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Mathématiques du jonglage

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Introduction :

Je vais présenter ici un panorama des résultats mathématiques sur le jonglage que l’on trouve un peu éparpillés sur le net et assez rarement en français.

À l’été 2013, 20 ans après avoir appris à jongler avec trois balles je me suis remis au jonglage en me lançant le défi de réussir jongler à cinq balles c’est à dire de réussir cette magnifique « cascade » :

Grâce à YouTube j’ai pu suivre des tutoriels qui m’ont bien aidé, et en parcourant différents sites web sur le jonglage j’ai rapidement découvert et essayé de comprendre un système de notation des figures appelé siteswap (mot à mot : échange de site). Par exemple pour apprendre la cascade à cinq balles ci-contre on recommande de commencer par maîtriser le jonglage normal à quatre balles puis les figures ci-dessous : le 55550 (à gauche) et le 552 (à droite)

siteswap 55550
siteswap 552

Outre l’immense plaisir de réussir à jongler avec cinq balles à la fin de l’été, j’ai découvert différents aspects des mathématiques du jonglage que j’ai enseignés à des élèves dans le cadre de la DNL (maths en anglais) ou lors d’un projet trans-diciplinaire sur le cirque en seconde ou encore lors de conférences pour la semaine des mathématiques. Je vais présenter ici les différents aspects mathématiques du jonglage qui m’ont passionnés en essayant autant que possible d’éviter trop de formalisme. Tous les gif animés de robots qui jonglent ont été pris sur juggle.wikia.com et ont été créés avec Juggling Lab. Toutes les autres figures ont été créées personnellement avec Inkscape et Gimp.

Théorème de Shannon.

Si on essaye de passer du jonglage à trois balles au jonglage à 4 puis 5 balles (et plus si affinité) on se rend vite compte qu’il va falloir lancer les balles plus haut.

Cascade à 3 balles
Cascade à 7 balles

Pour comprendre pourquoi et même déterminer à quelle hauteur lancer les balles pour réussir à réaliser un jonglage régulier avec B balles (B entier supérieur à 1), il y a le théorème de Shannon. Du même Claude Shannon que la théorie de l’information. Ce grand mathématicien a démontré le premier théorème sur le jonglage et même fabriqué des machines qui jonglent (video)


Théorème de Shannon. On a pour un jonglage régulier (i.e. chaque main fait le même lancer à chaque fois) avec B balles l’égalité de rapports suivants :

(f+d) / (e+d)=B / H
où les lettres f, d, e, et H désignent :
  • f : le temps qu’une balle passe en l’air
  • d : le temps qu’une balle passe dans la main
  • e : le temps qu’une main reste vide
  • H : le nombre de mains utilisées pour jongler

Preuve Je vais donner une démonstration de ce théorème dans le cas H=2 (deux mains) et B=3 (trois balles). Le principe se généralise bien. Il faut imaginer qu’on déroule verticalement dans le temps ce mouvement des balles vues du dessus.

On observe ce motif de tresse (On peut d’ailleurs effectivement obtenir une vraie tresse si on jongle avec des cordes accrochées aux balles). Si on représente cette tresse schématiquement comme ci-dessous sur une période (entre les pointillés) on peut y lire les différents temps utilisés par Shannon.

On compte le temps d’une période de deux manières : d’une part pour une balle (ici la bleue à droite) et d’autre part pour une main (la gauche). On obtient :

2(f+d)=3(e+d)

Et donc en divisant de part et d’autre par 2(e+d) :

(f+d) / (e+d)=3/2

Ce qui est bien le résultat annoncé pour le cas H=2 et B=3. □

En partant de la relation de Shannon :

(f+d) / (e+d)=B / H
On peut exprimer le temps de vol f en fonction des autres variables en multipliant par e+d :
f = (e+d)B/H -d
Cette dernière relation montre que f est une fonction affine croissante du nombre de balles B. Autrement dit, plus on veut jongler avec un nombre important de balles, plus il faut augmenter leur temps de vol f. Comment augmenter f ? En lançant les balles plus haut bien sûr. Pour savoir plus précisément à quelle hauteur, on doit utiliser la loi de la chute des corps.

Hauteur des lancers pour jongler B balles.

