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Caustique du cercle, cardioïde.

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- Quelle est cette courbe lumineuse que l’on voit au fond d’une tasse ou d’une casserole ?
- Quelle doit être la forme d’un miroir pour que tous les rayons réfléchis passent par un même point ?
Ces deux questions sont liées :

Caustique du cercle

Comme réponse intuitive à la deuxième question, on pourrait être tenté de dire : « Bah un cercle ! » Ce n’est pas tout à fait faux, c’est vrai seulement si la source de lumière est au centre du cercle, auquel cas tous les rayons réfléchi passent par le... centre du cercle. Mais si la source de lumière n’est pas au centre du cercle, alors les rayons se réfléchissant à l’interieur d’un cercle ne passent pas par un même point. Vous avez certainement déjà observé ce phénomène, ici au fond d’un plat cylindrique en porcelaine dans ma cuisine (mais ça marche ailleurs) :

Caustique dans un plat en porcelaine

Voici un gif animé montrant les différents rayons réfléchis en blanc.

Cardioide comme caustique du cercle

On peut modéliser la situation avec un logiciel de géométrie dynamique comme GeoGebra : On trace un cercle de centre O, on choisit un point S comme « source de lumière ». On choisit ensuite un point mobile M sur le cercle. le segment [SM] est le rayon incident, on trace ensuite le rayon réfléchi [MM’]. Enfin on fait varier M sur le cercle, et on demande de tracer tous les rayons réfléchi [MM’]. On obtient la figure suivante :

Caustique du cercle en demi-néphroïde (GeoGebra)

Caustique cardioide

cf cet applet GeoGebra pour une animation de géométrie dynamique.

Dans le premier cas la source S est à l’extérieur du cercle telle que SO vaut environ trois rayons. Dans le deuxième cas la source est sur la circonférence du cercle. On observe une espèce d’accumulation des rayons réfléchis selon cette courbe, qui peut évoquer différentes choses, disons un cœur. Cete courbe s’appelle d’ailleurs une cardioïde. C’est la caustique du cercle dans le cas où la source est sur la circonférence du cercle. Mathématiquement, c’est « l’enveloppe des rayons réfléchis » : chaque rayon réfléchi est tangent à un point de la cardioïde. Dans le cas théorique où la source est à l’infini on obtient une demi-néphroïde (car cette courbe ressemble à des reins). C’est ce qu’on observe plutôt sur la première figure et dans le plat de porcelaine.
On a ainsi la réponse à la première question, mais pour la deuxième, on sait juste que la réponse n’est pas un cercle ! En fait c’est une parabole (d’où la forme des antennes paraboliques) pour en savoir plus, lisez l’article suivant. Ci-dessous je parle un peu plus de la cardioïde.

Cardioïde

Cette courbe fait partie de la famille des cycloïdes, et plus précisément c’est une épicycloïde à un point de rebroussement. On peut l’obtenir par rotation d’un cercle autour d’un autre de même rayon. Il existait autrefois un jeu qui s’appellait « spirograph ». On disposait de roues dentées de différent rayons, munies de trous pour y placer la pointe d’un stylo. Si vous n’avez pas ce jeu, prenez deux pièces de monnaies qui possèdent souvent des indentations sur la tranche. Deux pièces de 2€ feront l’affaire. Placez les pièces à plat sur une feuille, se touchant en un point de leur circonférence. Une des pièce (disons la n°1) doit rester fixe, l’autre (la n°2) va rouler autour de la n°1, sans glisser (d’où l’utilité des roues dentées). Marquer un point de la circonférence de la pièce n°2 au feutre. Placer un point sur la feuille à cette même position, faire tourner un peu la pièce, marquer la nouvelle position du point, continuer ainsi jusqu’à faire un tour de la pièce n°1. Si vous n’avez pas glissé, vous revenez au point de départ et vos pointillés tracent une cardioïde. Si vous n’avez pas de pièce, utilisez GeoGebra par exemple.

Cardioïde comme épicycloïde

la cardioide une épicycloide

En faisant la même exprérience mais avec une pièce n°2 qui a un rayon moitié de celui de la n°1, on obtient une néphroïde qui a deux points de rebroussements.
- cf cet applet GeoGebra pour une animation de géométrie dynamique sur les cycloïdes. Ainsi que celui-ci pour des arches de cycloïdes avec un joli vélo !

Pour tracer cette courbe sur une calculatrice, il faut se mettre en mode paramétré ou en coordonnées polaires. En mode polaire, l’équation :

\rho= 1-\cos(t)  \quad t\in [0;2\pi]
est celle d’une cardioïde, orientée comme sur les images précédentes. C’est à dire que cette courbe peut être vue comme le lieu des points M tels que la distance de l’origine à M est 1 - cos(t) où t est l’angle polaire, ie l’angle que fait l’axe polaire (axe des abscisses) avec la demi-droite [OM). Cet angle t variant dans R ou dans un intervalle de longueur 2\pi On obtient cette courbe, à laquelle j’ai superposé un cercle (en noir)

En coordonnées cartésiennes, la cardioïde peut être vue comme l’ensemble des points de coordonnées :

((\cos(t) - 1) \cos(t)\,;\, (\cos(t) - 1) \sin(t))
où t décrit encore un intervalle de longueur 2\pi ce qui en donne une représentation paramétrique.