jonglable</strong>. La réponse à la première question est donc négative. Par exemple le siteswap 12 ne peut pas être jonglé comme le montre le diagramme ci-contre car deux balles arriveraient simultanément dans la même main. Pour répondre aux deux questions suivantes, on va utiliser un résultat important : le théorème de la moyenne.</p> </li></ol> <h3 class="spip">Théorème de la moyenne</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <strong class="spip">Site swap</strong> <br />Il est temps d'expliquer l'origine du mot « siteswap ». Dans le diagramme en échelle on a le point (site) de départ et d'arrivée de chaque balle. Si on considère deux balles lancées successivement, on peut en gardant les mêmes points de départ intervertir leur point d'arrivée sans perturber le reste de la séquence. On a échangé (<i class="spip">to swap</i> en anglais) les sites d'arrivée. Qu'est-ce que cela change à la paire de nombres considérée ? <br />Regardons d'abord un exemple : 51.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_660 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/swap-51-42-2.png' width="200" height="75" alt="" /></span> Par rapport au temps zéro, on prévoit l'arrivée de la première balle dans 5 temps et de la deuxième dans deux temps (puisqu'elle sera lancé un temps après la première). Si on fait l'échange des arrivées (en pointillés), la première balle lancée arrivera dans deux temps (on lance donc un 2) et la deuxième arrivera dans cinq temps il faudra donc lancer un 5-1=4. <br />Ainsi 51->24. On peut remarquer que si on refait l'échange des arrivées à partir de 24 on retombe sur 51. Plus généralement :</p> <p class="spip"><strong class="spip"> Si on échange les arrivées pour un siteswap ab où a et b sont deux entiers, a devient b+1 et b devient a-1. Donc ab->(b+1)(a-1)</strong></p> <p class="spip">On remarque que la somme reste constante après cette transformation : b+1+a-1=a+b. Cette technique permet de créer de nouveaux tours à partir de tours existants. Cela ne change pas le nombre de balles. Par exemple, on a déjà vu 12345 avec trois balles. On peut lui appliquer la transformation 51->24 :</p> <p class="spip"><span class='spip_document_661 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/45123-42423.png' width="430" height="292" alt="" /></span></p> <p class="spip">Mais pourquoi s'arrêter là ? Tant qu'il y a des nombres différents dans la séquence, on peut toujours en trouver deux qui se suivent comme ab avec a > b. On opère alors l'échange des arrivées pour obtenir ab->(b+1)(a-1). L'écart entre les nombres a diminué de deux. Ainsi cette transformation conserve la moyenne des deux nombres tout en les rapprochant de leur moyenne lorsqu'on part de a>b. Poursuivons notre exemple, on repère un 42 qu'on va transformer en 33 :</p> <p class="spip"><span class='spip_document_662 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/42-33.png' width="317" height="292" alt="" /></span></p> <p class="spip">Il reste encore un 42 à transformer en 33 et alors globalement, sur la période 45123 on opéré les transformations :</p> <center>4<strong class="spip">51</strong>23 -> <strong class="spip">42</strong>423 -> 33<strong class="spip">42</strong>3 -> 33333 </center> <p class="spip">Toutes ces transformations sont montrées sur l'image ci-dessous (cliquez pour agrandir).</p> <center><span class='spip_document_657 spip_documents spip_documents_center' > <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transfo45123-33333-large.png" class="spip_in"><img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transfo45123-33333.png' width="450" height="155" alt="" /></a></span> </center> <p class="spip">Ainsi 12345 se jongle avec autant de balles que 33333, c'est à dire avec 3 balles. À chaque étape le total reste inchangée : T=1+2+3+4+5=3+3+3+3+3 soit T=5*3. Le trois qu'on trouve correspond donc à T/5 le total divisé par la longueur du siteswap. C'est à dire que le nombre de balles correspond à la moyenne des nombres du siteswap.</p> <p class="spip">Ce qui a été fait sur cet exemple peut toujours se faire avec cet algorithme de retour à la moyenne :</p> <ul class="spip"><li class="spip"> <strong class="spip">Partir d'un siteswap S jonglable.</strong></li><li class="spip"> <strong class="spip">Initialisation : S' :=S</strong><ul class="spip"><li class="spip"> <strong class="spip">Tant que S' comporte des nombres différents faire :</strong><ul class="spip"><li class="spip"> <strong class="spip">Choisir deux nombres a et b qui se suivent dans l'ordre ab avec a>b et les transformer en (b+1)(a-1)</strong>. </li></ul></li><li class="spip"> <strong class="spip">Fin du Tant que.</strong></li></ul></li><li class="spip"> <strong class="spip">Afficher le siteswap S'</strong></li></ul> <p class="spip">En un nombre fini d'étapes cet algorithme permet d'obtenir un siteswap équivalent de même longueur, avec un même total et qui ne comporte que des nombres identiques.</p> <p class="spip">En effet, à chaque étape, le total des nombres reste inchangé ainsi que la longueur du siteswap, la figure est encore jonglable avec autant de balles. Ainsi le siteswap final S' a la même longueur (disons n) que S, ne comporte que des nombres identiques (disons b), se jongle avec autant de balles que S (qui se jongle donc avec b balles) et la somme de ces nombres (qui vaut n*b) est la même que celle de S. On en déduit le théorème de la moyenne :</p> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de la moyenne.</strong> <i class="spip">Tout siteswap jonglable est tel que la moyenne de ses nombres est égale aux nombres de balles nécessaires pour le jongler.</i></p> <hr class="spip" /> <p class="spip">Exemples : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> 5241 se jongle avec (5+2+4+1)/4=12/4=3 balles. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> 441 se jongle avec 9/3=3 balles. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> 552 se jongle avec 12/3=4 balles. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> 421 ne se jongle pas puisque 4+2+1=7 n'est pas divisible par 3.</p> <p class="spip">Ce théorème donne donc une condition nécessaire pour qu'un siteswap soit jonglable : il faut que la moyenne du siteswap soit un nombre entier.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>Cette condition n'est pas suffisante. Par exemple on peut jongler 123 (avec 6/3=2 balles) mais pas 321 (où au 3e temps on aurait trois balles arrivant dans la même main !). Donc la propriété de la moyenne ne suffit pas et cet exemple montre aussi que pour un siteswap jonglable donné, une permutation des nombres n'est pas toujours jonglable. </td><td><span class='spip_document_663 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:190px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/123-321.png' width="190" height="233" alt="" /></span></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Cependant, on a le théorème de réarrangement qui est une conséquence de ce théorème <a href="http://www.ams.org/journals/proc/1952-003-04/S0002-9939-1952-0050579-7/S0002-9939-1952-0050579-7.pdf" class="spip_out"><i class="spip">A combinatorial problem on abelian groups.</i></a> par Marshall Hall paru dans <i class="spip">Proceedings of the American Mathematical Society</i> en 1952 qui dit que :</p> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de réarrangement.</strong> <i class="spip">Tout n-uplet d'entiers naturels a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> de moyenne entière peut être réordonné de manière à obtenir un siteswap valide.</i></p> <hr class="spip" /> <p class="spip">La preuve mathématique de ce théorème est d'un niveau élevé. J'esaierai à l'occasion d'en donner une version grand public. On trouvera <a href="https://groups.google.com/forum/#!msg/rec.juggling/9BfpeKEX234/d8R6LmbX-5YJ" class="spip_out">ici sur le groupe de discussion rec.juggling</a> un historique de tentatives de preuves collaboratives ainsi qu'une adaptation pour le jonglage de la preuve de Hall par Dean Hickerson.</p> <p class="spip">Exemple : 5421 n'est pas valide mais 5241 est un siteswap valide (cf icone de l'article)</p> <p class="spip">On verra comment avec la notion d'états et de changement d'états on peut déterminer tous les siteswap possibles avec un nombre donné de balles lancées à une hauteur maximale arbitraire.</p> <h3 class="spip">Créer de nouvelles figures par transformations</h3> <p class="spip">On s'est servi de la transformation d'échange des points d'arrivée pour moyenner un siteswap et le rendre régulier. Il est intéressant de noter qu'on peut faire le contraire pour créer à partir d'un jonglage régulier un tour plus complexe. Par exemple dans le jonglage régulier à quatre balles, les balles ne croisent pas. Certains spectateurs quand ils s'en rendent compte disent que « c'est de la triche », voire que c'est trop facile (en général ils n'ont jamais essayé). Quand je débutais on m'avait dit qu'à 4 balles on ne croisait pas, que c'était comme ça parce que 4 est pair. Mais peut-on croiser en jonglant à quatre balles ? Oui on peut, mais le jonglage n'est plus régulier. On va voir comment.</p> <p class="spip">On part du jonglage régulier à quatre balles codé par : 4 On applique la transformation d'échange des points d'arrivée pour deux lancers consécutifs : 44->53. Si on le fait une fois, on croise deux balles (la bleue et la verte sur le diagramme ci-dessous) . Mais on peut aussi remplacer tous les 44 par des 53 et alors on ne fait que croiser, c'est ce qui est représenté sur la troisième tresse. Le motif n'est plus symétrique, on remarque par exemple que c'est toujours la même main qui lance les 3 et l'autre qui lance les 5.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_667 spip_documents spip_documents_center' > <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/4445344-53.png" class="spip_in"><img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/4445344-53-smaller.png' width="250" height="281" alt="" /></a></span></p> <p class="spip">De manière classique, on lance les balles de l'intérieur vers l'extérieur, mais pour le 53 on l'utilise souvent en demi-douche en lançant les 3 normalement et les 5 de l'extérieur vers l'intérieur : on voit alors les balles tourner en rond et non se croiser. Les deux mains tournent alors dans le même sens et non en sens inverse comme des engrenages. Les deux versions sont animées ci-dessous.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_665 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/53_200-2.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></td><td><span class='spip_document_666 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/5O3I_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">53 classique</strong></center></td><td><center><strong class="spip">53 demi-douche</strong></center></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">On peut généraliser la transformation d'échange en ne prenant pas des lancers consécutifs mais espacés d'un temps t. Alors on aura : axxxxb -> (b+t)xxxx(a-t)</p> <p class="spip">Par exemple : 444 -> 642 ou 4444 ->7441 avec t=2 et t=3 respectivement. On augmente encore plus la dissymétrie des lancers... Et si on veut des lancers croisés à la même hauteur, comme des 5 ? Essayons avec un diagramme en échelle.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_668 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/444-552.png' width="420" height="297" alt="" /></span></p> <p class="spip">Lorsqu'on lance 55 avec bleu/vert, la bleue arrive sur le site initial du vert comme précédemment mais le problème est que la verte arrive sur le site d'arrivée du rouge. On peut donc retarder le lancer du 4 rouge en "lançant" un 2 avant. Ainsi on a remplacé 444 par 552 (toujours de même moyenne 4). On peut aussi jongler la figure 552 déjà vue au début, où on ne fait que croiser avec des lancers à la même hauteur 5 et des temps morts à cause des 2. On remarque un effet saccadé dû aux 2.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>On peut voir sur la tresse et sur l'animation que dans cette figure on lance en fait deux fois de la main gauche puis deux fois de la main droite : <center><i class="spip">GGDDGGDD...</i></center> Alors que normalement on a le battement <i class="spip">GDGDGD</i>. On peut aussi le voir comme <center><i class="spip">GD-DG-GD-DG...</i></center> </td><td><span class='spip_document_669 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/tresse552.png' width="53" height="272" alt="" /></span></td><td><span class='spip_document_634 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/552_200-2.