Étant uniquement soumis à l’accélération de la pesanteur g (environ 10 m/s² sur Terre), la chute des corps nous dit que chaque balle met un temps t pour tomber d’une hauteur h reliés par la relation :

h=gt²/2
Comme une balle met autant de temps pour monter à la hauteur h, on a f=2t et donc :
h=g(f/2)²/2
Soit pour g=10, après simplification :
h=1,25 f²
En combinant ce résultat avec le résultat obtenu grace au théorème de Shannon : f = (e+d)B/H -d on a donc :
h = 1,25[(e+d)B/H -d]²
Pour deux mains (H=2) et en fixant les valeurs en secondes de e et d à un quart de seconde (e=d=0,25) on obtient la relation : h = 1,25[B/4 -1/4]² ce qui se réarrange en :
h ≈ 0,08(B-1)²
On peut ainsi obtenir un tableau de valeur et une courbe pour la hauteur h en mètres à laquelle il faut lancer chacune des B balles avec lesquelles on veut jongler.
B12345678910
h00.10.30.71.323456.5

La hauteur évolue comme le carré du nombre de balles, on comprend pourquoi une balle de plus augmente considérablement la difficulté. Ces hauteurs sont approximatives, en particulier pour éviter d’avoir à lancer trop haut, on peut jouer sur e et d : en diminuant e+d, c’est à dire en étant plus rapide avec les mains, on pourra faire baisser la hauteur nécessaire. Les hauteurs pour 8, 9, 10 balles peuvent sembler exagérées, mais je vous laisse regarder cette vidéo de Bruce Sarafian avec différents records pour 8, 9, 10, 11 et même 12 balles ou celle-ci d’Alex Baron pour un flash avec 13 balles pour apprécier la hauteur des lancers et la vitesse des mains.

Siteswap.

On pourra visiter les liens suivants :

Voici le principe, on reprend le schéma de la tresse, où on représente le temps qui s’écoule vers le bas, les points de part et d’autres représentent les mains qui vont lancer les balles alternativement à un rythme régulier, schématisé par le point rouge sur cette animation. L’intervalle de temps entre deux mouvements de main, donc entre deux positions du point rouge est pris comme unité de tempo. Cela représente un temps. A partir de là on peut définir les différents lancers par le nombre de temps qu’il faudra à la balle pour retomber.

  1. La balle est lancée directement dans la main opposée, rapidement (1 temps)
  2. La balle est lancée dans la même main pas très haut (en pratique, même on ne la lance pas, elle reste dans la main)
  3. La balle est lancée dans la main opposée mais plus haut puisqu’il lui faut 3 temps pour retomber. Dans le même temps on doit pouvoir faire trois lancers 1 : G->D->G->D. C’est le lancer utilisé pour jongler la cascade à 3 balles.
  4. La balle est lancée verticalement pour retomber dans la même main
  5. Lancer croisé haut (pour la cascade à 5 balles)

Ainsi de suite, les lancers impairs sont croisés et les pairs sont verticaux et retombent dans la même main. On peut alors désigner une figure de jonglage par la succession de ces nombres entiers. On donne juste le code sur une période si le mouvement est cyclique.


Voici le diagramme en échelle de la figure 12345 et le jonglage correspondant. Pour faire ce diagramme, je pars du haut et je note les nombres 12345-12345... alternativement sur chaque point. Ensuite on trace les lancers correspondants en partant de chaque point. On observe que le 5 est indépendant, il est toujours fait avec la même balle bleue. Les deux autres motifs identiques sont faits par deux balles (rouges) qui subissent finalement les lancers 1, 2, 4, 3.
On remarque qu’il faut commencer avec les trois balles dans la même main.
Sur l’animation, cherchez à repérer les différents lancers. Le 2 ne se voit pas, la balle reste dans la main et correspond au temps mort après qu’un 1 a été lancé.

Les jonglages réguliers correspondent aux siteswaps de période 1. La cascade à 3 balles est simplement : 3. Plus généralement le jonglage régulier à n balles se code par : n. Ci-dessous les tresses régulières pour les jonglages réguliers à 3, 4 et 5 balles. On observe que le jonglage régulier à 4 balles ne croise pas : tout se passe comme si on jonglait avec deux balles dans chaque main.

Tresses régulières
4

Groupe des tresses mathématiques

Il existe une théorie mathématique sur les tresses (braid theory en anglais) qui est liée à la théorie des noeuds. On peut voir des similarités avec les tresses de jonglage mais il y a des différences notables. Pour les tresses mathématiques il est important de savoir quel brin passe au dessus de quel autre brin ce qui est sans intérêt pour nous, et la notion de temps qui est fondamentale en jonglage n’existe pas dans la théorie des tresses. Des tresses qui sont mathématiquement isomorphes peuvent correspondre à des jonglages différents.

