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Mathématiques du jonglage

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Mathématiques du jonglage par V. Pantaloni.

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16 pages, soit 4 feuilles recto-verso en format livret. Évidemment, il n’y aura pas les GIF animés.
Tapé en LaTeX.


Introduction :

Je vais présenter ici un panorama des résultats mathématiques sur le jonglage que l’on trouve un peu éparpillés sur le net et assez rarement en français.

À l’été 2013, 20 ans après avoir appris à jongler avec trois balles je me suis remis au jonglage en me lançant le défi de réussir jongler à cinq balles c’est à dire de réussir cette magnifique « cascade » :

Grâce à YouTube j’ai pu suivre des tutoriels qui m’ont bien aidé, et en parcourant différents sites web sur le jonglage j’ai rapidement découvert et essayé de comprendre un système de notation des figures appelé siteswap (mot à mot : échange de site). Par exemple pour apprendre la cascade à cinq balles ci-contre on recommande de commencer par maîtriser le jonglage normal à quatre balles puis les figures ci-dessous : le 55550 (à gauche) et le 552 (à droite)

siteswap 55550
siteswap 552

Outre l’immense plaisir de réussir à jongler avec cinq balles à la fin de l’été, j’ai découvert différents aspects des mathématiques du jonglage que j’ai enseignés à des élèves dans le cadre de la DNL (maths en anglais) ou lors d’un projet trans-diciplinaire sur le cirque en seconde ou encore lors de conférences pour la semaine des mathématiques, et en 2017 Colin Wright - un des co-inventeurs du siteswap - m’a demandé de traduire sa conférence jonglée pour la Nuit des maths à Blois.
Je vais présenter ici les différents aspects mathématiques du jonglage qui m’ont passionnés en essayant autant que possible d’éviter trop de formalisme. Tous les gif animés de robots qui jonglent ont été pris sur juggle.wikia.com et ont été créés avec Juggling Lab. Toutes les autres figures ont été créées personnellement avec Inkscape, Gimp ou GeoGebra.

Théorème de Shannon.

Si on essaye de passer du jonglage à trois balles au jonglage à 4 puis 5 balles (et plus si affinité) on se rend vite compte qu’il va falloir lancer les balles plus haut.

Cascade à 3 balles
Cascade à 7 balles

Pour comprendre pourquoi et même déterminer à quelle hauteur lancer les balles pour réussir à réaliser un jonglage régulier avec B balles (B entier supérieur à 1), il y a le théorème de Shannon. Du même Claude Shannon que la théorie de l’information. Ce grand mathématicien a démontré le premier théorème sur le jonglage et même fabriqué des machines qui jonglent (video)


Théorème de Shannon. On a pour un jonglage régulier (i.e. chaque main fait le même lancer à chaque fois) avec B balles l’égalité de rapports suivants :

(f+d) / (e+d)=B / H
où les lettres f, d, e, et H désignent :
  • f : le temps qu’une balle passe en l’air
  • d : le temps qu’une balle passe dans la main
  • e : le temps qu’une main reste vide
  • H : le nombre de mains utilisées pour jongler

Preuve Je vais donner une démonstration de ce théorème dans le cas H=2 (deux mains) et B=3 (trois balles). Le principe se généralise bien. Il faut imaginer qu’on déroule verticalement dans le temps ce mouvement des balles vues du dessus.

On observe ce motif de tresse (On peut d’ailleurs effectivement obtenir une vraie tresse si on jongle avec des cordes accrochées aux balles). Si on représente cette tresse schématiquement comme ci-dessous sur une période (entre les pointillés) on peut y lire les différents temps utilisés par Shannon.

On compte le temps d’une période de deux manières : d’une part pour une balle (ici la bleue à droite) et d’autre part pour une main (la gauche). On obtient :

2(f+d)=3(e+d)

Et donc en divisant de part et d’autre par 2(e+d) :

(f+d) / (e+d)=3/2

Ce qui est bien le résultat annoncé pour le cas H=2 et B=3. □

En partant de la relation de Shannon :

(f+d) / (e+d)=B / H
On peut exprimer le temps de vol f en fonction des autres variables en multipliant par e+d :
f = (e+d)B/H -d
Cette dernière relation montre que f est une fonction affine croissante du nombre de balles B. Autrement dit, plus on veut jongler avec un nombre important de balles, plus il faut augmenter leur temps de vol f. Comment augmenter f ? En lançant les balles plus haut bien sûr. Pour savoir plus précisément à quelle hauteur, on doit utiliser la loi de la chute des corps.

Hauteur des lancers pour jongler B balles.

Étant uniquement soumis à l’accélération de la pesanteur g (environ 10 m/s² sur Terre), la chute des corps nous dit que chaque balle met un temps t pour tomber d’une hauteur h reliés par la relation :

h=gt²/2
Comme une balle met autant de temps pour monter à la hauteur h, on a f=2t et donc :
h=g(f/2)²/2
Soit pour g=10, après simplification :
h=1,25 f²
En combinant ce résultat avec le résultat obtenu grace au théorème de Shannon : f = (e+d)B/H -d on a donc :
h = 1,25[(e+d)B/H -d]²
Pour deux mains (H=2) et en fixant les valeurs en secondes de e et d à un quart de seconde (e=d=0,25) on obtient la relation : h = 1,25[B/4 -1/4]² ce qui se réarrange en :
h ≈ 0,08(B-1)²
On peut ainsi obtenir un tableau de valeur et une courbe pour la hauteur h en mètres à laquelle il faut lancer chacune des B balles avec lesquelles on veut jongler.
B12345678910
h00.10.30.71.323456.5

La hauteur évolue comme le carré du nombre de balles, on comprend pourquoi une balle de plus augmente considérablement la difficulté. Ces hauteurs sont approximatives, en particulier pour éviter d’avoir à lancer trop haut, on peut jouer sur e et d : en diminuant e+d, c’est à dire en étant plus rapide avec les mains, on pourra faire baisser la hauteur nécessaire. Les hauteurs pour 8, 9, 10 balles peuvent sembler exagérées, mais je vous laisse regarder cette vidéo de Bruce Sarafian avec différents records pour 8, 9, 10, 11 et même 12 balles ou celle-ci d’Alex Baron pour un flash avec 13 balles pour apprécier la hauteur des lancers et la vitesse des mains.