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></td></tr> <tr class="row_odd"><td> </td><td><center><strong class="spip">tresse</strong></center></td><td><center><strong class="spip">552</strong></center></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Il était bien connu depuis longtemps par les anciens jongleurs qu'on pouvait échanger deux balles au milieu du jonglage à quatre. Soit avec un lancer haut et un bas (53) ou avec deux lancers hauts et une pause (552). Mais les inventeurs du siteswap dans les années 80 ont remarqué un motif dans ces transformations :</p> <ul class="spip"><li class="spip"> 44->53</li><li class="spip"> 444->552 <br />Ils ont alors pu vérifier que les suites logiques étaient aussi jonglables :</li><li class="spip"> 4444->5551</li><li class="spip"> 44444->55550</li></ul> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> <tr class="row_odd"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">3</i></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> <tr class="row_even"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">2</i></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> <tr class="row_odd"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">1</i></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> <tr class="row_even"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">0</i></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Or 5551 (pas évident) n'avait jamais été répertorié comme le dit Colin Wright co-inventeur du siteswap dans <a href="https://youtu.be/rAz7hOH_mXE?t=44m43s" class="spip_out">cette conférence</a>. Le nouveau tour 5551 est devenu mondialement célèbre alors que la notation venait juste d'être inventée. Le modèle mathématique a permis de prédire l'existence puis de créer des figures encore inconnues. <br />55550 c'est comme jongler la cascade à 5 balles mais avec une balle en moins.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_670 spip_documents spip_documents_left' style='float:left; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/5551_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td><td> <span class='spip_document_633 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/55550_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">5551</strong></center></td><td><center><strong class="spip">55550</strong></center></td></tr> </tbody> </table> </center> Le zéro dans 55550 est donc à interpréter comme : la main est vide et donc ne lance rien. On doit écrire ce zéro, il donne une information, et par le théorème de la moyenne on vérifie que (5+5+5+5+0)/5=4. Si on ne mettait pas le zéro on serait amené à calculer 20/4=5, or on ne jongle pas à cinq mais bien à quatre balles quand on fait 55550. De la même manière, 330 se jongle à deux balles (6/3=2) qui font le mouvement de la cascade à trois où il manque la troisième balle. <h3 class="spip"> Comment inventer un siteswap valide ? </h3> <p class="spip">Pour inventer un siteswap possible à jongler on peut dessiner la tresse avec le diagramme en échelle mais on peut faire plus simple. J'expose ici une technique proposée par <a href="http://www.solipsys.co.uk/new/SiteSwap.html#lesson7" class="spip_out">Colin Wright</a>. Par exemple si je cherche à créer une figure de période disons cinq je regarde les balles lancées et le moment où elles vont retomber pour s'assurer qu'elles ne tombent pas au même moment. Mettons que je commence par lancer un 4. Je note sur la première ligne le siteswap et sur la deuxième une astérisque lorsqu'une balle arrive à ce moment. À partir du 4 je compte 4 cases (4 temps) et je place mon astérisque.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> - </td><td> - </td><td> - </td><td> -</td></tr> <tr class="row_odd"><td> . </td><td> . </td><td> . </td><td> . </td><td> *</td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Pour le lancer suivant je ne peux pas faire de 3 mais par exemple un 2 est possible :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> 2 </td><td> - </td><td> - </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td> . </td><td> . </td><td> . </td><td> * </td><td> * </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Il faut comprendre les cases modulo 5 puisque ce n'est qu'une période qui est représentée, le prochain lancer ne peut pas être 1 ou 2 (modulo 5, donc ni 6 ni 7...) mais peut être 0, 3, 4 ou 5 par exemple. Disons 5. Je compte deux cases, je reviens au début et compte trois cases :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> 2 </td><td> 5 </td><td> - </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td> . </td><td> . </td><td> * </td><td> * </td><td> * </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">L'étau se resserre, Je peux lancer 2 ou 3 (ou 7, 8,...) disons 3 :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> 2 </td><td>5 </td><td> 3 </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td>. </td><td>* </td><td>* </td><td>*</td><td> * </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Là on n'a plus trop le choix : on doit lancer un 1 ou 6, 11...</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> 2 </td><td>5 </td><td> 3 </td><td> 1 </td></tr> <tr class="row_odd"><td> * </td><td>* </td><td>* </td><td>*</td><td> * </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">On obtient le siteswap 42531 qu'on nomme plutôt en commençant par le plus grand lancer : 53142. On en fait un autre ? Disons de période 4 cette fois, on commence par un 5 et un 3 :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>5</td><td> - </td><td> - </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td>. </td><td>* </td><td>. </td><td> .</td></tr> </tbody> </table> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>5</td><td> 3 </td><td> - </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td>* </td><td>* </td><td>. </td><td>. </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Pour le prochain on peut mettre 0 ou 1 modulo 4 (soit 4 ou 5 si on reste raisonnable). Si on met un 0 ou un 4 on finira avec un autre 0 (mod 4) et on aurait alors 5300 ou 5304, 5340, 5344. Si on met un 1 (mod 4) il faudra finir avec 3 (mod 4) ce qui donnerait 5313 ou 5353 (qui se simplifie en 53) ou 5317, 5357... On voit qu'il y a une infinité de possibilités si on ne se fixe pas de hauteur maximale ou de nombre de balles. Mettons qu'on se fixe 3 balles dans cet exemple. Notons a et b les deux nombres manquants :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>5</td><td> 3 </td><td> a </td><td> b </td></tr> <tr class="row_odd"><td>* </td><td> * </td><td> . </td><td> . </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Il faut que la moyenne (5+3+a+b)/4=3 soit 8+a+b=12 d'où a+b=4. (Pas de modulo 4 ici). De plus on a vu que a=0 ou 1 (mod 4) ce qui laisse trois possibilités : a=0, 1 ou 4 pour que a+b ne dépasse pas 4. On en déduit b dans chaque cas avec b=4-a. On obtient alors 3 siteswaps possibles de période 4 avec 3 balles et commençant par 53 :</p> <p class="spip">5304, 5313 et 5340.</p> <p class="spip">Notre objectif est de représenter tous les siteswaps possibles avec un nombre de balles données et une hauteur maximale. Si on s'y prend comme ça cela va être fastidieux et devra aussi limiter la longueur de la période pour chaque étude. On garde l'idée du codage du moment où la balle va tomber selon comment elle a été lancée. On peut aussi utiliser cette technique pour tester la validité d'un siteswap.</p> <h3 class="spip"> Déterminer la validité d'une séquence </h3> <p class="spip">On peut améliorer la technique des astérisques pour vérifier la validité d'une séquence de la manière suivante :</p> <p class="spip">On écrit la séquence a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> à tester dans les cases du haut et en dessous on calcule pour chaque a<sub>i</sub> la somme a'<sub>i</sub>=a<sub>i</sub>+i (modulo n).</p> <p class="spip">Les a'<sub>i</sub> représentent les temps d'arrivée (modulo n), la séquence a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> est un siteswap valide si, et seulement si, la séquence a'<sub>1</sub>a'<sub>2</sub>...a'<sub>n</sub> est une permutation de 0, 1, 2, ..., n-1. C'est à dire comporte tous les nombres de 0 à n-1 (donc une fois et une seule). Cela traduit que deux balles n'arrivent pas en même temps.</p> <p class="spip"><strong class="spip">Exemples :</strong> Reprenons notre exemple 42531 précédent. Au lieu de mettre des astérisques au temps d'arrivée cela revient à mettre sous chaque lancer a<sub>i</sub> son temps d'arrivée égal au nombre correspondant au lancer auquel on ajoute son rang dans la séquence, modulo n (noté [n]). C'est son a'<sub>i</sub>.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>a<sub>i</sub>=</td><td>4</td><td> 2 </td><td>5 </td><td> 3 </td><td> 1 </td></tr> <tr class="row_odd"><td>a'<sub>i</sub>=</td><td> 4+1 [5] </td><td>2+2 [5] </td><td>5+3 [5] </td><td>3+4 [5]</td><td> 1+5 [5] </td></tr> <tr class="row_even"><td>a'<sub>i</sub>=</td><td> 0 </td><td>4 </td><td>3 </td><td>2</td><td> 1 </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Ici les a'<sub>i</sub> comportent bien tous les entiers de 0 à 4 donc le siteswap 42531 est valide. Par contre 52314 n'est pas jonglable :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>a<sub>i</sub>=</td><td>5</td><td> 2 </td><td>3 </td><td> 1 </td><td> 4 </td></tr> <tr class="row_odd"><td>a'<sub>i</sub>=</td><td> 1 </td><td>4 </td><td>1 </td><td>0</td><td> 4 </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Les deux 1 et les deux 4 indiquent que deux balles arriveront simultanément aux temps 1 et 4 (modulo 5). Ainsi le théorème de réarrangement précédemment énoncé ainsi :</p> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de réarrangement. (1)</strong> <i class="spip">Tout n-uplet d'entiers naturels a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> de moyenne entière peut être réordonné de manière à obtenir un siteswap valide.</i></p> <p class="spip">peut se reformuler de manière mathématique :</p> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de réarrangement. (2)</strong> <i class="spip">Tout n-uplet d'entiers naturels a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> de moyenne entière peut être réordonné de manière à obtenir un n-uplet b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>...b<sub>n</sub> dont les temps d'arrivées b'<sub>1</sub>b'<sub>2</sub>...b'<sub>n</sub> (où pour tout i : b'<sub>i</sub>=b<sub>i</sub>+i [n] ) soit une permutation de 0, 1, 2, ..., n-1.</i></p> <p class="spip">Ou encore en terme de permutation :</p> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de réarrangement. (3)</strong> <i class="spip">Pour tout n-uplet d'entiers naturels a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> de moyenne entière, il existe une permutation s du groupe symétrique S<sub>n</sub> telle que :</p> <center> { a<sub>s(i)</sub>+s(i) [n] ; i=1, 2, ..., n }={0,1, 2, ..., n-1 } </center></i> <hr class="spip" /> <p class="spip">Une preuve de ce théorème peut être trouvée <a href="https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwjd7cyk0fDLAhWBWRoKHckPAPIQFgggMAA&url=http%3A%2F%2Ftartarus.org%2Fgareth%2Fmaths%2Fstuff%2Fjuggling_theorem.pdf&usg=AFQjCNFCXLcdK-1ZPYkhlQlV7n0mG_jwwA&sig2=vwAlWL8RZxqNAi62P38UIg" class="spip_out">ici</a></p> <h3 class="spip"> Transitions d'états </h3> <p class="spip">Disons que l'on se restreigne à des lancers inférieurs à 5. Si des balles ont été lancées, on ne peut plus qu'attendre qu'elles tombent et regarder quand elles tomberont. La dernière tombera dans au plus cinq temps. On peut noter la situation comme précédemment sur la deuxième ligne des tableaux. Considérons par exemple :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>*</td><td>.</td><td>*</td><td>*</td><td>.</td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">La première astérisque signifie qu'une balle va tomber dans un temps. On continue en lisant de gauche à droite : aucune balle dans deux temps, puis une balle dans trois et une autre dans quatre temps. Il y a manifestement trois balles en l'air. Au lieu des astérisques et des points on va plutôt mettre des 1 et des 0 et enlever la grille du tableau, on obtient un nombre en binaire :</p> <center><strong class="spip">10110</strong></center> <p class="spip">Ceci est un état. Ce nombre binaire code l'état des balles en l'air à un temps donné. Que va-t-il se passer au temps suivant ? Une balle arrive, il va falloir la lancer et le temps va avancer d'une unité, on mange donc le premier nombre et on décale tout d'un cran vers la gauche et on met un zéro au bout. On a donc l'état 01100 mais il faut lancer la balle et indiquer quand elle va arriver avec un 1. On ne peut que faire un lancer qui la fasse arriver sur un des 0. On ne peut donc pas lancer de 2 ou 3 mais on peut lancer 1, 4 ou 5. On obtient alors les différentes transitions possibles :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>état initial : </td><td> <i class="spip">1</i>0110 </td></tr> <tr class="row_odd"><td>si on lance 1 : </td><td> <strong class="spip">1</strong>1100</td></tr> <tr class="row_even"><td>si on lance 4 : </td><td> 011<strong class="spip">1</strong>0</td></tr> <tr class="row_odd"><td>si on lance 5 : </td><td> 0110<strong class="spip">1</strong></td></tr> </tbody> </table> <h3 class="spip">Construction du graphe (ou diagramme) de changement d'états pour 2 balles et des lancers de hauteurs inférieurs à 5.