Questions et résultats mathématiques sur le siteswap

Les questions mathématiques que je me suis posées et auxquelles je vais répondre sont :

  1. Toute succession de nombres correspond-elle à un siteswap jonglable ? (On verra que non)
  2. Y a-t-il une condition sur la séquence de nombres pour qu’un siteswap soit jonglable ?
  3. Si un siteswap jonglable est donné, comment savoir combien il nécessite de balles ?
  4. Comment déterminer tous les siteswap jonglables ?

    Tout siteswap n’est pas jonglable. La réponse à la première question est donc négative. Par exemple le siteswap 12 ne peut pas être jonglé comme le montre le diagramme ci-contre car deux balles arriveraient simultanément dans la même main. Pour répondre aux deux questions suivantes, on va utiliser un résultat important : le théorème de la moyenne.

Théorème de la moyenne

- Site swap
Il est temps d’expliquer l’origine du mot « siteswap ». Dans le diagramme en échelle on a le point (site) de départ et d’arrivée de chaque balle. Si on considère deux balles lancées successivement, on peut en gardant les mêmes points de départ intervertir leur point d’arrivée sans perturber le reste de la séquence. On a échangé (to swap en anglais) les sites d’arrivée. Qu’est-ce que cela change à la paire de nombres considérée ?
Regardons d’abord un exemple : 51.

Par rapport au temps zéro, on prévoit l’arrivée de la première balle dans 5 temps et de la deuxième dans deux temps (puisqu’elle sera lancé un temps après la première). Si on fait l’échange des arrivées (en pointillés), la première balle lancée arrivera dans deux temps (on lance donc un 2) et la deuxième arrivera dans cinq temps il faudra donc lancer un 5-1=4.
Ainsi 51->24. On peut remarquer que si on refait l’échange des arrivées à partir de 24 on retombe sur 51. Plus généralement :

Si on échange les arrivées pour un siteswap ab où a et b sont deux entiers, a devient b+1 et b devient a-1. Donc ab->(b+1)(a-1)

On remarque que la somme reste constante après cette transformation : b+1+a-1=a+b. Cette technique permet de créer de nouveaux tours à partir de tours existants. Cela ne change pas le nombre de balles. Par exemple, on a déjà vu 12345 avec trois balles. On peut lui appliquer la transformation 51->24 :

Mais pourquoi s’arrêter là ? Tant qu’il y a des nombres différents dans la séquence, on peut toujours en trouver deux qui se suivent comme ab avec a > b. On opère alors l’échange des arrivées pour obtenir ab->(b+1)(a-1). L’écart entre les nombres a diminué de deux. Ainsi cette transformation conserve la moyenne des deux nombres tout en les rapprochant de leur moyenne lorsqu’on part de a>b. Poursuivons notre exemple, on repère un 42 qu’on va transformer en 33 :

Il reste encore un 42 à transformer en 33 et alors globalement, sur la période 45123 on opéré les transformations :

45123 -> 42423 -> 33423 -> 33333

Toutes ces transformations sont montrées sur l’image ci-dessous (cliquez pour agrandir).

Ainsi 12345 se jongle avec autant de balles que 33333, c’est à dire avec 3 balles. À chaque étape le total reste inchangée : T=1+2+3+4+5=3+3+3+3+3 soit T=5*3. Le trois qu’on trouve correspond donc à T/5 le total divisé par la longueur du siteswap. C’est à dire que le nombre de balles correspond à la moyenne des nombres du siteswap.

Ce qui a été fait sur cet exemple peut toujours se faire avec cet algorithme de retour à la moyenne :

  • Partir d’un siteswap S jonglable.
  • Initialisation : S’ :=S
    • Tant que S’ comporte des nombres différents faire :
      • Choisir deux nombres a et b qui se suivent dans l’ordre ab avec a>b et les transformer en (b+1)(a-1).
    • Fin du Tant que.
  • Afficher le siteswap S’

En un nombre fini d’étapes cet algorithme permet d’obtenir un siteswap équivalent de même longueur, avec un même total et qui ne comporte que des nombres identiques.