Siteswap.

On pourra visiter les liens suivants :

Voici le principe, on reprend le schéma de la tresse, où on représente le temps qui s’écoule vers le bas, les points de part et d’autres représentent les mains qui vont lancer les balles alternativement à un rythme régulier, schématisé par le point rouge sur cette animation. L’intervalle de temps entre deux mouvements de main, donc entre deux positions du point rouge est pris comme unité de tempo. Cela représente un temps. A partir de là on peut définir les différents lancers par le nombre de temps qu’il faudra à la balle pour retomber.

Lancers 1, 2, 3, 4, 5

  1. La balle est lancée directement dans la main opposée, rapidement (1 temps)
  2. La balle est lancée dans la même main pas très haut (en pratique, même on ne la lance pas, elle reste dans la main)
  3. La balle est lancée dans la main opposée mais plus haut puisqu’il lui faut 3 temps pour retomber. Dans le même temps on doit pouvoir faire trois lancers 1 : G->D->G->D. C’est le lancer utilisé pour jongler la cascade à 3 balles.
  4. La balle est lancée verticalement pour retomber dans la même main
  5. Lancer croisé haut (pour la cascade à 5 balles)

Ainsi de suite, les lancers impairs sont croisés et les pairs sont verticaux et retombent dans la même main. On peut alors désigner une figure de jonglage par la succession de ces nombres entiers. On donne juste le code sur une période si le mouvement est cyclique.


Voici le diagramme en échelle de la figure 12345 et le jonglage correspondant. Pour faire ce diagramme, je pars du haut et je note les nombres 12345-12345... alternativement sur chaque point. Ensuite on trace les lancers correspondants en partant de chaque point. On observe que le 5 est indépendant, il est toujours fait avec la même balle bleue. Les deux autres motifs identiques sont faits par deux balles (rouges) qui subissent finalement les lancers 1, 2, 4, 3.
On remarque qu’il faut commencer avec les trois balles dans la même main.
Sur l’animation, cherchez à repérer les différents lancers. Le 2 ne se voit pas, la balle reste dans la main et correspond au temps mort après qu’un 1 a été lancé.

Les jonglages réguliers correspondent aux siteswaps de période 1. La cascade à 3 balles est simplement : 3. Plus généralement le jonglage régulier à n balles se code par : n. Ci-dessous les tresses régulières pour les jonglages réguliers à 3, 4 et 5 balles. On observe que le jonglage régulier à 4 balles ne croise pas : tout se passe comme si on jonglait avec deux balles dans chaque main.

Tresses régulières
4

Groupe des tresses mathématiques

Il existe une théorie mathématique sur les tresses (braid theory en anglais) qui est liée à la théorie des noeuds. On peut voir des similarités avec les tresses de jonglage mais il y a des différences notables. Pour les tresses mathématiques il est important de savoir quel brin passe au dessus de quel autre brin ce qui est sans intérêt pour nous, et la notion de temps qui est fondamentale en jonglage n’existe pas dans la théorie des tresses. Des tresses qui sont mathématiquement isomorphes peuvent correspondre à des jonglages différents.

Questions et résultats mathématiques sur le siteswap

Les questions mathématiques que je me suis posées et auxquelles je vais répondre sont :

  1. Toute succession de nombres correspond-elle à un siteswap jonglable ? (On verra que non)
  2. Y a-t-il une condition sur la séquence de nombres pour qu’un siteswap soit jonglable ?
  3. Si un siteswap jonglable est donné, comment savoir combien il nécessite de balles ?
  4. Comment déterminer tous les siteswap jonglables ?

    Tout siteswap n’est pas jonglable. La réponse à la première question est donc négative. Par exemple le siteswap 12 ne peut pas être jonglé comme le montre le diagramme ci-contre car deux balles arriveraient simultanément dans la même main. Pour répondre aux deux questions suivantes, on va utiliser un résultat important : le théorème de la moyenne.

Théorème de la moyenne

- Site swap
Il est temps d’expliquer l’origine du mot « siteswap ». Dans le diagramme en échelle on a le point (site) de départ et d’arrivée de chaque balle. Si on considère deux balles lancées successivement, on peut en gardant les mêmes points de départ intervertir leur point d’arrivée sans perturber le reste de la séquence. On a échangé (to swap en anglais) les sites d’arrivée. Qu’est-ce que cela change à la paire de nombres considérée ?
Regardons d’abord un exemple : 51.

Par rapport au temps zéro, on prévoit l’arrivée de la première balle dans 5 temps et de la deuxième dans deux temps (puisqu’elle sera lancé un temps après la première). Si on fait l’échange des arrivées (en pointillés), la première balle lancée arrivera dans deux temps (on lance donc un 2) et la deuxième arrivera dans cinq temps il faudra donc lancer un 5-1=4.
Ainsi 51->24. On peut remarquer que si on refait l’échange des arrivées à partir de 24 on retombe sur 51. Plus généralement :

Si on échange les arrivées pour un siteswap ab où a et b sont deux en

Documents joints

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