</h3> <p class="spip">Lorsqu'on se restreint à des lancers de hauteur <i class="spip">h</i> (donc aucune balle ne mettra plus de cinq temps pour retomber) les différents états possibles sont les <i class="spip">h</i>-uplés constitués d'exactement deux 1 (parce qu'il y a deux balles) et des 0. J'ai construit le diagramme de changement d'état par récurrence <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/diagramme-transition-B2h2345-color-anim.gif" class="spip_in">(en version gif animé ici)</a> sur la hauteur <i class="spip">h</i> des lancers les plus hauts <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> D'abord avec les lancers 0,1,2 on ne peut pas faire grand chose. On a l'état de base 11, on ne peut ni lancer 0 ni 1 donc seul le 2 (en vert sur la figure) peut être lancé et on retombe sur le même état. C'est le jonglage régulier à deux balles 2222... <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Si on s'autorise aussi des lancers de 3 (en bleu sur la figure), on a les trois états : 110, 101, 011. <br />Partant de 110 on peut maintenant lancer un 3 et arriver sur 101. <br />Partant de 101 on peut encore lancer un 3 pour arriver sur 011 ou lancer un 1 et arriver sur 110. <br />Partant de 011 on ne peut rien faire qu'attendre un temps avant qu'une balle tombe c'est à dire lancer un 0 et arriver sur 110.</p> <center> <span class='spip_document_673 spip_documents spip_documents_center' > <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/graphe-changement-etat-2-balles-h3.png" class="spip_in"><img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h3.png' width="460" height="226" alt="" /></a></span> </center> <p class="spip">Les jonglages périodiques à 2 balles avec des lancers inférieurs 3 correspondent aux cycles sur ce graphe. On a par exemple : <br />2, 330, 31, et les combinaisons 312, 31330, 3302, etc. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Si on s'autorise des lancers de 4 (en marron/rouge) on a toujours les états précédents (avec un 0 en plus à la fin) soit 1100, 1010, 0110 mais on peut atteindre les nouveaux états 1001, 0101, 0011. Pour chaque état on regarde les lancers possibles et on relie avec les flèches correspondantes.</p> <center> <span class='spip_document_674 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h4.png' width="450" height="373" alt="" /></span> </center> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> De même avec des lancers de 5 (en noir). Ci-dessous le graphe de changements d'états avec des couleurs de flèches pour les différents lancers. Cliquez dessus pour ouvrir la version animée en grand. <p class="spip"><span class='spip_document_686 spip_documents spip_documents_center' > <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/diagramme-transition-B2h2345-color-anim.gif" class="spip_in"><img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/B2-00.png' width="450" height="373" alt="" /></a></span></p> <h3 class="spip">Tous les siteswaps possibles, siteswaps premiers</h3> <p class="spip"><span class='spip_document_688 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:300px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/graphe01234.png' width="300" height="249" alt="" /></span>Ce graphe permet de déterminer tous les siteswaps possibles en jonglant deux balles à des hauteurs inférieures à 5. <br />Un siteswap valable correspond à un cycle dans le graphe. Par exemple, 01234 est un jonglage possible repéré ci-contre. <br />De la même manière je vous laisse chercher les cycles correspondant à 4400, 312, 501.</p> <p class="spip">En reprenant l'exemple de 01234, on peut observer qu'on passe deux fois par l'état 10100. Ce siteswap peut donc être décomposé en deux cycles : (123)(40). Les cycles 123 et 40 sont par contre indécomposables, on dit qu'ils sont <i class="spip">premiers</i>. De la même manière qu'en arithmétique pour les nombres premiers on a : <br /><strong class="spip">Theorème</strong> <i class="spip">Tout siteswap peut se décomposer en cycles premiers</i></p> <p class="spip">Voici le graphe obtenu pour trois balles et une hauteur maximale de 5 (b=3 h=5). Je vous laisse chercher les siteswap 441, 5241, 55500, 55050, 501. Et trouver celui qui n'est pas premier dans cette liste.</p> <center><span class='spip_document_694 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/grapheb3h5-450-2.png' width="450" height="373" alt="" /></span></center> <h3 class="spip">Dualité</h3> <p class="spip">Au début j'ai créé le graphe pour deux balles avant de m'attaquer à trois balles que savais assez compliqué comme on peut le voir <a href="http://vignette3.wikia.nocookie.net/juggle/images/1/17/State1.jpg/revision/latest?cb=20120509191850" class="spip_out">ici</a>. J'ai vite remarqué qu'il y avait autant d'états pour 2 ou 3 balles puisque choisir deux ou trois éléments parmi 5 est la même chose mais je pensais qu'il y aurait moins de transitions puisqu'à ma connaissance le jonglage à deux balles était moins riche que celui à trois balles. En comparant les deux graphes obtenus et en les réarrangeant correctement, j'ai vu qu'ils étaient identiques ! Il y a une dualité entre ces deux graphes.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_690 spip_documents' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/grapheb2h5-small.png' width="225" height="186" alt="" /></span></td><td><span class='spip_document_693 spip_documents' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/grapheb3h5-small.png' width="225" height="186" alt="" /></span></td></tr> </tbody> </table> </center> Les deux graphes se ressemblent sauf que les couleurs des flèches sont différentes ainsi que leur sens et bien sûr les états sont différents. La dualité entre ces deux graphes et plus généralement entre les graphes (b,h) et (h-b,h) où b est le nombre de balles et h la hauteur maximale de lancer peut être mise en évidence ainsi : <br />Pour passer de l'un à l'autre il faut prendre chaque lancer a et le remplacer par h-a (ici 5-a) et lire la flèche dans le sens contraire. <br />La transformation est sa propre réciproque (i.e. involutive) puisque y=h-x équivaut à x=h-y et le changement de sens de flèche est aussi évidemment involutif. Ici 5<->0, 4<->1, 3<->2 ce qui correspond aux échanges de couleurs jaune<>noir, rouge<>orange, bleu<>vert. <br />Quant aux états ils ont été changés de manière similaire : on échange les 0 et les 1 (ce qui correspond pour un chiffre c à la transformation complémentaire à 1 : c->1-c) et on les lit dans l'autre sens. Par exemple pour 10100. On échange les 0 et 1 : 01011 et on lit dans l'autre sens : 11010. Ci-dessous une animation montrant les transformations pour passer d'un graphe à l'autre. <center><span class='spip_document_687 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/Anim-graphe2-3-200ms-optim-boucle4.gif' width="450" height="373" alt="" /></span></center> <p class="spip">Qu'est-ce que cette dualité signifie pour le jonglage ? Jongler avec 2 balles ce n'est pas pareil que jongler avec trois balles. Les échanges qu'on a fait correspondent à échanger les actions lancer et recevoir ainsi que les hauteurs ce qui est difficile à ressentir concrètement. Par exemple le jonglage 441 ( à trois balles) correspond à 411 (avec deux balles). Je note 441<>411. De même 5241<>4130. (On prend le complémentaire à 5 et on lit le siteswap dans l'autre sens)</p> <h3 class="spip">Graphe réduit</h3> <p class="spip">On reprend le graphe pour deux balles reproduit ci-dessous. Ce graphe commence à être compliqué mais on peut le simplifier en réduisant le nombre d'états.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>Les états qui commencent par un zéro ne sont que des états transitoires, au coup d'après on ne peut rien faire d'autre que d'attendre qu'une balle tombe (ie lancer un 0). On peut les supprimer quitte à mettre sur les flèches les différents lancers possibles pour aller d'un état à l'autre. </td><td><span class='spip_document_690 spip_documents' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/grapheb2h5-small.png' width="225" height="186" alt="" /></span></td></tr> </tbody> </table> </center> <br />C'est ce qui est fait ci-dessous : <br /> <center> <span class='spip_document_677 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h5-simplify.png' width="450" height="373" alt="" /></span> </center> <br />Ce qui une fois réorganisé donne le graphe ci-dessous : <br /> <center> <span class='spip_document_678 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h5-simplify-reorg.png' width="450" height="348" alt="" /></span> </center> <br />On remarque que l'état 10001 en bas ne comporte qu'une flèche entrante, on peut supprimer cet état quitte à rajouter des lancers multiples sur les autres flèches. J'ai aussi ôté les zéros finaux des états pour obtenir finalement le graphe réduit ci-dessous pour les jonglages avec deux balles et des hauteurs inférieures à 5. <br /> <center> <span class='spip_document_682 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h5-simplify-reorga3.png' width="451" height="277" alt="" /></span> </center> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> De la même manière, par dualité voici le graphe réduit pour 3 balles et des lancers de hauteurs inférieures à 5. <center> <span class='spip_document_683 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb3h5-simplify-reorg3.png' width="450" height="298" alt="" /></span> </center> <p class="spip">Comme précédemment la dualité ici fonctionne ainsi : Pour passer de l'un à l'autre il faut prendre chaque lancer a et le remplacer par h-a et lire la flèche <i class="spip">et la séquence de lancers</i> dans le sens contraire. Par exemple : <br />la séquence 520 pour b=2 correspond à 530 pour b=3 et réciproquement. En effet on a la suite de transformations 520->(<i class="spip">5</i>-5)(<i class="spip">5</i>-2)(<i class="spip">5</i>-0)->035->530). Je note 520<>530. De même : <br />2<>3, 500<>550, 5300<>5520, 50<>50 <br />Quant aux états ils ont été échangés de manière similaire : on échange les 0 et les 1 (ce qui correspond pour un chiffre c à la transformation complémentaire à 1 : c->1-c) et on les lit dans l'autre sens. Par exemple 101=10100. On échange les 0 et 1 : 01011 et on lit dans l'autre sens : 11010=1101. <br />Plus généralement un graphe pour <i class="spip">b</i> balles et des lancers inférieurs ou égaux à <i class="spip">h</i> comporte un nombre d'états égal à <i class="spip">b</i> parmi <i class="spip">h</i> (nombre de façons de choisir <i class="spip">b</i> chiffres 1 à placer dans un <i class="spip">h</i>-uplet) i.e. <i class="spip">h</i> !/[ (<i class="spip">h</i>-<i class="spip">b</i>) ! <i class="spip">b</i> ! ]. Si on réduit le graphe en éliminant tous les états qui n'ont qu'une flèche sortante ou entrante on n'a plus que <i class="spip">b</i>-2 parmi <i class="spip">h</i>-1 états. Pour voir plus de tels graphes réduits on pourra consulter l'article de <a href="http://users.mai.liu.se/hanlu09/juggling/" class="spip_out">Hans Lundmark</a> qui semble avoir été le premier à publier à ce sujet en 2004.</p> Tue, 29 Mar 2016 00:22:38 +0200 prof.pantaloni <h3 class="spip">Introduction :</h3> <p class="spip">Je vais présenter ici un panorama des résultats mathématiques sur le jonglage que l'on trouve un peu éparpillés sur le net et assez rarement en français.</p> <p class="spip">À l'été 2013, 20 ans après avoir appris à jongler avec trois balles je me suis remis au jonglage en me lançant le défi de réussir jongler à cinq balles c'est à dire de réussir cette magnifique « cascade » : <span class='spip_document_632 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/5-ball-cascade-anim.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></p> <p class="spip">Grâce à YouTube j'ai pu suivre des tutoriels qui m'ont bien aidé, et en parcourant différents sites web sur le jonglage j'ai rapidement découvert et essayé de comprendre un système de notation des figures appelé <i class="spip">siteswap</i> (mot à mot : échange de site). Par exemple pour apprendre la cascade à cinq balles ci-contre on recommande de commencer par maîtriser le jonglage normal à quatre balles puis les figures ci-dessous : le 55550 (à gauche) et le 552 (à droite)</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_633 spip_documents spip_documents_left' style='float:left; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/55550_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td><td> <span class='spip_document_634 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/552_200-2.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">siteswap 55550</strong></center></td><td><center><strong class="spip">siteswap 552</strong></center></td></tr> </tbody> </table> </center> <p class="spip">Outre l'immense plaisir de réussir à jongler avec cinq balles à la fin de l'été, j'ai découvert différents aspects des mathématiques du jonglage que j'ai enseignés à des élèves dans le cadre de la DNL (maths en anglais) ou lors d'un projet trans-diciplinaire sur le cirque en seconde ou encore lors de conférences pour la semaine des mathématiques. Je vais présenter ici les différents aspects mathématiques du jonglage qui m'ont passionnés en essayant autant que possible d'éviter trop de formalisme. Tous les gif animés de robots qui jonglent ont été pris sur <a href="http://juggle.wikia.com" class="spip_out">juggle.wikia.com</a> et ont été créés avec <a href="http://jugglinglab.sourceforge.net/" class="spip_out">Juggling Lab</a>. Toutes les autres figures ont été créées personnellement avec Inkscape et Gimp.