MATHZANI

Mandelbrot, visitez cet ensemble.

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MATHZANI

Mandelbrot, visitez cet ensemble.

L’image animée que vous voyez sur la page d’accueil et ici même est un zoom dans l’ensemble de Mandelbrot. Avant d’expliquer un peu et de voir où sont les maths dans ces belles images, le mieux est peut être de visiter cet étrange univers qu’est l’ensemble de Mandelbrot.

Comment voir l’ensemble de Mandelbrot ?

Je vous recommande Xaos, un très bon petit programme qui permet de faire des « zoom in » ou des « zoom out » très fluides à l’aide des deux boutons de la souris. Xaos est présent sur les distributions Linux. Sous windows, il vaut télécharger WinXaos.
- Xaos page d’accueil et téléchargement.
- Télécharger WinXaos version Windows du même programme.

Si vous voulez vous promener en zoomant à votre guise dans cet ensemble sans rien télécharger, cette interface (ne nécessitant pas java) permet de le faire, choisisssez un facteur de zoom (x4 par exemple) et cliquez sur le point où vous voulez zoomer.
- Mandelbrot Explorer

Celui ci donne plus d’options et affiche aussi l’ensemble de Julia associé au point de zoom :
- Mandelbrot and Julia set Explorer

Il existe des applets java plein la toile, comme :
- TheMandelbrotSet Plus généralement, voici les résultats de la recherche sous google pour applets java mandelbrot

Où regarder dans cette image ?

Promenez vous à la frontière, sur le bord de l’ensemble. Faites des zoom en avant, et après être allé voir très profond dans l’ensemble de Mandelbrot, un zoom arrière est assez grisant.

Vous pourrez aussi visiter « l’antenne » qui comporte (comme bien d’autres endroits) une mini réplique de l’ensemble de Mandelbrot lui même, cette caractéristique s’appelle l’« auto similarité » (self similarity en anglais)

Auto similarité

Cette propriété est caractéristique des fractales : on retrouve un même motif lorsque l’on zoom sur la figure. On parle aussi d’invariance par changement d’échelle. Voici deux exemples sur cet ensemble de Mandelbrot. J’ai tracé en rouge le cadre de l’image suivante, ce sont des captures d’écran obtenues avec le logiciel Xaos. On commence avec l’ensemble entier, on va viser le bout de l’antenne :


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Mandelbrot.1
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Mandelbrot.2
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Mandelbrot.3
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Mandelbrot.4
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Mandelbrot.5

Et on retrouve une forme ressemblant beaucoup à la forme initiale. Cependant elles ne sont pas exactement identiques. L’ensemble de Mandelbrot est très complexe, on verra des exemples plus simples de fractales où cette auto-similarité est parfaite, comme pour le flocon de Von Koch.


Un autre exemple :

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JPG - 25.4 ko
JPG - 20.4 ko

Un exemple plus stupéfiant encore est fourni par le gif animé en haut de la page qui est en fait une boucle où le raccord est fait justement lorsqu’on retrouve une réplique miniature de l’ensemble de Mandelbrot. ou encore cette video :