En effet, à chaque étape, le total des nombres reste inchangé ainsi que la longueur du siteswap, la figure est encore jonglable avec autant de balles. Ainsi le siteswap final S’ a la même longueur (disons n) que S, ne comporte que des nombres identiques (disons b), se jongle avec autant de balles que S (qui se jongle donc avec b balles) et la somme de ces nombres (qui vaut n*b) est la même que celle de S. On en déduit le théorème de la moyenne :


Théorème de la moyenne. Tout siteswap jonglable est tel que la moyenne de ses nombres est égale aux nombres de balles nécessaires pour le jongler.


Exemples :
- 5241 se jongle avec (5+2+4+1)/4=12/4=3 balles.
- 441 se jongle avec 9/3=3 balles.
- 552 se jongle avec 12/3=4 balles.
- 421 ne se jongle pas puisque 4+2+1=7 n’est pas divisible par 3.

Ce théorème donne donc une condition nécessaire pour qu’un siteswap soit jonglable : il faut que la moyenne du siteswap soit un nombre entier.

Cette condition n’est pas suffisante. Par exemple on peut jongler 123 (avec 6/3=2 balles) mais pas 321 (où au 3e temps on aurait trois balles arrivant dans la même main !). Donc la propriété de la moyenne ne suffit pas et cet exemple montre aussi que pour un siteswap jonglable donné, une permutation des nombres n’est pas toujours jonglable.

Cependant, on a le théorème de réarrangement qui est une conséquence de ce théorème A combinatorial problem on abelian groups. par Marshall Hall paru dans Proceedings of the American Mathematical Society en 1952 qui dit que :


Théorème de réarrangement. Tout n-uplet d’entiers naturels a1a2...an de moyenne entière peut être réordonné de manière à obtenir un siteswap valide.


La preuve mathématique de ce théorème est d’un niveau élevé. J’esaierai à l’occasion d’en donner une version grand public. On trouvera ici sur le groupe de discussion rec.juggling un historique de tentatives de preuves collaboratives ainsi qu’une adaptation pour le jonglage de la preuve de Hall par Dean Hickerson.

Exemple : 5421 n’est pas valide mais 5241 est un siteswap valide (cf icone de l’article)

On verra comment avec la notion d’états et de changement d’états on peut déterminer tous les siteswap possibles avec un nombre donné de balles lancées à une hauteur maximale arbitraire.

Créer de nouvelles figures par transformations

On s’est servi de la transformation d’échange des points d’arrivée pour moyenner un siteswap et le rendre régulier. Il est intéressant de noter qu’on peut faire le contraire pour créer à partir d’un jonglage régulier un tour plus complexe. Par exemple dans le jonglage régulier à quatre balles, les balles ne croisent pas. Certains spectateurs quand ils s’en rendent compte disent que « c’est de la triche », voire que c’est trop facile (en général ils n’ont jamais essayé). Quand je débutais on m’avait dit qu’à 4 balles on ne croisait pas, que c’était comme ça parce que 4 est pair. Mais peut-on croiser en jonglant à quatre balles ? Oui on peut, mais le jonglage n’est plus régulier. On va voir comment.

On part du jonglage régulier à quatre balles codé par : 4 On applique la transformation d’échange des points d’arrivée pour deux lancers consécutifs : 44->53. Si on le fait une fois, on croise deux balles (la bleue et la verte sur le diagramme ci-dessous) . Mais on peut aussi remplacer tous les 44 par des 53 et alors on ne fait que croiser, c’est ce qui est représenté sur la troisième tresse. Le motif n’est plus symétrique, on remarque par exemple que c’est toujours la même main qui lance les 3 et l’autre qui lance les 5.

De manière classique, on lance les balles de l’intérieur vers l’extérieur, mais pour le 53 on l’utilise souvent en demi-douche en lançant les 3 normalement et les 5 de l’extérieur vers l’intérieur : on voit alors les balles tourner en rond et non se croiser. Les deux mains tournent alors dans le même sens et non en sens inverse comme des engrenages. Les deux versions sont animées ci-dessous.

53 classique
53 demi-douche

On peut généraliser la transformation d’échange en ne prenant pas des lancers consécutifs mais espacés d’un temps t. Alors on aura : axxxxb -> (b+t)xxxx(a-t)

Par exemple : 444 -> 642 ou 4444 ->7441 avec t=2 et t=3 respectivement. On augmente encore plus la dissymétrie des lancers... Et si on veut des lancers croisés à la même hauteur, comme des 5 ? Essayons avec un diagramme en échelle.