</p> <h3 class="spip">Théorème de Shannon.</h3> <p class="spip">Si on essaye de passer du jonglage à trois balles au jonglage à 4 puis 5 balles (et plus si affinité) on se rend vite compte qu'il va falloir lancer les balles plus haut.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_635 spip_documents spip_documents_left' style='float:left; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/3_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td><td> <span class='spip_document_637 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/7_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td></tr> <tr class="row_odd"><td><center>Cascade à 3 balles</center></td><td><center>Cascade à 7 balles</center></td></tr> </tbody> </table> </center> <p class="spip">Pour comprendre pourquoi et même déterminer à quelle hauteur lancer les balles pour réussir à réaliser un jonglage régulier avec B balles (B entier supérieur à 1), il y a le théorème de Shannon. Du même <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon" class="spip_out">Claude Shannon</a> que la théorie de l'information. Ce grand mathématicien a démontré le premier théorème sur le jonglage et même fabriqué des machines qui jonglent (<a href="https://youtu.be/sBHGzRxfeJY" class="spip_out">video</a>)</p> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de Shannon.</strong> <i class="spip">On a pour un jonglage régulier (i.e. chaque main fait le même lancer à chaque fois) avec B balles l'égalité de rapports suivants :</i></p> <center> <strong class="spip">(f+d) / (e+d)=B / H</strong></center> <i class="spip">où les lettres f, d, e, et H désignent :</i> <ul class="spip"><li class="spip"> <i class="spip">f : le temps qu'une balle passe en l'air</i> </li><li class="spip"> <i class="spip">d : le temps qu'une balle passe dans la main</i> </li><li class="spip"> <i class="spip">e : le temps qu'une main reste vide</i> </li><li class="spip"> <i class="spip">H : le nombre de mains utilisées pour jongler</i> </li></ul> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Preuve</strong> Je vais donner une démonstration de ce théorème dans le cas H=2 (deux mains) et B=3 (trois balles). Le principe se généralise bien. Il faut imaginer qu'on déroule verticalement dans le temps ce mouvement des balles vues du dessus.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_641 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/optimised.gif' width="336" height="64" alt="" /></span></p> <p class="spip">On observe ce motif de tresse <span class='spip_document_642 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:125px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/tresse-1.png' width="125" height="305" alt="" /></span> (On peut d'ailleurs effectivement obtenir une vraie tresse si on jongle avec des cordes accrochées aux balles). Si on représente cette tresse schématiquement comme ci-dessous sur une période (entre les pointillés) on peut y lire les différents temps utilisés par Shannon.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_643 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:129px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/tresse-et-tps.png' width="129" height="224" alt="" /></span> On compte le temps d'une période de deux manières : d'une part pour une balle (ici la bleue à droite) et d'autre part pour une main (la gauche). On obtient :</p> <center> 2(f+d)=3(e+d) </center> <p class="spip">Et donc en divisant de part et d'autre par 2(e+d) :</p> <center> (f+d) / (e+d)=3/2 </center> <p class="spip">Ce qui est bien le résultat annoncé pour le cas H=2 et B=3. □</p> <p class="spip">En partant de la relation de Shannon :</p> <center> <strong class="spip">(f+d) / (e+d)=B / H</strong></center> On peut exprimer le temps de vol f en fonction des autres variables en multipliant par e+d : <center> f = (e+d)B/H -d </center> Cette dernière relation montre que f est une fonction affine croissante du nombre de balles B. Autrement dit, plus on veut jongler avec un nombre important de balles, plus il faut augmenter leur temps de vol f. Comment augmenter f ? En lançant les balles plus haut bien sûr. Pour savoir plus précisément à quelle hauteur, on doit utiliser la loi de la chute des corps. <h3 class="spip">Hauteur des lancers pour jongler B balles.</h3> <p class="spip">Étant uniquement soumis à l'accélération de la pesanteur g (environ 10 m/s² sur Terre), la chute des corps nous dit que chaque balle met un temps t pour tomber d'une hauteur h reliés par la relation :</p> <center> h=gt²/2 </center> Comme une balle met autant de temps pour monter à la hauteur h, on a f=2t et donc : <center> h=g(f/2)²/2 </center> Soit pour g=10, après simplification : <center> h=1,25 f² </center> En combinant ce résultat avec le résultat obtenu grace au théorème de Shannon : f = (e+d)B/H -d on a donc : <center> h = 1,25[(e+d)B/H -d]² </center> Pour deux mains (H=2) et en fixant les valeurs en secondes de e et d à un quart de seconde (e=d=0,25) on obtient la relation : h = 1,25[B/4 -1/4]² ce qui se réarrange en : <center> <strong class="spip">h ≈ 0,08(B-1)²</strong> </center> On peut ainsi obtenir un tableau de valeur et une courbe pour la hauteur h en mètres à laquelle il faut lancer chacune des B balles avec lesquelles on veut jongler. <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>B</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr> <tr class="row_odd"><td>h</td><td>0</td><td>0.1</td><td>0.3</td><td>0.7</td><td>1.3</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6.5</td></tr> </tbody> </table> </center> <span class='spip_document_654 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/graphiquehvsb.png' width="429" height="312" alt="" /></span> <p class="spip">La hauteur évolue comme le carré du nombre de balles, on comprend pourquoi une balle de plus augmente considérablement la difficulté. Ces hauteurs sont approximatives, en particulier pour éviter d'avoir à lancer trop haut, on peut jouer sur e et d : en diminuant e+d, c'est à dire en étant plus rapide avec les mains, on pourra faire baisser la hauteur nécessaire. Les hauteurs pour 8, 9, 10 balles peuvent sembler exagérées, mais je vous laisse regarder cette <a href="https://youtu.be/QsOHV779nwU" class="spip_out">vidéo de Bruce Sarafian</a> avec différents records pour 8, 9, 10, 11 et même 12 balles ou <a href="https://youtu.be/gXBRf_WFt08" class="spip_out">celle-ci d'Alex Baron</a> pour un flash avec 13 balles pour apprécier la hauteur des lancers et la vitesse des mains.</p> <h3 class="spip">Siteswap.</h3> <p class="spip">On pourra visiter les liens suivants :</p> <ul class="spip"><li class="spip"> <a href="http://juggle.wikia.com/wiki/Category:Siteswaps" class="spip_out">Wikia</a></li></ul> <p class="spip"><span class='spip_document_645 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:60px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/rythme-small.gif' width="60" height="149" alt="" /></span> Voici le principe, on reprend le schéma de la tresse, où on représente le temps qui s'écoule vers le bas, les points de part et d'autres représentent les mains qui vont lancer les balles alternativement à un rythme régulier, schématisé par le point rouge sur cette animation. L'intervalle de temps entre deux mouvements de main, donc entre deux positions du point rouge est pris comme unité de tempo. Cela représente un temps. A partir de là on peut définir les différents lancers par le nombre de temps qu'il faudra à la balle pour retomber.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_649 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diff-lancers.png' width="387" height="176" alt="" /></span></p> <ol class="spip"><li class="spip"> La balle est lancée directement dans la main opposée, rapidement (1 temps)</li><li class="spip"> La balle est lancée dans la même main pas très haut (en pratique, même on ne la lance pas, elle reste dans la main)</li><li class="spip"> La balle est lancée dans la main opposée mais plus haut puisqu'il lui faut 3 temps pour retomber. Dans le même temps on doit pouvoir faire trois lancers 1 : G->D->G->D. C'est le lancer utilisé pour jongler la cascade à 3 balles.</li><li class="spip"> La balle est lancée verticalement pour retomber dans la même main</li><li class="spip"> Lancer croisé haut (pour la cascade à 5 balles)</li></ol> <p class="spip">Ainsi de suite, les lancers impairs sont croisés et les pairs sont verticaux et retombent dans la même main. On peut alors désigner une figure de jonglage par la succession de ces nombres entiers. On donne juste le code sur une période si le mouvement est cyclique.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td> <center> <span class='spip_document_651 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/12345_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </center> <hr class="spip" /> <p class="spip">Voici le diagramme en échelle de la figure <strong class="spip">12345</strong> et le jonglage correspondant. Pour faire ce diagramme, je pars du haut et je note les nombres 12345-12345... alternativement sur chaque point. Ensuite on trace les lancers correspondants en partant de chaque point. On observe que le 5 est indépendant, il est toujours fait avec la même balle bleue. Les deux autres motifs identiques sont faits par deux balles (rouges) qui subissent finalement les lancers 1, 2, 4, 3. <br />On remarque qu'il faut commencer avec les trois balles dans la même main. <br />Sur l'animation, cherchez à repérer les différents lancers. Le 2 ne se voit pas, la balle reste dans la main et correspond au temps mort après qu'un 1 a été lancé.</p> </td><td> <span class='spip_document_650 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:109px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/12345-pattern-ladder.png' width="109" height="520" alt="" /></span> </td></tr> </tbody> </table> </center> <p class="spip">Les jonglages réguliers correspondent aux siteswaps de période 1. La cascade à 3 balles est simplement : 3. Plus généralement le jonglage régulier à n balles se code par : n. Ci-dessous les tresses régulières pour les jonglages réguliers à 3, 4 et 5 balles. On observe que le jonglage régulier à 4 balles ne croise pas : tout se passe comme si on jonglait avec deux balles dans chaque main.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_653 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/345reg.png' width="300" height="334" alt="" /></span> </td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">Tresses régulières</strong></center></td></tr> <tr class="row_even"><td> <span class='spip_document_636 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/4_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> </tbody> </table> </center> <h3 class="spip">Groupe des tresses mathématiques</h3> <p class="spip">Il existe une <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Tresse_(mathématiques)" class="spip_out">théorie mathématique sur les tresses</a> (<i class="spip">braid theory</i> en anglais) qui est liée à la théorie des noeuds. On peut voir des similarités avec les tresses de jonglage mais il y a des différences notables. Pour les tresses mathématiques il est important de savoir quel brin passe au dessus de quel autre brin ce qui est sans intérêt pour nous, et la notion de temps qui est fondamentale en jonglage n'existe pas dans la théorie des tresses. Des tresses qui sont mathématiquement isomorphes peuvent correspondre à des jonglages différents.</p> <h3 class="spip">Questions et résultats mathématiques sur le siteswap</h3> <p class="spip">Les questions mathématiques que je me suis posées et auxquelles je vais répondre sont :</p> <ol class="spip"><li class="spip"> Toute succession de nombres correspond-elle à un siteswap jonglable ? (On verra que non)</li><li class="spip"> Y a-t-il une condition sur la séquence de nombres pour qu'un siteswap soit jonglable ?</li><li class="spip"> Si un siteswap jonglable est donné, comment savoir combien il nécessite de balles ?</li><li class="spip"> Comment déterminer tous les siteswap jonglables ? <hr class="spip" /> <p class="spip"><span class='spip_document_655 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:100px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/12impossible.png' width="100" height="83" alt="" /></span> <strong class="spip">Tout siteswap n'est pas jonglable</strong>. La réponse à la première question est donc négative. Par exemple le siteswap 12 ne peut pas être jonglé comme le montre le diagramme ci-contre car deux balles arriveraient simultanément dans la même main. Pour répondre aux deux questions suivantes, on va utiliser un résultat important : le théorème de la moyenne.</p> </li></ol> <h3 class="spip">Théorème de la moyenne</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <strong class="spip">Site swap</strong> <br />Il est temps d'expliquer l'origine du mot « siteswap ». Dans le diagramme en échelle on a le point (site) de départ et d'arrivée de chaque balle. Si on considère deux balles lancées successivement, on peut en gardant les mêmes points de départ intervertir leur point d'arrivée sans perturber le reste de la séquence. On a échangé (<i class="spip">to swap</i> en anglais) les sites d'arrivée. Qu'est-ce que cela change à la paire de nombres considérée ? <br />Regardons d'abord un exemple : 51.