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Spirales

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J’ai choisi comme logos pour mon site et les différentes rubriques le thème de la spirale. Vous voyez donc différentes spirales qui ont toutes une origine mathématique :

Rubrique Seconde

La figure représente le rectangle d’Or (cf DL n°1). Quand on inscrit le plus grand carré possible dans ce rectangle, le rectangle restant a les mêmes proportions que le rectangle initial, c’est encore un rectangle d’Or. On peut alors tracer à nouveau un carré dans ce rectangle et continuer ainsi le même procédé à l’infini. Le rectangle d’or a un rapport longueur sur largeur égal au nombre d’Or que l’on note \varphi :

\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\simeq 1,618

Ce nombre est solution de l’équation du second degré :

x^2=x+1

En traçant un arc de cercle sur chaque carré, on obtient cette figure.


J’ai tracé cette figure avec un logiciel qui s’appelle Metapost. C’est en fait un langage de programmation pour faire des figures. Bien que la figure semble compliquée, le programme est assez court, voici le code :

- beginfig(4); %Rectangle d'or
- u:=20cm; phi:=(1+sqrt5)/2; n:=15;
- pair A,B,C,D,E,F;
- A:=(0,1)*u; C:=(phi,0)*u; D:=(phi,1)*u; E:=(1,0)*u; F:=(1,1)*u; B:=origin;
- draw A- -B--C--D--cycle;
- pickup pencircle scaled 0.1 bp;
- draw E--F{left}..B{down};
- path trait;
- trait=E--F{left}..B{down};
- for i=0 upto n:
- trait:=trait rotated -90 scaled (phi-1) shifted F;
- draw trait;
- endfor
- endfig;

Rubrique Terminale S

La figure montre une espèce de suite de carrés qui s’enroulent en spirale jusqu’au centre du carré de départ. (On peut le définir plus proprement que cela avec la notion de similitude, qui est une composée de rotation et homothétie). Cette figure est la solution à un problème amusant :

Supposons que quatre fourmis nommée F1, F2, F3 et F4 soient aux quatre sommets A, B, C, D d’un carré. Simultanément les fourmis veulent se suivre, alors F1 va vers F2 (en visant tout droit), F2 va vers F3, F3 va vers F4 et F4 va vers F1. Quelles trajectoire les fourmis vont elles avoir ? Où vont-elles se retrouver ?

La réponse est dans cette figure. On a en fait une approximation des trajectoires, qui convergent au centre du carré. On raisonne comme en physique : Pendant un court intervalle de temps \Delta t chaque fourmi va en ligne droite vers celle qu’elle voit devant. Leur position est alors celle des quatre sommet du deuxième carré, puis après un second intervalle de temps \Delta t , elles se retrouvent aux sommets d’un troisième carré...etc La trajectoire d’une fourmi est constituée des différentes positions des sommets des carrés. Les quatre trajectoires forment quatre spirales convergeant au centre du carré initial.


J’ai aussi tracé cette figure avec le logiciel qui s’appelle Metapost. C’est un langage de programmation pour faire des figures géométriques. Bien que la figure semble compliquée, le programme est assez court, voici le code :

- beginfig(1) %%%% spirale de carrés
- pair A,B,C,D ; %ici je déclare les variables (sommets du carré initial)
- u :=20cm ; %Unité
- A=(0,0) ; B=(u,0) ; C=(u,u) ; D=(0,u) ;
- transform T ;
- A transformed T = 1/5[A,B] ;
- B transformed T = 1/5[B,C] ;
- C transformed T = 1/5[C,D] ; %Ici on a défini une transformation
- path p ;
- p = A--B--C--D--cycle; %On défini le carré %Dans la boucle for suivante, on transforme le carré et on le trace. On recommence 100 fois.
- for i=0 upto 100 :
- draw p withpen pencircle scaled 0.15mm ;
- p := p transformed T ;
- endfor ;
- endfig ;

Rubrique Spécialité math

Spirale Ulam petite J’ai choisi une spirale qui a rapport avec l’arithmétique qui porte le nom de spirale d’Ulam, du nom de son inventeur. La spirale d’Ulam a été créée en 1963 par le mathématicien Stanislaw Ulam durant une conférence scientifique alors qu’il s’ennuyait. Il décida de disposer des entiers sur une grille carrée selon une spirale et il marqua les nombres premiers. Ci-dessus on voit le début sur une petite grille 7x7. Sur une grille plus grande, comme celle-ci avec les nombres jusqu’à 1000 :

Ulam 1000

on commence à observer que certains nombres premiers semblent dessiner des motifs qui n’ont rien d’aléatoires ou qui suivent des lignes droites. Tracée sur une très grande grille 400x400 on obtient cette figure :

GIF - 10 ko
Grande spirale d’Ulam

On peut remarquer que les nombres premiers sont répartis de manière plus concentrée selon certains alignements.

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Cette spirale qui évoque une galaxie, me plait bien. Je l’ai aussi construite avec Metapost. Mon idée était de tracer une spirale mais en mettant des points aléatoirement « autour » de cette spirale. Ensuite pour que le centre de la spirale ne soit pas invisible sous un tas de points, j’ai fait en sorte que le paramètre de dispersion des points soit de plus en plus faible à mesure que l’on se rapproche du centre. Voici le code Metapost :

- beginfig(7) ; %Brownien autour d’un chemin. Effet "galaxie" - u :=0.2cm ; ahangle :=15 ;
- pair A[] ;
- path p[] ;
- numeric t[],N[] ;
- A0 :=(30u,0) ;
- p0 :=A0 ;
- N4 :=45 ; %La boucle ci—dessous donne p0 qui est une spirale convergeant en zéro que je ne trace pas.
- for j :=0 upto N4 :
- A[j+1] :=A[j] zscaled (0.85,0.36) ;
- p0 :=p0..A[j+1] ;
- endfor
- N3 :=100 ;
- t0 :=0 ;
- N5 :=arclength p0 ;
- N6 :=20 ; %nb de points brownien placés par valeur de tk
- pickup pencircle scaled 2bp ;
- for k :=1 upto N3 :
- t[k] :=arctime N5/N3*k of p0 ;
- for i :=0 upto N6 :
- N0 :=normaldeviate ;
- N1 :=normaldeviate ;
- draw (point t[k] of p0)+(N0*0.05(N3-k+6)*u, N1*0.05(N3-k+6)*u);
- endfor
- endfor
- endfig ;