Lorsqu’on lance 55 avec bleu/vert, la bleue arrive sur le site initial du vert comme précédemment mais le problème est que la verte arrive sur le site d’arrivée du rouge. On peut donc retarder le lancer du 4 rouge en "lançant" un 2 avant. Ainsi on a remplacé 444 par 552 (toujours de même moyenne 4). On peut aussi jongler la figure 552 déjà vue au début, où on ne fait que croiser avec des lancers à la même hauteur 5 et des temps morts à cause des 2. On remarque un effet saccadé dû aux 2.

On peut voir sur la tresse et sur l’animation que dans cette figure on lance en fait deux fois de la main gauche puis deux fois de la main droite :
GGDDGGDD...
Alors que normalement on a le battement GDGDGD. On peut aussi le voir comme
GD-DG-GD-DG...
tresse
552

Il était bien connu depuis longtemps par les anciens jongleurs qu’on pouvait échanger deux balles au milieu du jonglage à quatre. Soit avec un lancer haut et un bas (53) ou avec deux lancers hauts et une pause (552). Mais les inventeurs du siteswap dans les années 80 ont remarqué un motif dans ces transformations :

  • 44->53
  • 444->552
    Ils ont alors pu vérifier que les suites logiques étaient aussi jonglables :
  • 4444->5551
  • 44444->55550
...
4
4
4
4
4
4
4
...
4
4
4
4
5
3
4
...
4
4
4
5
5
2
4
...
4
4
5
5
5
1
4
...
4
5
5
5
5
0
4

Or 5551 (pas évident) n’avait jamais été répertorié comme le dit Colin Wright co-inventeur du siteswap dans cette conférence. Le nouveau tour 5551 est devenu mondialement célèbre alors que la notation venait juste d’être inventée. Le modèle mathématique a permis de prédire l’existence puis de créer des figures encore inconnues.
55550 c’est comme jongler la cascade à 5 balles mais avec une balle en moins.

5551
55550
Le zéro dans 55550 est donc à interpréter comme : la main est vide et donc ne lance rien. On doit écrire ce zéro, il donne une information, et par le théorème de la moyenne on vérifie que (5+5+5+5+0)/5=4. Si on ne mettait pas le zéro on serait amené à calculer 20/4=5, or on ne jongle pas à cinq mais bien à quatre balles quand on fait 55550. De la même manière, 330 se jongle à deux balles (6/3=2) qui font le mouvement de la cascade à trois où il manque la troisième balle.

Comment inventer un siteswap valide ?

Pour inventer un siteswap possible à jongler on peut dessiner la tresse avec le diagramme en échelle mais on peut faire plus simple. J’expose ici une technique proposée par Colin Wright. Par exemple si je cherche à créer une figure de période disons cinq je regarde les balles lancées et le moment où elles vont retomber pour s’assurer qu’elles ne tombent pas au même moment. Mettons que je commence par lancer un 4. Je note sur la première ligne le siteswap et sur la deuxième une astérisque lorsqu’une balle arrive à ce moment. À partir du 4 je compte 4 cases (4 temps) et je place mon astérisque.

4 - - - -
. . . . *

Pour le lancer suivant je ne peux pas faire de 3 mais par exemple un 2 est possible :

4 2 - - -
. . . * *

Il faut comprendre les cases modulo 5 puisque ce n’est qu’une période qui est représentée, le prochain lancer ne peut pas être 1 ou 2 (modulo 5, donc ni 6 ni 7...) mais peut être 0, 3, 4 ou 5 par exemple. Disons 5. Je compte deux cases, je reviens au début et compte trois cases :

4 2 5 - -
. . * * *

L’étau se resserre, Je peux lancer 2 ou 3 (ou 7, 8,...) disons 3 :

4 2 5 3 -
. * * * *

Là on n’a plus trop le choix : on doit lancer un 1 ou 6, 11...

4 2 5 3 1
* * * * *

On obtient le siteswap 42531 qu’on nomme plutôt en commençant par le plus grand lancer : 53142. On en fait un autre ? Disons de période 4 cette fois, on commence par un 5 et un 3 :

5 - - -
. * . .
5 3 - -
* * . .

