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Foyer de la parabole

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- Quelle doit être la forme d’un miroir pour que tous les rayons réfléchis passent par un même point ?
Nous n’avons pas répondu à cette question. Dans l’article Caustique du cercle, cardioïde nous avons vu que la réponse n’est pas le cercle, mais alors qu’est-ce ? Voyons d’abord que la parabole convient, nous verrons ensuite que cette propriété est caractéristique des paraboles.

Expérimentation sous GeoGebra.

On trace la parabole de référence, courbe de la fonction carré. Un point M mobile sur cette courbe, on trace un rayon incident vertical (orange) qui atteint la courbe en M. On trace la tangente (en bleu) puis la normale (en vert) à la parabole en M. Le rayon réfléchi (en rouge) est symétrique au rayon incident par rapport à la normale. Cela découle de la loi de Snell-Descartes qui nous dit que les angles d’incidence et de réflexion (codés en vert) sont égaux. On obtient cette figure :

Rayon réfléchi sur une parabole

En traçant tous les rayons réfléchis, on observe qu’ils passent tous par un même point, noté F, qu’on appelle le foyer de la parabole. Le nom foyer vient du fait que si on fait cette expérience avec un vrai miroir, ce point est très chaud. Il existe même des fours solaires fonctionnant selon ce principe. Et si on imagine cette portion de parabole qui tourne autour de son axe de symétrie, on obtientune surface, appelée paraboloïde de révolution, qui est la forme d’une antenne dite « parabole ». Le capteur est alors placé au foyer, et cela permet de condenser les rayons au niveau du capteur.

Rayons réfléchis passant par le foyer

Modélisation mathématique.

Voyons que la parabole d’équation y=x² convient.
On se fixe un réel a non nul. Pour obtenir le rayon réfléchi touchant la parabole en A(a ;a²), il faut trouver l’équation de Ta, la tangente à la parabole au point A, d’abscisse a. C’est :
Ta : y=2a(x-a)+a² Ensuite il va falloir utiliser la loi de la réflexion de Descartes qui nous assure que les angles codés en vert sont égaux. Un peu de trigonométrie (Oh non pitié, pas ça !!) nous sera utile... En particulier la formule de duplication pour la tangente : tan(2x)=...

Cet article est encore en cours de rédaction.... suite au prochain épisode.