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_660 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/swap-51-42-2.png' width="200" height="75" alt="" /></span> Par rapport au temps zéro, on prévoit l'arrivée de la première balle dans 5 temps et de la deuxième dans deux temps (puisqu'elle sera lancé un temps après la première). Si on fait l'échange des arrivées (en pointillés), la première balle lancée arrivera dans deux temps (on lance donc un 2) et la deuxième arrivera dans cinq temps il faudra donc lancer un 5-1=4. <br />Ainsi 51->24. On peut remarquer que si on refait l'échange des arrivées à partir de 24 on retombe sur 51. Plus généralement :</p> <p class="spip"><strong class="spip"> Si on échange les arrivées pour un siteswap ab où a et b sont deux entiers, a devient b+1 et b devient a-1. Donc ab->(b+1)(a-1)</strong></p> <p class="spip">On remarque que la somme reste constante après cette transformation : b+1+a-1=a+b. Cette technique permet de créer de nouveaux tours à partir de tours existants. Cela ne change pas le nombre de balles. Par exemple, on a déjà vu 12345 avec trois balles. On peut lui appliquer la transformation 51->24 :</p> <p class="spip"><span class='spip_document_661 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/45123-42423.png' width="430" height="292" alt="" /></span></p> <p class="spip">Mais pourquoi s'arrêter là ? Tant qu'il y a des nombres différents dans la séquence, on peut toujours en trouver deux qui se suivent comme ab avec a > b. On opère alors l'échange des arrivées pour obtenir ab->(b+1)(a-1). L'écart entre les nombres a diminué de deux. Ainsi cette transformation conserve la moyenne des deux nombres tout en les rapprochant de leur moyenne lorsqu'on part de a>b. Poursuivons notre exemple, on repère un 42 qu'on va transformer en 33 :</p> <p class="spip"><span class='spip_document_662 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/42-33.png' width="317" height="292" alt="" /></span></p> <p class="spip">Il reste encore un 42 à transformer en 33 et alors globalement, sur la période 45123 on opéré les transformations :</p> <center>4<strong class="spip">51</strong>23 -> <strong class="spip">42</strong>423 -> 33<strong class="spip">42</strong>3 -> 33333 </center> <p class="spip">Toutes ces transformations sont montrées sur l'image ci-dessous (cliquez pour agrandir).</p> <center><span class='spip_document_657 spip_documents spip_documents_center' > <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transfo45123-33333-large.png" class="spip_in"><img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transfo45123-33333.png' width="450" height="155" alt="" /></a></span> </center> <p class="spip">Ainsi 12345 se jongle avec autant de balles que 33333, c'est à dire avec 3 balles. À chaque étape le total reste inchangée : T=1+2+3+4+5=3+3+3+3+3 soit T=5*3. Le trois qu'on trouve correspond donc à T/5 le total divisé par la longueur du siteswap. C'est à dire que le nombre de balles correspond à la moyenne des nombres du siteswap.</p> <p class="spip">Ce qui a été fait sur cet exemple peut toujours se faire avec cet algorithme de retour à la moyenne :</p> <ul class="spip"><li class="spip"> <strong class="spip">Partir d'un siteswap S jonglable.</strong></li><li class="spip"> <strong class="spip">Initialisation : S' :=S</strong><ul class="spip"><li class="spip"> <strong class="spip">Tant que S' comporte des nombres différents faire :</strong><ul class="spip"><li class="spip"> <strong class="spip">Choisir deux nombres a et b qui se suivent dans l'ordre ab avec a>b et les transformer en (b+1)(a-1)</strong>. </li></ul></li><li class="spip"> <strong class="spip">Fin du Tant que.</strong></li></ul></li><li class="spip"> <strong class="spip">Afficher le siteswap S'</strong></li></ul> <p class="spip">En un nombre fini d'étapes cet algorithme permet d'obtenir un siteswap équivalent de même longueur, avec un même total et qui ne comporte que des nombres identiques.</p> <p class="spip">En effet, à chaque étape, le total des nombres reste inchangé ainsi que la longueur du siteswap, la figure est encore jonglable avec autant de balles. Ainsi le siteswap final S' a la même longueur (disons n) que S, ne comporte que des nombres identiques (disons b), se jongle avec autant de balles que S (qui se jongle donc avec b balles) et la somme de ces nombres (qui vaut n*b) est la même que celle de S. On en déduit le théorème de la moyenne :</p> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de la moyenne.</strong> <i class="spip">Tout siteswap jonglable est tel que la moyenne de ses nombres est égale aux nombres de balles nécessaires pour le jongler.</i></p> <hr class="spip" /> <p class="spip">Exemples : <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> 5241 se jongle avec (5+2+4+1)/4=12/4=3 balles. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> 441 se jongle avec 9/3=3 balles. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> 552 se jongle avec 12/3=4 balles. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> 421 ne se jongle pas puisque 4+2+1=7 n'est pas divisible par 3.</p> <p class="spip">Ce théorème donne donc une condition nécessaire pour qu'un siteswap soit jonglable : il faut que la moyenne du siteswap soit un nombre entier.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>Cette condition n'est pas suffisante. Par exemple on peut jongler 123 (avec 6/3=2 balles) mais pas 321 (où au 3e temps on aurait trois balles arrivant dans la même main !). Donc la propriété de la moyenne ne suffit pas et cet exemple montre aussi que pour un siteswap jonglable donné, une permutation des nombres n'est pas toujours jonglable. </td><td><span class='spip_document_663 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:190px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/123-321.png' width="190" height="233" alt="" /></span></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Cependant, on a le théorème de réarrangement qui est une conséquence de ce théorème <a href="http://www.ams.org/journals/proc/1952-003-04/S0002-9939-1952-0050579-7/S0002-9939-1952-0050579-7.pdf" class="spip_out"><i class="spip">A combinatorial problem on abelian groups.</i></a> par Marshall Hall paru dans <i class="spip">Proceedings of the American Mathematical Society</i> en 1952 qui dit que :</p> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de réarrangement.</strong> <i class="spip">Tout n-uplet d'entiers naturels a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> de moyenne entière peut être réordonné de manière à obtenir un siteswap valide.</i></p> <hr class="spip" /> <p class="spip">La preuve mathématique de ce théorème est d'un niveau élevé. J'esaierai à l'occasion d'en donner une version grand public. On trouvera <a href="https://groups.google.com/forum/#!msg/rec.juggling/9BfpeKEX234/d8R6LmbX-5YJ" class="spip_out">ici sur le groupe de discussion rec.juggling</a> un historique de tentatives de preuves collaboratives ainsi qu'une adaptation pour le jonglage de la preuve de Hall par Dean Hickerson.</p> <p class="spip">Exemple : 5421 n'est pas valide mais 5241 est un siteswap valide (cf icone de l'article)</p> <p class="spip">On verra comment avec la notion d'états et de changement d'états on peut déterminer tous les siteswap possibles avec un nombre donné de balles lancées à une hauteur maximale arbitraire.</p> <h3 class="spip">Créer de nouvelles figures par transformations</h3> <p class="spip">On s'est servi de la transformation d'échange des points d'arrivée pour moyenner un siteswap et le rendre régulier. Il est intéressant de noter qu'on peut faire le contraire pour créer à partir d'un jonglage régulier un tour plus complexe. Par exemple dans le jonglage régulier à quatre balles, les balles ne croisent pas. Certains spectateurs quand ils s'en rendent compte disent que « c'est de la triche », voire que c'est trop facile (en général ils n'ont jamais essayé). Quand je débutais on m'avait dit qu'à 4 balles on ne croisait pas, que c'était comme ça parce que 4 est pair. Mais peut-on croiser en jonglant à quatre balles ? Oui on peut, mais le jonglage n'est plus régulier. On va voir comment.</p> <p class="spip">On part du jonglage régulier à quatre balles codé par : 4 On applique la transformation d'échange des points d'arrivée pour deux lancers consécutifs : 44->53. Si on le fait une fois, on croise deux balles (la bleue et la verte sur le diagramme ci-dessous) . Mais on peut aussi remplacer tous les 44 par des 53 et alors on ne fait que croiser, c'est ce qui est représenté sur la troisième tresse. Le motif n'est plus symétrique, on remarque par exemple que c'est toujours la même main qui lance les 3 et l'autre qui lance les 5.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_667 spip_documents spip_documents_center' > <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/4445344-53.png" class="spip_in"><img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/4445344-53-smaller.png' width="250" height="281" alt="" /></a></span></p> <p class="spip">De manière classique, on lance les balles de l'intérieur vers l'extérieur, mais pour le 53 on l'utilise souvent en demi-douche en lançant les 3 normalement et les 5 de l'extérieur vers l'intérieur : on voit alors les balles tourner en rond et non se croiser. Les deux mains tournent alors dans le même sens et non en sens inverse comme des engrenages. Les deux versions sont animées ci-dessous.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_665 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/53_200-2.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></td><td><span class='spip_document_666 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/5O3I_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">53 classique</strong></center></td><td><center><strong class="spip">53 demi-douche</strong></center></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">On peut généraliser la transformation d'échange en ne prenant pas des lancers consécutifs mais espacés d'un temps t. Alors on aura : axxxxb -> (b+t)xxxx(a-t)</p> <p class="spip">Par exemple : 444 -> 642 ou 4444 ->7441 avec t=2 et t=3 respectivement. On augmente encore plus la dissymétrie des lancers... Et si on veut des lancers croisés à la même hauteur, comme des 5 ? Essayons avec un diagramme en échelle.</p> <p class="spip"><span class='spip_document_668 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/444-552.png' width="420" height="297" alt="" /></span></p> <p class="spip">Lorsqu'on lance 55 avec bleu/vert, la bleue arrive sur le site initial du vert comme précédemment mais le problème est que la verte arrive sur le site d'arrivée du rouge. On peut donc retarder le lancer du 4 rouge en "lançant" un 2 avant. Ainsi on a remplacé 444 par 552 (toujours de même moyenne 4). On peut aussi jongler la figure 552 déjà vue au début, où on ne fait que croiser avec des lancers à la même hauteur 5 et des temps morts à cause des 2. On remarque un effet saccadé dû aux 2.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>On peut voir sur la tresse et sur l'animation que dans cette figure on lance en fait deux fois de la main gauche puis deux fois de la main droite : <center><i class="spip">GGDDGGDD...</i></center> Alors que normalement on a le battement <i class="spip">GDGDGD</i>. On peut aussi le voir comme <center><i class="spip">GD-DG-GD-DG...</i></center> </td><td><span class='spip_document_669 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/tresse552.png' width="53" height="272" alt="" /></span></td><td><span class='spip_document_634 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/552_200-2.gif' width="200" height="225" alt="" /></span></td></tr> <tr class="row_odd"><td> </td><td><center><strong class="spip">tresse</strong></center></td><td><center><strong class="spip">552</strong></center></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Il était bien connu depuis longtemps par les anciens jongleurs qu'on pouvait échanger deux balles au milieu du jonglage à quatre. Soit avec un lancer haut et un bas (53) ou avec deux lancers hauts et une pause (552). Mais les inventeurs du siteswap dans les années 80 ont remarqué un motif dans ces transformations :</p> <ul class="spip"><li class="spip"> 44->53</li><li class="spip"> 444->552 <br />Ils ont alors pu vérifier que les suites logiques étaient aussi jonglables :</li><li class="spip"> 4444->5551</li><li class="spip"> 44444->55550</li></ul> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> <tr class="row_odd"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">3</i></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> <tr class="row_even"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">2</i></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> <tr class="row_odd"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">1</i></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> <tr class="row_even"><td>...