Pour le prochain on peut mettre 0 ou 1 modulo 4 (soit 4 ou 5 si on reste raisonnable). Si on met un 0 ou un 4 on finira avec un autre 0 (mod 4) et on aurait alors 5300 ou 5304, 5340, 5344. Si on met un 1 (mod 4) il faudra finir avec 3 (mod 4) ce qui donnerait 5313 ou 5353 (qui se simplifie en 53) ou 5317, 5357... On voit qu’il y a une infinité de possibilités si on ne se fixe pas de hauteur maximale ou de nombre de balles. Mettons qu’on se fixe 3 balles dans cet exemple. Notons a et b les deux nombres manquants :

5 3 a b
* * . .

Il faut que la moyenne (5+3+a+b)/4=3 soit 8+a+b=12 d’où a+b=4. (Pas de modulo 4 ici). De plus on a vu que a=0 ou 1 (mod 4) ce qui laisse trois possibilités : a=0, 1 ou 4 pour que a+b ne dépasse pas 4. On en déduit b dans chaque cas avec b=4-a. On obtient alors 3 siteswaps possibles de période 4 avec 3 balles et commençant par 53 :

5304, 5313 et 5340.

Notre objectif est de représenter tous les siteswaps possibles avec un nombre de balles données et une hauteur maximale. Si on s’y prend comme ça cela va être fastidieux et devra aussi limiter la longueur de la période pour chaque étude. On garde l’idée du codage du moment où la balle va tomber selon comment elle a été lancée. On peut aussi utiliser cette technique pour tester la validité d’un siteswap.

Déterminer la validité d’une séquence

On peut améliorer la technique des astérisques pour vérifier la validité d’une séquence de la manière suivante :

On écrit la séquence a1a2...an à tester dans les cases du haut et en dessous on calcule pour chaque ai la somme a’i=ai+i (modulo n).

Les a’i représentent les temps d’arrivée (modulo n), la séquence a1a2...an est un siteswap valide si, et seulement si, la séquence a’1a’2...a’n est une permutation de 0, 1, 2, ..., n-1. C’est à dire comporte tous les nombres de 0 à n-1 (donc une fois et une seule). Cela traduit que deux balles n’arrivent pas en même temps.

Exemples : Reprenons notre exemple 42531 précédent. Au lieu de mettre des astérisques au temps d’arrivée cela revient à mettre sous chaque lancer ai son temps d’arrivée égal au nombre correspondant au lancer auquel on ajoute son rang dans la séquence, modulo n (noté [n]). C’est son a’i.

ai=4 2 5 3 1
a’i= 4+1 [5] 2+2 [5] 5+3 [5] 3+4 [5] 1+5 [5]
a’i= 0 4 3 2 1

Ici les a’i comportent bien tous les entiers de 0 à 4 donc le siteswap 42531 est valide. Par contre 52314 n’est pas jonglable :

ai=5 2 3 1 4
a’i= 1 4 1 0 4

Les deux 1 et les deux 4 indiquent que deux balles arriveront simultanément aux temps 1 et 4 (modulo 5). Ainsi le théorème de réarrangement précédemment énoncé ainsi :

Théorème de réarrangement. (1) Tout n-uplet d’entiers naturels a1a2...an de moyenne entière peut être réordonné de manière à obtenir un siteswap valide.

peut se reformuler de manière mathématique :

Théorème de réarrangement. (2) Tout n-uplet d’entiers naturels a1a2...an de moyenne entière peut être réordonné de manière à obtenir un n-uplet b1b2...bn dont les temps d’arrivées b’1b’2...b’n (où pour tout i : b’i=bi+i [n] ) soit une permutation de 0, 1, 2, ..., n-1.

Ou encore en terme de permutation :


Théorème de réarrangement. (3) Pour tout n-uplet d’entiers naturels a1a2...an de moyenne entière, il existe une permutation s du groupe symétrique Sn telle que :

{ as(i)+s(i) [n] ; i=1, 2, ..., n }={0,1, 2, ..., n-1 }

Une preuve de ce théorème peut être trouvée ici

Transitions d’états

Disons que l’on se restreigne à des lancers inférieurs à 5. Si des balles ont été lancées, on ne peut plus qu’attendre qu’elles tombent et regarder quand elles tomberont. La dernière tombera dans au plus cinq temps. On peut noter la situation comme précédemment sur la deuxième ligne des tableaux. Considérons par exemple :

*.**.

