\chapter{Réduction des circuits}\label{chap:3}
Pour calculer la resistance équivalente d'un circuit, il existe trois
transformations élémentaires classiques qui concernent les résistances
en série, les résitances en parallèles (ou en dérivation) et enfin
l'équivalence triangle étoile. Il s'avère que ces trois
transformations suffisent à réduire tous les circuits plans finis
d'après un théorème d'\'Epifanov (voir Truemper 1989). Nous
n'utiliserons pas la transformation triangle étoile.

\section{Résistances en série}
\begin{figure}[hbt]
  \centering
  \includegraphics{ter.12}
  \caption{Deux résistances $R_1$ et $R_2$ en série}
  \label{fig:resit.serie}
\end{figure}
\begin{prop}
  Deux résistances $R_1$ et $R_2$ branchées en série sont équivalentes
  à une résistance $\req=R_1+R_2$.
\end{prop}
On peut montrer ce résultat classique de deux manières (au moins). La
première, proposée par Lyons et Peres consiste à vérifier qu'après la
transformation, les potentiels restent inchangés dans le circuit et
que le courant $I_{ac}$ qui traverse la nouvelle resistance $R_1+R_2$
est égal à $I_{ab}$, celui qui traversait~$R_1$. La preuve consiste à
vérifier que la loi d'Ohm et la loi de \noeuds sont satisfaites. La
preuve que je propose s'appuie sur l'interprétation probabiliste que
l'on a faite de la résistance équivalente:
\begin{proof}
  On note $C_1$ et $C_2$ les inverses de $R_1$ et $R_2$. Soit
  $\ceq=C(a \leftrightarrow c)$ On a:

  \begin{align*}
    \ceq&=C_a\P(a\rightarrow c)\\
    &=C_1\P(a\rightarrow b)\P(b\rightarrow c)\\
    &=C_1\P(b\rightarrow c)
  \end{align*}
Car partant de $a$, la particule ne peut aller qu'en~$b$. Par ailleurs
on a vu au~\eqref{eq:poa} que: $\P(b\rightarrow
c)=\frac{C_2}{C_1+C_2}$. On a donc:
\[\ceq=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\]
En prenant l'inverse:
\begin{align*}
  \req&=\frac 1 \ceq\\
  &=\frac{C_1+C_2}{C_1C_2}\\
  &=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\\
  &=R_1+R_2%
\end{align*}
\end{proof}