</td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">5</i></center></td><td><center><i class="spip">0</i></center></td><td><center><strong class="spip">4</strong></center></td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Or 5551 (pas évident) n'avait jamais été répertorié comme le dit Colin Wright co-inventeur du siteswap dans <a href="https://youtu.be/rAz7hOH_mXE?t=44m43s" class="spip_out">cette conférence</a>. Le nouveau tour 5551 est devenu mondialement célèbre alors que la notation venait juste d'être inventée. Le modèle mathématique a permis de prédire l'existence puis de créer des figures encore inconnues. <br />55550 c'est comme jongler la cascade à 5 balles mais avec une balle en moins.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_670 spip_documents spip_documents_left' style='float:left; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/5551_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td><td> <span class='spip_document_633 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/55550_200.gif' width="200" height="225" alt="" /></span> </td></tr> <tr class="row_odd"><td><center><strong class="spip">5551</strong></center></td><td><center><strong class="spip">55550</strong></center></td></tr> </tbody> </table> </center> Le zéro dans 55550 est donc à interpréter comme : la main est vide et donc ne lance rien. On doit écrire ce zéro, il donne une information, et par le théorème de la moyenne on vérifie que (5+5+5+5+0)/5=4. Si on ne mettait pas le zéro on serait amené à calculer 20/4=5, or on ne jongle pas à cinq mais bien à quatre balles quand on fait 55550. De la même manière, 330 se jongle à deux balles (6/3=2) qui font le mouvement de la cascade à trois où il manque la troisième balle. <h3 class="spip"> Comment inventer un siteswap valide ? </h3> <p class="spip">Pour inventer un siteswap possible à jongler on peut dessiner la tresse avec le diagramme en échelle mais on peut faire plus simple. J'expose ici une technique proposée par <a href="http://www.solipsys.co.uk/new/SiteSwap.html#lesson7" class="spip_out">Colin Wright</a>. Par exemple si je cherche à créer une figure de période disons cinq je regarde les balles lancées et le moment où elles vont retomber pour s'assurer qu'elles ne tombent pas au même moment. Mettons que je commence par lancer un 4. Je note sur la première ligne le siteswap et sur la deuxième une astérisque lorsqu'une balle arrive à ce moment. À partir du 4 je compte 4 cases (4 temps) et je place mon astérisque.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> - </td><td> - </td><td> - </td><td> -</td></tr> <tr class="row_odd"><td> . </td><td> . </td><td> . </td><td> . </td><td> *</td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Pour le lancer suivant je ne peux pas faire de 3 mais par exemple un 2 est possible :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> 2 </td><td> - </td><td> - </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td> . </td><td> . </td><td> . </td><td> * </td><td> * </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Il faut comprendre les cases modulo 5 puisque ce n'est qu'une période qui est représentée, le prochain lancer ne peut pas être 1 ou 2 (modulo 5, donc ni 6 ni 7...) mais peut être 0, 3, 4 ou 5 par exemple. Disons 5. Je compte deux cases, je reviens au début et compte trois cases :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> 2 </td><td> 5 </td><td> - </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td> . </td><td> . </td><td> * </td><td> * </td><td> * </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">L'étau se resserre, Je peux lancer 2 ou 3 (ou 7, 8,...) disons 3 :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> 2 </td><td>5 </td><td> 3 </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td>. </td><td>* </td><td>* </td><td>*</td><td> * </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Là on n'a plus trop le choix : on doit lancer un 1 ou 6, 11...</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>4</td><td> 2 </td><td>5 </td><td> 3 </td><td> 1 </td></tr> <tr class="row_odd"><td> * </td><td>* </td><td>* </td><td>*</td><td> * </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">On obtient le siteswap 42531 qu'on nomme plutôt en commençant par le plus grand lancer : 53142. On en fait un autre ? Disons de période 4 cette fois, on commence par un 5 et un 3 :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>5</td><td> - </td><td> - </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td>. </td><td>* </td><td>. </td><td> .</td></tr> </tbody> </table> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>5</td><td> 3 </td><td> - </td><td> - </td></tr> <tr class="row_odd"><td>* </td><td>* </td><td>. </td><td>. </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Pour le prochain on peut mettre 0 ou 1 modulo 4 (soit 4 ou 5 si on reste raisonnable). Si on met un 0 ou un 4 on finira avec un autre 0 (mod 4) et on aurait alors 5300 ou 5304, 5340, 5344. Si on met un 1 (mod 4) il faudra finir avec 3 (mod 4) ce qui donnerait 5313 ou 5353 (qui se simplifie en 53) ou 5317, 5357... On voit qu'il y a une infinité de possibilités si on ne se fixe pas de hauteur maximale ou de nombre de balles. Mettons qu'on se fixe 3 balles dans cet exemple. Notons a et b les deux nombres manquants :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>5</td><td> 3 </td><td> a </td><td> b </td></tr> <tr class="row_odd"><td>* </td><td> * </td><td> . </td><td> . </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Il faut que la moyenne (5+3+a+b)/4=3 soit 8+a+b=12 d'où a+b=4. (Pas de modulo 4 ici). De plus on a vu que a=0 ou 1 (mod 4) ce qui laisse trois possibilités : a=0, 1 ou 4 pour que a+b ne dépasse pas 4. On en déduit b dans chaque cas avec b=4-a. On obtient alors 3 siteswaps possibles de période 4 avec 3 balles et commençant par 53 :</p> <p class="spip">5304, 5313 et 5340.</p> <p class="spip">Notre objectif est de représenter tous les siteswaps possibles avec un nombre de balles données et une hauteur maximale. Si on s'y prend comme ça cela va être fastidieux et devra aussi limiter la longueur de la période pour chaque étude. On garde l'idée du codage du moment où la balle va tomber selon comment elle a été lancée. On peut aussi utiliser cette technique pour tester la validité d'un siteswap.</p> <h3 class="spip"> Déterminer la validité d'une séquence </h3> <p class="spip">On peut améliorer la technique des astérisques pour vérifier la validité d'une séquence de la manière suivante :</p> <p class="spip">On écrit la séquence a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> à tester dans les cases du haut et en dessous on calcule pour chaque a<sub>i</sub> la somme a'<sub>i</sub>=a<sub>i</sub>+i (modulo n).</p> <p class="spip">Les a'<sub>i</sub> représentent les temps d'arrivée (modulo n), la séquence a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> est un siteswap valide si, et seulement si, la séquence a'<sub>1</sub>a'<sub>2</sub>...a'<sub>n</sub> est une permutation de 0, 1, 2, ..., n-1. C'est à dire comporte tous les nombres de 0 à n-1 (donc une fois et une seule). Cela traduit que deux balles n'arrivent pas en même temps.</p> <p class="spip"><strong class="spip">Exemples :</strong> Reprenons notre exemple 42531 précédent. Au lieu de mettre des astérisques au temps d'arrivée cela revient à mettre sous chaque lancer a<sub>i</sub> son temps d'arrivée égal au nombre correspondant au lancer auquel on ajoute son rang dans la séquence, modulo n (noté [n]). C'est son a'<sub>i</sub>.</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>a<sub>i</sub>=</td><td>4</td><td> 2 </td><td>5 </td><td> 3 </td><td> 1 </td></tr> <tr class="row_odd"><td>a'<sub>i</sub>=</td><td> 4+1 [5] </td><td>2+2 [5] </td><td>5+3 [5] </td><td>3+4 [5]</td><td> 1+5 [5] </td></tr> <tr class="row_even"><td>a'<sub>i</sub>=</td><td> 0 </td><td>4 </td><td>3 </td><td>2</td><td> 1 </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Ici les a'<sub>i</sub> comportent bien tous les entiers de 0 à 4 donc le siteswap 42531 est valide. Par contre 52314 n'est pas jonglable :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>a<sub>i</sub>=</td><td>5</td><td> 2 </td><td>3 </td><td> 1 </td><td> 4 </td></tr> <tr class="row_odd"><td>a'<sub>i</sub>=</td><td> 1 </td><td>4 </td><td>1 </td><td>0</td><td> 4 </td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">Les deux 1 et les deux 4 indiquent que deux balles arriveront simultanément aux temps 1 et 4 (modulo 5). Ainsi le théorème de réarrangement précédemment énoncé ainsi :</p> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de réarrangement. (1)</strong> <i class="spip">Tout n-uplet d'entiers naturels a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> de moyenne entière peut être réordonné de manière à obtenir un siteswap valide.</i></p> <p class="spip">peut se reformuler de manière mathématique :</p> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de réarrangement. (2)</strong> <i class="spip">Tout n-uplet d'entiers naturels a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> de moyenne entière peut être réordonné de manière à obtenir un n-uplet b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>...b<sub>n</sub> dont les temps d'arrivées b'<sub>1</sub>b'<sub>2</sub>...b'<sub>n</sub> (où pour tout i : b'<sub>i</sub>=b<sub>i</sub>+i [n] ) soit une permutation de 0, 1, 2, ..., n-1.</i></p> <p class="spip">Ou encore en terme de permutation :</p> <hr class="spip" /> <p class="spip"><strong class="spip">Théorème de réarrangement. (3)</strong> <i class="spip">Pour tout n-uplet d'entiers naturels a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>n</sub> de moyenne entière, il existe une permutation s du groupe symétrique S<sub>n</sub> telle que :</p> <center> { a<sub>s(i)</sub>+s(i) [n] ; i=1, 2, ..., n }={0,1, 2, ..., n-1 } </center></i> <hr class="spip" /> <p class="spip">Une preuve de ce théorème peut être trouvée <a href="https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwjd7cyk0fDLAhWBWRoKHckPAPIQFgggMAA&url=http%3A%2F%2Ftartarus.org%2Fgareth%2Fmaths%2Fstuff%2Fjuggling_theorem.pdf&usg=AFQjCNFCXLcdK-1ZPYkhlQlV7n0mG_jwwA&sig2=vwAlWL8RZxqNAi62P38UIg" class="spip_out">ici</a></p> <h3 class="spip"> Transitions d'états </h3> <p class="spip">Disons que l'on se restreigne à des lancers inférieurs à 5. Si des balles ont été lancées, on ne peut plus qu'attendre qu'elles tombent et regarder quand elles tomberont. La dernière tombera dans au plus cinq temps. On peut noter la situation comme précédemment sur la deuxième ligne des tableaux. Considérons par exemple :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>*</td><td>.</td><td>*</td><td>*</td><td>.</td></tr> </tbody> </table> <p class="spip">La première astérisque signifie qu'une balle va tomber dans un temps. On continue en lisant de gauche à droite : aucune balle dans deux temps, puis une balle dans trois et une autre dans quatre temps. Il y a manifestement trois balles en l'air. Au lieu des astérisques et des points on va plutôt mettre des 1 et des 0 et enlever la grille du tableau, on obtient un nombre en binaire :</p> <center><strong class="spip">10110</strong></center> <p class="spip">Ceci est un état. Ce nombre binaire code l'état des balles en l'air à un temps donné. Que va-t-il se passer au temps suivant ? Une balle arrive, il va falloir la lancer et le temps va avancer d'une unité, on mange donc le premier nombre et on décale tout d'un cran vers la gauche et on met un zéro au bout. On a donc l'état 01100 mais il faut lancer la balle et indiquer quand elle va arriver avec un 1. On ne peut que faire un lancer qui la fasse arriver sur un des 0. On ne peut donc pas lancer de 2 ou 3 mais on peut lancer 1, 4 ou 5. On obtient alors les différentes transitions possibles :</p> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>état initial : </td><td> <i class="spip">1</i>0110 </td></tr> <tr class="row_odd"><td>si on lance 1 : </td><td> <strong class="spip">1</strong>1100</td></tr> <tr class="row_even"><td>si on lance 4 : </td><td> 011<strong class="spip">1</strong>0</td></tr> <tr class="row_odd"><td>si on lance 5 : </td><td> 0110<strong class="spip">1</strong></td></tr> </tbody> </table> <h3 class="spip">Construction du graphe (ou diagramme) de changement d'états pour 2 balles et des lancers de hauteurs inférieurs à 5.</h3> <p class="spip">Lorsqu'on se restreint à des lancers de hauteur <i class="spip">h</i> (donc aucune balle ne mettra plus de cinq temps pour retomber) les différents états possibles sont les <i class="spip">h</i>-uplés constitués d'exactement deux 1 (parce qu'il y a deux balles) et des 0. J'ai construit le diagramme de changement d'état par récurrence <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/diagramme-transition-B2h2345-color-anim.gif" class="spip_in">(en version gif animé ici)</a> sur la hauteur <i class="spip">h</i> des lancers les plus hauts <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> D'abord avec les lancers 0,1,2 on ne peut pas faire grand chose. On a l'état de base 11, on ne peut ni lancer 0 ni 1 donc seul le 2 (en vert sur la figure) peut être lancé et on retombe sur le même état. C'est le jonglage régulier à deux balles 2222... <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Si on s'autorise aussi des lancers de 3 (en bleu sur la figure), on a les trois états : 110, 101, 011. <br />Partant de 110 on peut maintenant lancer un 3 et arriver sur 101. <br />Partant de 101 on peut encore lancer un 3 pour arriver sur 011 ou lancer un 1 et arriver sur 110. <br />Partant de 011 on ne peut rien faire qu'attendre un temps avant qu'une balle tombe c'est à dire lancer un 0 et arriver sur 110.