La première astérisque signifie qu’une balle va tomber dans un temps. On continue en lisant de gauche à droite : aucune balle dans deux temps, puis une balle dans trois et une autre dans quatre temps. Il y a manifestement trois balles en l’air. Au lieu des astérisques et des points on va plutôt mettre des 1 et des 0 et enlever la grille du tableau, on obtient un nombre en binaire :

10110

Ceci est un état. Ce nombre binaire code l’état des balles en l’air à un temps donné. Que va-t-il se passer au temps suivant ? Une balle arrive, il va falloir la lancer et le temps va avancer d’une unité, on mange donc le premier nombre et on décale tout d’un cran vers la gauche et on met un zéro au bout. On a donc l’état 01100 mais il faut lancer la balle et indiquer quand elle va arriver avec un 1. On ne peut que faire un lancer qui la fasse arriver sur un des 0. On ne peut donc pas lancer de 2 ou 3 mais on peut lancer 1, 4 ou 5. On obtient alors les différentes transitions possibles :

état initial : 10110
si on lance 1 : 11100
si on lance 4 : 01110
si on lance 5 : 01101

Construction du graphe (ou diagramme) de changement d’états pour 2 balles et des lancers de hauteurs inférieurs à 5.

Lorsqu’on se restreint à des lancers de hauteur h (donc aucune balle ne mettra plus de cinq temps pour retomber) les différents états possibles sont les h-uplés constitués d’exactement deux 1 (parce qu’il y a deux balles) et des 0. J’ai construit le diagramme de changement d’état par récurrence (en version gif animé ici) sur la hauteur h des lancers les plus hauts
- D’abord avec les lancers 0,1,2 on ne peut pas faire grand chose. On a l’état de base 11, on ne peut ni lancer 0 ni 1 donc seul le 2 (en vert sur la figure) peut être lancé et on retombe sur le même état. C’est le jonglage régulier à deux balles 2222...
- Si on s’autorise aussi des lancers de 3 (en bleu sur la figure), on a les trois états : 110, 101, 011.
Partant de 110 on peut maintenant lancer un 3 et arriver sur 101.
Partant de 101 on peut encore lancer un 3 pour arriver sur 011 ou lancer un 1 et arriver sur 110.
Partant de 011 on ne peut rien faire qu’attendre un temps avant qu’une balle tombe c’est à dire lancer un 0 et arriver sur 110.

Les jonglages périodiques à 2 balles avec des lancers inférieurs 3 correspondent aux cycles sur ce graphe. On a par exemple :
2, 330, 31, et les combinaisons 312, 31330, 3302, etc.
- Si on s’autorise des lancers de 4 (en marron/rouge) on a toujours les états précédents (avec un 0 en plus à la fin) soit 1100, 1010, 0110 mais on peut atteindre les nouveaux états 1001, 0101, 0011. Pour chaque état on regarde les lancers possibles et on relie avec les flèches correspondantes.


- De même avec des lancers de 5 (en noir). Ci-dessous le graphe de changements d’états avec des couleurs de flèches pour les différents lancers. Cliquez dessus pour ouvrir la version animée en grand.

Tous les siteswaps possibles, siteswaps premiers

Ce graphe permet de déterminer tous les siteswaps possibles en jonglant deux balles à des hauteurs inférieures à 5.
Un siteswap valable correspond à un cycle dans le graphe. Par exemple, 01234 est un jonglage possible repéré ci-contre.
De la même manière je vous laisse chercher les cycles correspondant à 4400, 312, 501.

En reprenant l’exemple de 01234, on peut observer qu’on passe deux fois par l’état 10100. Ce siteswap peut donc être décomposé en deux cycles : (123)(40). Les cycles 123 et 40 sont par contre indécomposables, on dit qu’ils sont premiers. De la même manière qu’en arithmétique pour les nombres premiers on a :
Theorème Tout siteswap peut se décomposer en cycles premiers

Voici le graphe obtenu pour trois balles et une hauteur maximale de 5 (b=3 h=5). Je vous laisse chercher les siteswap 441, 5241, 55500, 55050, 501. Et trouver celui qui n’est pas premier dans cette liste.

Dualité

Au début j’ai créé le graphe pour deux balles avant de m’attaquer à trois balles que savais assez compliqué comme on peut le voir ici. J’ai vite remarqué qu’il y avait autant d’états pour 2 ou 3 balles puisque choisir deux ou trois éléments parmi 5 est la même chose mais je pensais qu’il y aurait moins de transitions puisqu’à ma connaissance le jonglage à deux balles était moins riche que celui à trois balles. En comparant les deux graphes obtenus et en les réarrangeant correctement, j’ai vu qu’ils étaient identiques ! Il y a une dualité entre ces deux graphes.

