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The Game of Life

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Le mathématicien John Conway a inventé ce « jeu de la vie » (Game of Life) en 1970. Ce jeu simule automatiquement la vie de « cellules » qui répondent à des règles simples de naissance, vie et mort en fonction du nombre de cellules voisines. Toute l’évolution est déterminée par la position initiale des cellules.

le jeu de la vie a capté l’intérêt de scientifiques issus des domaines différents : mathématiciens, informaticiens, physiciens, biologistes, philosophes.

Expliquons les règles :

On se place sur un réseau à maille carrée (papier quadrillé par exemple). On dira qu’une cellule est vivante si une case carrée est coloriée, et sinon elle est dite morte. Une cellule a 8 voisines (on compte donc les cases adjacentes et les quatre en diagonale). On a les règles suivantes qui permettent de passer d’une génération à la suivante :


- Naissance : Une cellule morte possédant exactement trois voisines vivantes devient vivante.
- Vie et mort : Une cellule vivante possédant deux ou trois voisines vivantes le reste, sinon elle meurt.


L’idée est que la surpopulation ou l’isolement fait mourir.

Observez par exemple le blinker ou clignotant. Il est constitué de trois cellules alignées. Je note A, B et C les trois cellules vivantes, maintenant on compte :
- A (comme C) a une unique voisine vivante qui est B. Donc elle va mourir.
- B a deux voisines vivantes, donc elle va vivre.
- D et E sont mortes, mais ont exactement trois voisines vivantes, donc il va y avoir une naissance sur ces cases.

Ainsi à la génération suivante D, B, E sont vivantes. Je pense que vous voyez ce qui va se passer à la génération d’après... On obtient ce qu’on appelle un oscillateur de période 2, vous pouvez le voir animé ci-dessous.

À chaque génération, pour chaque cellule il faut donc compter son nombre de cellules vivantes parmi ses huit voisines. On dirait un boulot pour un ordinateur non ?

Exemples de formes de vie

Il s’avère qu’avec ces règles simples, la nature de « la vie » est très riche : on y trouve des formes stables qui vivent indéfiniment sans changer (still life), des formes oscillant avec une période déterminée, des gliders qui glissent idéfiniment... Voici quelques exemples avec leur nom officiel :


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Blinker

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Glider

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French Kiss

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Pentadecathlon

Quelques questions :

- Sauriez vous trouver deux exemples de forme avec 4 cellules, qui ne se modifie pas à chaque génération (still life) ?
- Essayer de faire à la main avec papier et crayon l’évolution du glider sur 4 générations , en partant de cette conformation :

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Maintenant que vous maîtrisez cet élément de base du monde de la vie, observez ce petit monstre, c’est le plus petit canon à glider (glider gun) créé. C’est comme un oscillateur, mais toutes les 30 générations, il projète un glider.

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Gosper glider gun

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Gosper glider gun en action

Où peut on jouer ?

Je vais essayer d’installer un applet sur cette page, mais en attendant, vous pouvez faire des essais en suivant le lien ci—dessous qui mène à une page comportant un applet très complet du jeu de la vie. On peut mettre quelques cellules vivantes et voir leur évolution, ou utiliser une fonction random qui place des cellules aléatoirement... C’est très prenant. Il y a une grande collection d’objets répertoriés dont on peut voir l’évolution (onglet Open). Je vous recommande de commencer par ouvrir la première figure « A+ » qui montre une grande page avec une sélection des plus belles formes de vie en action. Vous verrez des glider gun, des absorbeurs ou réflecteurs de gliders, d’énormes vaisseaux laissant une trainée derrière eux, et quelques jolis oscillateurs. Cliquez sur le bouton Enjoy Life en haut à gauche de cette page :

- Enjoy Life (necessite java)

Sur cette même page vous trouverez aussi en bas des programmes à télécharger en fonction de votre système d’exploitation, pour jouer au jeu de la vie de Conway et des liens sur le même sujet.

Où sont les mathématiques dans tout ça ?

Elles sont cachées ! Les mathématiciens se posent des questions, comme par exemple :
- Peut-on trouver une forme qui remplisse le plan avec une densité maximale ?
- Quelle serait cette densité maximale ? On pense que c’est 1/2 (une cellule sur deux vivante)
- L’unité de vitesse est notée c comme la vitesse de la lumière, qui correspond à « avancer d’une case par génération ». À quelle vitesse maximale une forme qui remplirait le plan avec une densité 1/2 pourrait-elle aller ? On a prouvé que c’était la vitesse c/2 dans chacune des quatre directions. L’objet Spacefiller est une réponse à ces questions, il atteint la vitesse maximale. Vous pouvez le voir en action sur l’applet de la page référencée plus haut.