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Surplomb Maximal

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On s’intéresse ici à un problème que nous sommes beaucoup à nous être posé, en jouant à empiler des cartes, des dominos, des morceaux de sucre, des Kapla, voire des briques :

Quelle est le plus long surplomb que l’on peut former en empilant des briques en équilibre les unes sur les autres ? Comment s’y prendre ?

Celui qui a déjà essayé a pu être convaincu que l’on ne peut guère dépasser une unité de longueur tellement la tâche semble délicate en pratique. Ci-dessous un essai avec quatre briques où le surplomb mesure un peu moins d’une unité (longueur d’une brique) :

Surplomb

Le résultat que l’on va montrer est surprenant :

On peut obtenir un surplomb aussi long que l’on veut.

Autrement dit la longueur du surplomb tend vers l’infini lorsque le nombre n de briques posées tend vers l’infini. On détermine une formule donnant la longueur dur surplomb avec n briques :

\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2 }+\frac{1}{ 3}+\cdots+\frac{1}{ n}  \right)
Ci-dessous un schéma expliquant la construction et les premiers calculs de surplomb. On construit en fait la tour à l’envers, en commençant par le haut. Il s’agit essentiellement de calculs de barycentres. Pour les explications et preuves que j’ai essayé de garder à un niveau accessible au plus grand nombre (2nde-première), voir l’article en PJ.
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Surplomb maximal : preuve
Comment obtenir le plus long porte-à-faux possible en empilant des briques.

Méthode d'empilement

Voici ce qu’on obtient comme forme avec 36 briques (plutot les proportions de Kaplas) :

Documents joints

Surplomb maximal : preuve, PDF, 117.4 ko
Comment obtenir le plus long porte-à-faux possible en empilant des briques.
Surplomb, PNG, 2.5 ko
Méthode d’empilement, PNG, 22.8 ko