</p> <center> <span class='spip_document_673 spip_documents spip_documents_center' > <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/graphe-changement-etat-2-balles-h3.png" class="spip_in"><img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h3.png' width="460" height="226" alt="" /></a></span> </center> <p class="spip">Les jonglages périodiques à 2 balles avec des lancers inférieurs 3 correspondent aux cycles sur ce graphe. On a par exemple : <br />2, 330, 31, et les combinaisons 312, 31330, 3302, etc. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Si on s'autorise des lancers de 4 (en marron/rouge) on a toujours les états précédents (avec un 0 en plus à la fin) soit 1100, 1010, 0110 mais on peut atteindre les nouveaux états 1001, 0101, 0011. Pour chaque état on regarde les lancers possibles et on relie avec les flèches correspondantes.</p> <center> <span class='spip_document_674 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h4.png' width="450" height="373" alt="" /></span> </center> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> De même avec des lancers de 5 (en noir). Ci-dessous le graphe de changements d'états avec des couleurs de flèches pour les différents lancers. Cliquez dessus pour ouvrir la version animée en grand. <p class="spip"><span class='spip_document_686 spip_documents spip_documents_center' > <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/diagramme-transition-B2h2345-color-anim.gif" class="spip_in"><img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/B2-00.png' width="450" height="373" alt="" /></a></span></p> <h3 class="spip">Tous les siteswaps possibles, siteswaps premiers</h3> <p class="spip"><span class='spip_document_688 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:300px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/graphe01234.png' width="300" height="249" alt="" /></span>Ce graphe permet de déterminer tous les siteswaps possibles en jonglant deux balles à des hauteurs inférieures à 5. <br />Un siteswap valable correspond à un cycle dans le graphe. Par exemple, 01234 est un jonglage possible repéré ci-contre. <br />De la même manière je vous laisse chercher les cycles correspondant à 4400, 312, 501.</p> <p class="spip">En reprenant l'exemple de 01234, on peut observer qu'on passe deux fois par l'état 10100. Ce siteswap peut donc être décomposé en deux cycles : (123)(40). Les cycles 123 et 40 sont par contre indécomposables, on dit qu'ils sont <i class="spip">premiers</i>. De la même manière qu'en arithmétique pour les nombres premiers on a : <br /><strong class="spip">Theorème</strong> <i class="spip">Tout siteswap peut se décomposer en cycles premiers</i></p> <p class="spip">Voici le graphe obtenu pour trois balles et une hauteur maximale de 5 (b=3 h=5). Je vous laisse chercher les siteswap 441, 5241, 55500, 55050, 501. Et trouver celui qui n'est pas premier dans cette liste.</p> <center><span class='spip_document_694 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/grapheb3h5-450-2.png' width="450" height="373" alt="" /></span></center> <h3 class="spip">Dualité</h3> <p class="spip">Au début j'ai créé le graphe pour deux balles avant de m'attaquer à trois balles que savais assez compliqué comme on peut le voir <a href="http://vignette3.wikia.nocookie.net/juggle/images/1/17/State1.jpg/revision/latest?cb=20120509191850" class="spip_out">ici</a>. J'ai vite remarqué qu'il y avait autant d'états pour 2 ou 3 balles puisque choisir deux ou trois éléments parmi 5 est la même chose mais je pensais qu'il y aurait moins de transitions puisqu'à ma connaissance le jonglage à deux balles était moins riche que celui à trois balles. En comparant les deux graphes obtenus et en les réarrangeant correctement, j'ai vu qu'ils étaient identiques ! Il y a une dualité entre ces deux graphes.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td><span class='spip_document_690 spip_documents' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/grapheb2h5-small.png' width="225" height="186" alt="" /></span></td><td><span class='spip_document_693 spip_documents' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/grapheb3h5-small.png' width="225" height="186" alt="" /></span></td></tr> </tbody> </table> </center> Les deux graphes se ressemblent sauf que les couleurs des flèches sont différentes ainsi que leur sens et bien sûr les états sont différents. La dualité entre ces deux graphes et plus généralement entre les graphes (b,h) et (h-b,h) où b est le nombre de balles et h la hauteur maximale de lancer peut être mise en évidence ainsi : <br />Pour passer de l'un à l'autre il faut prendre chaque lancer a et le remplacer par h-a (ici 5-a) et lire la flèche dans le sens contraire. <br />La transformation est sa propre réciproque (i.e. involutive) puisque y=h-x équivaut à x=h-y et le changement de sens de flèche est aussi évidemment involutif. Ici 5<->0, 4<->1, 3<->2 ce qui correspond aux échanges de couleurs jaune<>noir, rouge<>orange, bleu<>vert. <br />Quant aux états ils ont été changés de manière similaire : on échange les 0 et les 1 (ce qui correspond pour un chiffre c à la transformation complémentaire à 1 : c->1-c) et on les lit dans l'autre sens. Par exemple pour 10100. On échange les 0 et 1 : 01011 et on lit dans l'autre sens : 11010. Ci-dessous une animation montrant les transformations pour passer d'un graphe à l'autre. <center><span class='spip_document_687 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/Anim-graphe2-3-200ms-optim-boucle4.gif' width="450" height="373" alt="" /></span></center> <p class="spip">Qu'est-ce que cette dualité signifie pour le jonglage ? Jongler avec 2 balles ce n'est pas pareil que jongler avec trois balles. Les échanges qu'on a fait correspondent à échanger les actions lancer et recevoir ainsi que les hauteurs ce qui est difficile à ressentir concrètement. Par exemple le jonglage 441 ( à trois balles) correspond à 411 (avec deux balles). Je note 441<>411. De même 5241<>4130. (On prend le complémentaire à 5 et on lit le siteswap dans l'autre sens)</p> <h3 class="spip">Graphe réduit</h3> <p class="spip">On reprend le graphe pour deux balles reproduit ci-dessous. Ce graphe commence à être compliqué mais on peut le simplifier en réduisant le nombre d'états.</p> <center> <table class="spip"> <tbody> <tr class="row_even"><td>Les états qui commencent par un zéro ne sont que des états transitoires, au coup d'après on ne peut rien faire d'autre que d'attendre qu'une balle tombe (ie lancer un 0). On peut les supprimer quitte à mettre sur les flèches les différents lancers possibles pour aller d'un état à l'autre. </td><td><span class='spip_document_690 spip_documents' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/grapheb2h5-small.png' width="225" height="186" alt="" /></span></td></tr> </tbody> </table> </center> <br />C'est ce qui est fait ci-dessous : <br /> <center> <span class='spip_document_677 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h5-simplify.png' width="450" height="373" alt="" /></span> </center> <br />Ce qui une fois réorganisé donne le graphe ci-dessous : <br /> <center> <span class='spip_document_678 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h5-simplify-reorg.png' width="450" height="348" alt="" /></span> </center> <br />On remarque que l'état 10001 en bas ne comporte qu'une flèche entrante, on peut supprimer cet état quitte à rajouter des lancers multiples sur les autres flèches. J'ai aussi ôté les zéros finaux des états pour obtenir finalement le graphe réduit ci-dessous pour les jonglages avec deux balles et des hauteurs inférieures à 5. <br /> <center> <span class='spip_document_682 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb2h5-simplify-reorga3.png' width="451" height="277" alt="" /></span> </center> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> De la même manière, par dualité voici le graphe réduit pour 3 balles et des lancers de hauteurs inférieures à 5. <center> <span class='spip_document_683 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/transb3h5-simplify-reorg3.png' width="450" height="298" alt="" /></span> </center> <p class="spip">Comme précédemment la dualité ici fonctionne ainsi : Pour passer de l'un à l'autre il faut prendre chaque lancer a et le remplacer par h-a et lire la flèche <i class="spip">et la séquence de lancers</i> dans le sens contraire. Par exemple : <br />la séquence 520 pour b=2 correspond à 530 pour b=3 et réciproquement. En effet on a la suite de transformations 520->(<i class="spip">5</i>-5)(<i class="spip">5</i>-2)(<i class="spip">5</i>-0)->035->530). Je note 520<>530. De même : <br />2<>3, 500<>550, 5300<>5520, 50<>50 <br />Quant aux états ils ont été échangés de manière similaire : on échange les 0 et les 1 (ce qui correspond pour un chiffre c à la transformation complémentaire à 1 : c->1-c) et on les lit dans l'autre sens. Par exemple 101=10100. On échange les 0 et 1 : 01011 et on lit dans l'autre sens : 11010=1101. <br />Plus généralement un graphe pour <i class="spip">b</i> balles et des lancers inférieurs ou égaux à <i class="spip">h</i> comporte un nombre d'états égal à <i class="spip">b</i> parmi <i class="spip">h</i> (nombre de façons de choisir <i class="spip">b</i> chiffres 1 à placer dans un <i class="spip">h</i>-uplet) i.e. <i class="spip">h</i> !/[ (<i class="spip">h</i>-<i class="spip">b</i>) ! <i class="spip">b</i> ! ]. Si on réduit le graphe en éliminant tous les états qui n'ont qu'une flèche sortante ou entrante on n'a plus que <i class="spip">b</i>-2 parmi <i class="spip">h</i>-1 états. Pour voir plus de tels graphes réduits on pourra consulter l'article de <a href="http://users.mai.liu.se/hanlu09/juggling/" class="spip_out">Hans Lundmark</a> qui semble avoir été le premier à publier à ce sujet en 2004.</p> L'axiomatique en mathématique (Conférence) http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article163 <h3 class="spip">Projet transdisciplinaire <p class="spip">Approches épistémologiques croisées</p> </h3> <p class="spip">Participant à ce projet transdisciplinaire (Philosophie, Mathématiques, Physique-Chimie, Histoire) initié par mon collègue de philosophie Nicolas Desre dans le cadre de l'EMC (enseignement moral et civique), j'ai proposé une intervention pour contribuer à répondre à la problématique :</p> <p class="spip"><strong class="spip">Quand y a-t-il vérité ? <br />Entre croyance, doute et hypothèse, la construction du savoir scientifique.</strong></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <i class="spip">Intervention mathématique</i></p> <p class="spip">Partant de la géométrie idéale des grecs et l'axiomatique d'Euclide (ces mathématiques pures représentent elles notre monde avec ce choix arbitraire des axiomes ? Remise en question du 5e axiome d'Euclide qui nous amène d'abord à la représentation en perspective où les droites parallèles se coupent à l'infini (ce qui donnera la géométrie projective), puis aux géométries non euclidiennes : géométrie de la sphère (à courbure positive), la géométrie hyperbolique (à courbure négative). Euclide est-il pour autant dépassé ? Y a-t-il une géométrie meilleure qu'une autre ?</p> <p class="spip">Enfin faire ressortir que les mathématiques établissent des vérités... mathématiques (sûres à 100%) au sein d'un système d'axiomes arbitraires et nécessairement incomplet. J'évoquerai pour conclure les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Le choix des axiomes doit être assez pertinent pour coller le plus possible à notre monde mais ne peut y parvenir ; tout système mathématique simplifie, idéalise notre monde et laisse des propositions qui sont indécidables : on ne pourra jamais savoir si elles sont vraies ou fausses.</p> <p class="spip"><a href="https://docs.google.com/presentation/d/1rv68cTvLKrhHmY60mJE3XpskYLneLQaGkGPXuKpZUP8/edit?usp=sharing" class="spip_out">Diaporama de présentation</a>. <br /><a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Axiomatique-Notes-de-cours.pdf" class="spip_in">Notes de cours</a> distribuées aux élèves.</p> Fri, 25 Mar 2016 11:20:30 +0100 prof.pantaloni <h3 class="spip">Projet transdisciplinaire <p class="spip">Approches épistémologiques croisées</p> </h3> <p class="spip">Participant à ce projet transdisciplinaire (Philosophie, Mathématiques, Physique-Chimie, Histoire) initié par mon collègue de philosophie Nicolas Desre dans le cadre de l'EMC (enseignement moral et civique), j'ai proposé une intervention pour contribuer à répondre à la problématique :</p> <p class="spip"><strong class="spip">Quand y a-t-il vérité ? <br />Entre croyance, doute et hypothèse, la construction du savoir scientifique.