\section{Résistances en parallèle}
\begin{figure}[hbt]
  \centering
  \includegraphics{ter.13}
  \caption{Deux conductances $C_1$ et $C_2$ en parallèle}
  \label{fig:resit.par}
\end{figure}
\begin{prop}
   Deux conductances $C_1$ et $C_2$ branchées en parallèle sont équivalentes
  à une conductance $\ceq=C_1+C_2$.
\end{prop} 
La  preuve peut encore s'établir en vérifiant les deux lois, d'Ohm et
des \noeuds sur le nouveau circuit en prenant comme courant la somme
des courants que l'on avait dans chaque branche. Ou bien simplement ainsi:
\begin{proof}
  En partant de $a$ la marche est sûre (ou presque\dots) d'arriver
  en~$b$ avant de retourner en~$a$ vu que les arêtes incidentes en~$a$
  aboutissent à~$b$. Donc:
\[ \ceq=C_a\P(a\rightarrow b)=C_1+C_2\]
\end{proof}
\begin{exercice}
  Un insecte de manière aléatoire sur les arêtes d'un cube. Partant
  d'un sommeté$a$, calculer la probabilité qu'il atteigne un sommet
  adjacent donné $b$ avant de revenir ené$a$.
\end{exercice}
\begin{exercice}
  On reprend l'exemple du modèle d'Ehrenfest. Calculer la probabilité,
  partant de $0$ d'atteindre l'état N avant de revenir à l'état~0.
\end{exercice}
\section{La loi de Rayleigh}
\label{sec:loiderayleigh}
Jusqu'ici notre objectif était essentiellement de modéliser avec les
outils du probabiliste ce qu'étaient des grandeurs physiques telles
que la tension, l'intensité,\emph{etc}. \`A partir de maintenant, ce
sont les lois de la physiques qui seront à notre disposition pour
démontrer des résultats de la théorie des probabilités.\\
Considérons $\P(a\leftrightarrow Z)$. Comment varie cette probabilité
lorsqu'on retire ou ajoute une arête à~$G$? Ou si l'on modifie la
valeur d'une résistance? Il est difficile de répondre à ces questions
par des arguments probabilistes. Mais comme nous l'avons vu,
$\P(a\leftrightarrow Z)=C(a\leftrightarrow Z)/C_a$ donc si aucune
conductance incidente à~$a$ n'est modifiée, notre problème se traduit
directement en termes de résistances équivalentes. Or il existe une
loi de physique concernant la résistance équivalente d'un circuit,
c'est la loi de monotonie de Rayleigh.
\begin{theo}[loi de monotonie de Rayleigh]
  \label{theo:loiderayleigh}
\index{loi!de Rayleigh}\index{Rayleigh@Rayleigh (loi
  de monotonie de)}%\hyperref[theo:loiderayleigh]{loi de Rayleigh}
Si les résistances d'un circuit sont augmentées (resp. diminuées)
alors la résistance équivalente entre deux points quelconques ne peut
que croître (resp. décroître).
\end{theo}
Pour l'anecdote, ce principe était considére comme évident par Maxwell,
le père de l'électromagnétisme. Si vous n'êtes pas convaincu, voici
néanmoins une preuve:
\begin{proof}
  On se donne deux graphes $G$ et $G^*$ identiques, munis des
  resistances $\rxy$ et $\rxy^*$ telles que $\rxy^*\geq\rxy$ pour tous
  $x$ et $y$. Soit $I$ le courant \emph{unitaire} de $a$ à~$b$ avec
  les résistances $\rxy$ et $j$ le courant \emph{unitaire} de $a$ à~$b$ avec
  les résistances $\rxy^*$. Alors:
\[\req^*=\frac12\sum_{x,y}\rxy^*\jxy ^2\geq \frac12\sum_{x, y}\rxy\jxy ^2\]
Mais comme $j$ est un flux unitaire de $a$ à~$b$, le \index{principe!de Thomson}\index{Thomson@Thomson (principe
  de)}\hyperref[theo:principeThomson]{principe de Thomson} nous dit que l'énergie calculée avec les résistances $\rxy$
est plus importante que celle calculée avec les vrais courants $\ixy$
déterminés par ces résistances \emph{i.e.}~:
\[\frac12\sum_{x, y}\rxy\jxy ^2\geq \frac12\sum_{x, y}\rxy\ixy ^2\]
Ce qui signifie exactement:
\[\req^*\geq\req \]
La preuve pour la décroissance est la même \emph{mutatis mutandis}.
\end{proof}

On peut démontrer cette loi en termes de marche aléatoire, mais c'est
assez fastidieux (cf Doyle \& Snell p.70).
[\dots]\\
La loi de Rayleigh va nous permettre de simplifier des circuits, en
particulier avec deux cas limites de transformations:
\begin{itemize}
\item[\bf Court circuiter] des \noeuds{} \emph{i.e.} les connecter par une
  résistance nulle (ou une conductance infinie), ce qui revient à
  assimiler ces deux \noeuds{} à un \noe{} unique.
\item[\bf Couper] une branche du circuit \emph{i.e.} connecter es
  \noeuds{} par une
  résistance infinie (ou une conductance nulle), ce qui revient à
  effacer l'arête du circuit.
\end{itemize}
Ces deux procédures donnent deux lois corollaires de la loi de
Rayleigh:
\begin{corollaire}[Loi du court circuit]\label{prop:courtcircuit}
  Court circuiter des ensembles de n\oe{}uds fait décroître la
  résistance équivalente du circuit entre deux points donnés.
\end{corollaire}

\begin{corollaire}[Loi de la coupe]\label{prop:coupe}
  Couper certaines branches du circuit fait croître la
  résistance équivalente du circuit entre deux points donnés.
\end{corollaire}
Ces deux corollaires sont évidents une fois la loi générale énoncée,
mais ce sont eux que l'on utilisera. C'est Rayleigh lui même qui
énonça ces deux lois pour établir des bornes inférieures et
supérieures pour la résistances équivalente de circuits.