MATHZANI

Ma première fractale

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MATHZANI

Ma première fractale

Qu’est-ce qu’une fractale ?

L’adjectif fractal a été introduit par Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé , irrégulier. B.Mandelbrot a écrit plusieurs livres dont « Les Objets fractals : forme, hasard et dimension, survol du langage fractal » que je recommande vivement. Il y définit dans un langage acessible et où les mathématiques interviennent progressivement cette notion. Depuis l’adjectif est devenu un substantif, on dit maintenant une fractale pour désigner un objet fracal.

Bizarrement il n’y a pas une définition claire, mais plutôt des caractéristiques qu’ont les fractales. La propriété la plus simple et le plus souvent évoquée est celle de l’autosimilarité c’est à dire que le tout est semblable à une de ses parties.

On illustre cela avec la première fractale historiquement construite par Von Koch, mathématicien suédois, mort en 1924, année de la naissance de B. Mandelbrot (toujours vivant).

Protocole de construction :
- On part d’un segment, on le divise en trois.
- On remplace le tiers central par deux segments, côtés d’un triangle équilatéral ayant pour base le tiers central retiré.
- On obtient une ligne brisée comportant 4 segments chacun de longueur 1/3 du segment original.
- On recommence la même construction sur chaque segment, et on continue ce procédé ad infinitum.
- La courbe obtenue à la limite s’appelle la courbe de Von Koch.

Ci dessous une animation de la construction :

Courbe de Von Koch

Cet objet possède parfaitement la propriété d’autosimilarité. Par exemple sur la courbe ci-dessous, la partie entourée en bleue est semblable au tout (au sens où il y a un agrandissement qui la transforme en la courbe entière). Mathématiquement, on dira qu’il y a une similitude, i.e. la composée d’une homothétie et d’une rotation qui transforme la partie entourée en la courbe entière. Le rapport de similitude est 3, l’angle de la similitude est 60°.

Cette courbe est de longueur infinie : par construction, à chaque étape la longueur est multipliée par 4/3 en effet à chaque étape on a quatre fois plus de segments chacun de longueur un tiers des segments de la génération précédente. Or 4/3 est strictement supérieur à 1, on a donc une suite géométrique qui tend vers plus l’infini.

Je vous entend déjà : « Ok super une courbe de longueur infinie qui tient dans la poche, ça sert à quoi ? ». Et bien par exemple, cette courbe peut être vue comme une modélisation d’une côte rocheuse. B. Mandelbrot posa alors la question :

« Quelle est la longueur de la côte bretonne ? »

Question moins naïve qu’il n’y parait. Comment mesurer la longueur de cette côte ? On peut en première approximation prendre une carte routière au 1/20000, se munir d’une ficelle, faire coïncider la ficelle avec la limite terre/mer, déplier la ficelle et la mesurer. Une règle de trois donne une longueur en Km de la côte. Mais vue l’echelle de la carte, on n’a pas tenu compte de replis que l’on verrait par exemple au 1/100000. A cette échelle la côte parait encore plus accidentée, on recommence l’opération. On espère avoir une mesure plus précise, mais on obtient une mesure complètement différente, disons deux fois plus grande. Si on recommence encore avec des cartes de randonnée au 1/25000, on obtient encore une mesure très différente des deux premières, beaucoup plus grande. Qu’à cela ne tienne, on continue : on peut imaginer l’expérience qui consisterait à marcher avec un podomètre le long de la côte, ou de prendre des photos sattelites de plus en plus précises. On obtient des séries de mesures qui sont croissantes mais qui ne convergent pas vers une valeur finie. Quand arrête-t-on de zoomer ? Faudra-t-il mesurer les rochers à l’échelle atomique ? Finalement il n’y a pas de réponse satisfaisante à la question : « Quelle est la longueur de la côte bretonne ? », à part « ça dépend à quelle échelle » ou « infinie ». On a alors inventé la notion mathématique de dimension fractale. Par exemple :
La courbe de Von Koch est formée de n = 4 exemplaires d’elle même réduit d’un facteur d’homothétie h = 3. Sa dimension fractale vaut :

d= \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \simeq 1,2618595

Dans la nature, on trouve par exemple le chou Romanesco ou des fougères, des arbres qui possèdent cette propriété d’autosimilarité, on peut dire que ce sont des objets fractals. Vous pouvez voir l’applet GeoGebra montrant un arbre modélisé par une construction itérative..
La fractale de Mandelbrot ne possède pas parfaitement cette propriété d’autosimilarité, elle est plus complexe, mais on a vu que l’on retrouvait des parties similaires au tout. Pour comprendre cette fractale de Mandelbrot, il faut utiliser les nombres complexes, je vous invite lire les articles suivants.