MATHZANI

Histoire des équations polynômiales.

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Des équations du premier et du second degré (où les coefficients sont des nombres donnés) sont déjà résolues avec une méthode générale par les Babyloniens vers 1700 av. J.C et peut être même plus tôt, mais le formalisme algébrique qui donne aujourd’hui des formules pour les solutions étaient inconnues. Je fais ici un panorama rapide, de l’histoire de la résolution de ces équations selon leur degré, pour plus d’informations, on pourra lire avec intérêt cette page.


- Commençons avec les équations de degré 1. C’est à dire résoudre l’équation d’inconnue x suivante (où a et b sont des nombres, a non nul) :

ax+b=0

Facile me direz vous, mais il a fallu attendre la naissance de l’algèbre pour résoudre algébriquement une telle équation. On doit cette avancée au mathématicien perse Al-Kwharizmi né vers 783 à Khiva dans le Khwarezm qui lui a donné son nom, décédé vers 850 à Bagdad. Son nom a d’ailleurs donné le mot « algorithme ». Al-Kwharizmi est considéré comme le père de l’algèbre, il a écrit un traité du nom de Al-ĵabr wa’l-muqābalah où il établit les règles (maintenant élémentaires) qui sont autorisées dans les manipulations d’égalités. « Al-ĵabr » désignait la transposition (ax+b=0\iff ax=-b\iff x=-\frac{b}{a} ) et a donné le mot « algèbre ». Al-Kwharizmi a aussi résolu des équations du second degré, utilisant des raisonnements géométriques, mais ne savait pas toutes les résoudre.


- Degré deux. Ce sont les équations de la forme :

ax^2+bx+c=0

(Où a , b, c sont des nombres réels, a non nul) On apprend à résoudre ces équations en première et on complète l’étude dans le cas où le discriminant est strictement négatif en classe de terminale. On calcule le discriminant \Delta=b^2-4ac, si \Delta est positif on a deux solutions (qui sont égales lorsque \Delta =0)

x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

- Degré 3. Ce sont les équations de la forme :

ax^3+bx^2+cx+d=0

L’histoire est intéressante. Elle prend naissance en Italie à la renaissance. Le premier à savoir résoudre quelques équations du troisième degré est Scipion del Ferro (1465—1526). On sait peu de lui à part ses dates, mais il défie un certain Niccolo Tartaglia (1500-1557) de résoudre quelques équations du troisième degré, et Tartaglia les résout toutes. Tartaglia a eu une enfance terrible, il subit de terribles blessures dont plusieures à la tête en 1512 quand Brescia fut mise à sac par les français. Il aura entre autres séquelles une difficulté d’élocution qui lui vaudra son surnom (tartaglia signifie bègue). Vers 14 ans il va voir un enseignant pour lui apprendre l’alphabet, mais à cours d’argent il doit arrêter les leçons à la lettre K. On dit ensuite qu’il a volé un livre et a fini par apprendre seul à lire et à écrire. Tartaglia est donc un autodidacte, et quand il a découvert une méthode pour résoudre les équations du troisième degré, il va voir en 1539 Girolamo Cardano (souvent francisé en Jérôme Cardan) qui est un physicien de renommée européenne à Milan. Cardan jure de tenir secret cette extraordinaire méthode, mais en 1545, Cardan publie cette méthode en s’en attribuant la découverte. Il s’en suivit une série d’échanges d’injures entre Tartaglia et Cardan mais aussi Ferrari (pas enzo) qui était l’élève de Cardan et qui prit sa défense. Au final Tartaglia mourrut quelques années plus tard, toujours pauvre. Cependant Cardan ne trouvait avec "sa" méthode qu’une solution. Voici les formules connues sous le nom de formules de Cardan :

Toute équation du troisième degré peut se ramener à une équation de la forme :

x^3+px + q= 0\,

Pour cela il faut poser x=X-\frac{b}{3a} . On calcule le discriminant :

\Delta = q^2 + \frac{4}{27}p^3\,
et on étudie son signe. Si \Delta \geq 0 \, l’équation possède alors une unique solution réelle qui est :
x= \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q -\sqrt{\Delta}}{2}}

Si \Delta =0 \, L’équation possède deux solutions réelles :

x_1= \frac{3q}{p} \quad et \quad x_2= \frac{-3q}{2p}

Si \Delta <0 \, l’équation possède alors trois solutions réelles. Toutefois, il est nécessaire d’utiliser les nombres complexes pour toutes les trouver. C’est d’ailleurs ainsi, en utilisant des « nombres impossibles » que les nombres complexes furent inventés. On peut représenter ces trois solutions sous forme trigonométrique :

x_k = 2 \sqrt{\frac{-p}{3}} \cos{\frac13\left(\arccos{\left(\frac{-q}{2}\sqrt{\frac{27}{-p^3}}\right)}+ 2k\pi\right)} \mbox{ avec } k=\{1,2,3\}\,

- Degré 4 Ce sont les équations de la forme :

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

C’est Ferrari, l’élève de Cardano qui donna le premier la méthode de résolution. On se ramène aux équations de degré 2 ou 3.


- Degré 5 et plus On essaya alors de les résoudre dans la foulée, mais là, cela semblait vraiment plus difficile bizarrement. Il fallut attendre le jeune et génial Évariste Galois (1811-1832) au destin tragique pour comprendre pourquoi :

Il n’y a pas de méthode générale (donc pas de formule) pour résoudre une équation de degré supérieur à 5.

Galois essaya de faire connaître son travail mais les plus grands mathématiciens de l’époque (Poisson en particulier), à l’académie ne comprenaient pas. Son travail resta incompris jusqu’en 1843 (11 ans après sa mort), mais Évariste Galois a trouvé les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une équation polynômiale ait des solutions qui s’expriment avec des radicaux (des racines carrées, cubiques, ... etc). Une théorie entière des mathématiques porte son nom : « la théorie de Galois » elle peut être enseignée en maîtrise de mathématiques.