</strong></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <i class="spip">Intervention mathématique</i></p> <p class="spip">Partant de la géométrie idéale des grecs et l'axiomatique d'Euclide (ces mathématiques pures représentent elles notre monde avec ce choix arbitraire des axiomes ? Remise en question du 5e axiome d'Euclide qui nous amène d'abord à la représentation en perspective où les droites parallèles se coupent à l'infini (ce qui donnera la géométrie projective), puis aux géométries non euclidiennes : géométrie de la sphère (à courbure positive), la géométrie hyperbolique (à courbure négative). Euclide est-il pour autant dépassé ? Y a-t-il une géométrie meilleure qu'une autre ?</p> <p class="spip">Enfin faire ressortir que les mathématiques établissent des vérités... mathématiques (sûres à 100%) au sein d'un système d'axiomes arbitraires et nécessairement incomplet. J'évoquerai pour conclure les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Le choix des axiomes doit être assez pertinent pour coller le plus possible à notre monde mais ne peut y parvenir ; tout système mathématique simplifie, idéalise notre monde et laisse des propositions qui sont indécidables : on ne pourra jamais savoir si elles sont vraies ou fausses.</p> <p class="spip"><a href="https://docs.google.com/presentation/d/1rv68cTvLKrhHmY60mJE3XpskYLneLQaGkGPXuKpZUP8/edit?usp=sharing" class="spip_out">Diaporama de présentation</a>. <br /><a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Axiomatique-Notes-de-cours.pdf" class="spip_in">Notes de cours</a> distribuées aux élèves.</p> Conférence "Jonglage et mathématiques" http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article162 <p class="spip"><span class='spip_document_621 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/logo-semaine-maths.png' width="335" height="258" alt="" /></span></p> <p class="spip">À l'occasion de la semaine des mathématiques dont le thème pour 2016 est "maths et sport", je propose une conférence ouverte à tous sur les mathématiques du jonglage.</p> <p class="spip">Je cite le livre passionnant de <br />Deux séances sont prévues dans l'amphi A05 du lycée Jean Zay :</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Lundi 14 mars à 16h <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Mercredi 16 mars à 13h30</p> <p class="spip"><span class='spip_document_608 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/poster-mini.png' width="426" height="607" alt="affiche-conf-jonglage" title="affiche-conf-jonglage" /></span> Extrait motivant de <i class="spip">The Mathematics of Juggling</i> de <i class="spip">Burkard Polster</i> : <br /><i class="spip">Many people leave school convinced that mathematics is a boring, difficult and inaccessible subject, practised by equally boring, difficult and inaccessible individuals. Many juggling mathematicians have found that a presentation of mathematical juggling spiced up with some fancy juggling by the presenter is a perfect way to demonstrate to people that mathematicians can be very interesting individuals whose mathematics can be a lot of fun, incredibly beautiful and very useful and accessible. This should be another good reason why mathematicians in general “should care”.</i></p> <h3 class="spip">Programme de la conférence :</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://drive.google.com/file/d/0B_TT24S0dYIFSldocjVwazVRd1k/view?usp=sharing" class="spip_out">Diaporama</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Intro : <strong class="spip">Jongler c'est tresser.</strong> <br />Je viens avec mes balles pour faire des démonstrations de différentes façons de jongler pour illustrer mon propos. <br />On verra que jongler avec des cordes attachées aux balles forme une tresse. <br />On exploitera cette tresse pour démontrer le théorème de Shannon. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <strong class="spip">Théorème de Shannon.</strong> <br />Une relation entre différents temps, le nombre de balles et ... le nombre de mains ! On en déduit la hauteur à laquelle il faut lancer selon le nombre de balles avec lequel on veut jongler. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <strong class="spip">Siteswap</strong>. <br />Présentation de ce système de codage <a href="http://juggle.wikia.com/wiki/Siteswap" class="spip_out">siteswap</a> inventé en 1981 des différents jonglages possibles en fonction de la hauteur à laquelle chaque balle est lancée. <br />Siteswap possibles et impossibles à jongler. <br />Peut-on jongler à quatre (ou tout autre nombre pair) balles avec des lancers croisés ? <br />Règle de la moyenne. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <strong class="spip">Graphe des changements d'états.</strong> <br />La position des balles en l'air à un temps donné constitue un état qui peut être codé par un nombre écrit en binaire. <br />On verra des graphes de changements d'états pour 2 et 3 balles afin de déterminer tous les jonglages possibles.</p> <h3 class="spip">Quelques diapos extraites de la présentation.</h3> <p class="spip"><span class='spip_document_609 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-shannon.png' width="422" height="318" alt="" /></span> <span class='spip_document_610 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/graphique-hauteur.png' width="422" height="318" alt="" /></span> <span class='spip_document_611 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/differents-lancers.png' width="424" height="318" alt="" /></span> <span class='spip_document_612 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-siteswap.png' width="423" height="318" alt="" /></span> <span class='spip_document_613 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-new-trick.png' width="422" height="314" alt="" /></span></p> <p class="spip"><span class='spip_document_619 spip_documents spip_documents_left' style='float:left; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/552_200.gif' width="200" height="225" alt="jonglage siteswap 552" title="jonglage siteswap 552" /></span> <span class='spip_document_618 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/53_200.gif' width="200" height="225" alt="Jonglagle siteswap 53" title="Jonglagle siteswap 53" /></span></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Siteswap 552 (à gauche) et 53 (à droite). <br /> <span class='spip_document_620 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-moyenne.png' width="473" height="330" alt="" /></span> <span class='spip_document_615 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-5241.png' width="423" height="269" alt="" /></span> <span class='spip_document_616 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/Diapo-Graphe-Transition-etats.png' width="435" height="320" alt="" /></span></p> <p class="spip">version gif animé en grand <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/diagramme-transition-B2h2345-color-anim.gif" class="spip_out">ici</a></p> Fri, 11 Mar 2016 11:12:08 +0100 prof.pantaloni <p class="spip"><span class='spip_document_621 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/logo-semaine-maths.png' width="335" height="258" alt="" /></span></p> <p class="spip">À l'occasion de la semaine des mathématiques dont le thème pour 2016 est "maths et sport", je propose une conférence ouverte à tous sur les mathématiques du jonglage.</p> <p class="spip">Je cite le livre passionnant de <br />Deux séances sont prévues dans l'amphi A05 du lycée Jean Zay :</p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Lundi 14 mars à 16h <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Mercredi 16 mars à 13h30</p> <p class="spip"><span class='spip_document_608 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/poster-mini.png' width="426" height="607" alt="affiche-conf-jonglage" title="affiche-conf-jonglage" /></span> Extrait motivant de <i class="spip">The Mathematics of Juggling</i> de <i class="spip">Burkard Polster</i> : <br /><i class="spip">Many people leave school convinced that mathematics is a boring, difficult and inaccessible subject, practised by equally boring, difficult and inaccessible individuals. Many juggling mathematicians have found that a presentation of mathematical juggling spiced up with some fancy juggling by the presenter is a perfect way to demonstrate to people that mathematicians can be very interesting individuals whose mathematics can be a lot of fun, incredibly beautiful and very useful and accessible. This should be another good reason why mathematicians in general “should care”.</i></p> <h3 class="spip">Programme de la conférence :</h3> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="https://drive.google.com/file/d/0B_TT24S0dYIFSldocjVwazVRd1k/view?usp=sharing" class="spip_out">Diaporama</a> <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Intro : <strong class="spip">Jongler c'est tresser.</strong> <br />Je viens avec mes balles pour faire des démonstrations de différentes façons de jongler pour illustrer mon propos. <br />On verra que jongler avec des cordes attachées aux balles forme une tresse. <br />On exploitera cette tresse pour démontrer le théorème de Shannon. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <strong class="spip">Théorème de Shannon.</strong> <br />Une relation entre différents temps, le nombre de balles et ... le nombre de mains ! On en déduit la hauteur à laquelle il faut lancer selon le nombre de balles avec lequel on veut jongler. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <strong class="spip">Siteswap</strong>. <br />Présentation de ce système de codage <a href="http://juggle.wikia.com/wiki/Siteswap" class="spip_out">siteswap</a> inventé en 1981 des différents jonglages possibles en fonction de la hauteur à laquelle chaque balle est lancée. <br />Siteswap possibles et impossibles à jongler. <br />Peut-on jongler à quatre (ou tout autre nombre pair) balles avec des lancers croisés ? <br />Règle de la moyenne. <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <strong class="spip">Graphe des changements d'états.</strong> <br />La position des balles en l'air à un temps donné constitue un état qui peut être codé par un nombre écrit en binaire. <br />On verra des graphes de changements d'états pour 2 et 3 balles afin de déterminer tous les jonglages possibles.</p> <h3 class="spip">Quelques diapos extraites de la présentation.</h3> <p class="spip"><span class='spip_document_609 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-shannon.png' width="422" height="318" alt="" /></span> <span class='spip_document_610 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/graphique-hauteur.png' width="422" height="318" alt="" /></span> <span class='spip_document_611 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/differents-lancers.png' width="424" height="318" alt="" /></span> <span class='spip_document_612 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-siteswap.png' width="423" height="318" alt="" /></span> <span class='spip_document_613 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-new-trick.png' width="422" height="314" alt="" /></span></p> <p class="spip"><span class='spip_document_619 spip_documents spip_documents_left' style='float:left; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/552_200.gif' width="200" height="225" alt="jonglage siteswap 552" title="jonglage siteswap 552" /></span> <span class='spip_document_618 spip_documents spip_documents_right' style='float:right; width:200px;'> <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/53_200.gif' width="200" height="225" alt="Jonglagle siteswap 53" title="Jonglagle siteswap 53" /></span></p> <p class="spip"><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> Siteswap 552 (à gauche) et 53 (à droite). <br /> <span class='spip_document_620 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-moyenne.png' width="473" height="330" alt="" /></span> <span class='spip_document_615 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/diapo-5241.png' width="423" height="269" alt="" /></span> <span class='spip_document_616 spip_documents spip_documents_center' > <img src='http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/png/Diapo-Graphe-Transition-etats.png' width="435" height="320" alt="" /></span></p> <p class="spip">version gif animé en grand <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/gif/diagramme-transition-B2h2345-color-anim.gif" class="spip_out">ici</a></p> Matrices http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article161 <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Intro-matrices-diapo-Oies.pdf" class="spip_in">Diaporama</a> d'introduction aux matrices basé sur une activité du livre Hyperbole. Fri, 29 Jan 2016 17:57:24 +0100 prof.pantaloni <br /><img src="http://prof.pantaloni.free.fr/dist/puce.gif" width="8" height="11" alt="-" /> <a href="http://prof.pantaloni.free.fr/IMG/pdf/Intro-matrices-diapo-Oies.pdf" class="spip_in">Diaporama</a> d'introduction aux matrices basé sur une activité du livre Hyperbole. Infinity http://prof.pantaloni.free.fr/spip.php?article160 Start with this lesson that includes some questions : <br /><a href="http://ed.ted.com/on/57YyWrHH" class="spip_out">Hilbert's Infinite Hotel Paradox</a> Mon, 12 Oct 2015 12:01:02 +0200 prof.pantaloni Start with this lesson that includes some questions : <br /><a href="http://ed.ted.com/on/57YyWrHH" class="spip_out">Hilbert's Infinite Hotel Paradox</a>