MATHZANI

Définition de l’ensemble de Mandelbrot, orbite

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Définition de l’ensemble de Mandelbrot, orbite

Comment est défini l’ensemble de Mandelbrot ?

On considère la suite (z_{n}) définie par récurrence avec :

z_0=0 et pour tout entier naturel n : z_{n+1}=f(z_n)f(z)=z^2+z_A .

z_A désigne un nombre complexe, l’affixe d’un point A qui correspond donc au premier point de la suite après z_0 puisque z_1=0^2+z_A=z_A. Autrement dit, on passe d’un terme z_n de la suite au suivant z_{n+1} en l’élevant au carré et en ajoutant ensuite z_A. C’est donc une suite relativement simple dans sa définition comparée à l’hyper complexité de l’ensemble de Mandelbrot auquel elle donne naissance :

-  Définition : L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des points A pour lesquels la suite (z_{n}) est bornée.


Bornée, revient ici à dire dans le cas des complexes que les modules |z_n| ne tendent pas vers l’infini ou encore que les distances OA_n restent bornées.
Pour visualiser le comportement de la suite (z_{n}) qui donne naissance à l’ensemble de Mandelbrot, utilisez l’applet GeoGebra page suivante (necessite Java) ou téléchargez le fichier GeoGebra. Ci-dessous une capture d’écran de cette animation.

La figure construite place les points d’affixe z_0, z_1, z_2\dots reliés par des segments afin de visualiser le comportement de la suite. En bougeant le point A on observe différents comportements. En particulier si elle converge, si elle tend vers un cycle, ou si elle diverge. J’ai tracé en rose l’allure grossière de la frontière de l’ensemble de Mandelbrot, une cardioïde et quelques cercles.

Orbite de 0 pour z'=z^2+z_A

- Exemples :
Prouvons que le point A d’affixe -1 appartient à l’ensemble de Mandelbrot :
z_1=f(0)=0^2-1=-1
z_2=f(-1)=(-1)^2-1=1-1=0=z_0
Ainsi la suite définie par z_{n+1}=f(z_n) et z_0=0f(z)=z^2-1 prend les valeurs :
0 ; -1 ; 0 ; -1 ; 0 ; -1 ; ...
Elle est donc 2-périodique donc elle est bornée, donc le point A d’affixe -1 appartient à l’ensemble de Mandelbrot.

Prouvons que le point A d’affixe i appartient à l’ensemble de Mandelbrot :
z_1=f(0)=0^2+i=i
z_2=f(i)=i^2+i=-1+i
z_3=f(-1+i)=(-1+i)^2+i=1-2i+i^2+i=-i
z_4=f(-i)=(-i)^2+i=-1+i=z_2
Ainsi la suite définie par z_{n+1}=f(z_n) et z_0=0f(z)=z^2+i prend les valeurs :
0 ; i ; -1+i ; -i ; -1+i ; -i ; -1+i ; -i ;...
Elle est donc 2-périodique à partir de n=2. Donc elle est bornée, donc le point A d’affixe i appartient à l’ensemble de Mandelbrot.

Sur la figure ci-dessous vous pouvez voir la période des orbites en fonction de la zone où se trouve le point initial. Vous pouvez vérifier sur l’applet page suivante.

Périodicité des orbites par zones

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