Les deux graphes se ressemblent sauf que les couleurs des flèches sont différentes ainsi que leur sens et bien sûr les états sont différents. La dualité entre ces deux graphes et plus généralement entre les graphes (b,h) et (h-b,h) où b est le nombre de balles et h la hauteur maximale de lancer peut être mise en évidence ainsi :
Pour passer de l’un à l’autre il faut prendre chaque lancer a et le remplacer par h-a (ici 5-a) et lire la flèche dans le sens contraire.
La transformation est sa propre réciproque (i.e. involutive) puisque y=h-x équivaut à x=h-y et le changement de sens de flèche est aussi évidemment involutif. Ici 5<->0, 4<->1, 3<->2 ce qui correspond aux échanges de couleurs jaune<>noir, rouge<>orange, bleu<>vert.
Quant aux états ils ont été changés de manière similaire : on échange les 0 et les 1 (ce qui correspond pour un chiffre c à la transformation complémentaire à 1 : c->1-c) et on les lit dans l’autre sens. Par exemple pour 10100. On échange les 0 et 1 : 01011 et on lit dans l’autre sens : 11010. Ci-dessous une animation montrant les transformations pour passer d’un graphe à l’autre.

Qu’est-ce que cette dualité signifie pour le jonglage ? Jongler avec 2 balles ce n’est pas pareil que jongler avec trois balles. Les échanges qu’on a fait correspondent à échanger les actions lancer et recevoir ainsi que les hauteurs ce qui est difficile à ressentir concrètement. Par exemple le jonglage 441 ( à trois balles) correspond à 411 (avec deux balles). Je note 441<>411. De même 5241<>4130. (On prend le complémentaire à 5 et on lit le siteswap dans l’autre sens)

Graphe réduit

On reprend le graphe pour deux balles reproduit ci-dessous. Ce graphe commence à être compliqué mais on peut le simplifier en réduisant le nombre d’états.

Les états qui commencent par un zéro ne sont que des états transitoires, au coup d’après on ne peut rien faire d’autre que d’attendre qu’une balle tombe (ie lancer un 0). On peut les supprimer quitte à mettre sur les flèches les différents lancers possibles pour aller d’un état à l’autre.

C’est ce qui est fait ci-dessous :

Ce qui une fois réorganisé donne le graphe ci-dessous :

On remarque que l’état 10001 en bas ne comporte qu’une flèche entrante, on peut supprimer cet état quitte à rajouter des lancers multiples sur les autres flèches. J’ai aussi ôté les zéros finaux des états pour obtenir finalement le graphe réduit ci-dessous pour les jonglages avec deux balles et des hauteurs inférieures à 5.

- De la même manière, par dualité voici le graphe réduit pour 3 balles et des lancers de hauteurs inférieures à 5.

Comme précédemment la dualité ici fonctionne ainsi : Pour passer de l’un à l’autre il faut prendre chaque lancer a et le remplacer par h-a et lire la flèche et la séquence de lancers dans le sens contraire. Par exemple :
la séquence 520 pour b=2 correspond à 530 pour b=3 et réciproquement. En effet on a la suite de transformations 520->(5-5)(5-2)(5-0)->035->530). Je note 520<>530. De même :
2<>3, 500<>550, 5300<>5520, 50<>50
Quant aux états ils ont été échangés de manière similaire : on échange les 0 et les 1 (ce qui correspond pour un chiffre c à la transformation complémentaire à 1 : c->1-c) et on les lit dans l’autre sens. Par exemple 101=10100. On échange les 0 et 1 : 01011 et on lit dans l’autre sens : 11010=1101.
Plus généralement un graphe pour b balles et des lancers inférieurs ou égaux à h comporte un nombre d’états égal à b parmi h (nombre de façons de choisir b chiffres 1 à placer dans un h-uplet) i.e. h !/[ (h-b) ! b ! ]. Si on réduit le graphe en éliminant tous les états qui n’ont qu’une flèche sortante ou entrante on n’a plus que b-2 parmi h-1 états. Pour voir plus de tels graphes réduits on pourra consulter l’article de Hans Lundmark qui semble avoir été le premier à publier à ce sujet en 2004.