\chapter*{Introduction}\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction}

À l'origine ce papier était un travail d'étude et de recherche en
probabilités effectué en maîtrise de mathématiques pures à
l'université d'Orsay \bsc{Paris XI} en 1998 sous la direction de
Wendelin WERNER\footnote{Professeur à l'unervisté d'Orsay Paris XI,
  médaille Fields en 2007}. Il nécessite donc une certaine familiarité avec la
théorie des probabilités en particulier la notion de martingale et de
chaîne de Markov pour les deux premiers chapitres. Ce
travail repose essentiellement sur le livre de DOYLE et SNELL \emph{Random
walks and electrical networks} (1984) dont il reprend le titre en
français, ainsi que sur une prépublication du livre maintenant achevé \emph{Probability
  on trees and networks} (1996--2008) de Russel LYONS et Yuval PERES. Quelques résultats personnels ont cependant été ajoutés
ainsi que le développement sur la réduction des circuits. \\
Le fichier initial au format .doc ayant été perdu, il ne me restait
qu'un exemplaire papier de mon travail et j'ai entrepris en 2005 de le
retaper sous $\LaTeX$ avec des figures faites avec \MP. Le travail a
été repris et fini en 2008.\\
\par %
Il s'agit ici de montrer comment on peut modéliser un circuit électrique
constitué de résitances par une marche aléatoire (d'un électron) sur
un graphe dont les sommets sont les n\oe{}uds du circuit et les arêtes
sont les résistances joignant deux n\oe{}uds. On donne alors au
chapitre~\ref{chap:2} des
interprétations en terme de probabilité des grandeurs physiques telles
que la tension, l'intensité, l'énergie et la resistance équivalente
dans un circuit électrique. Cela amène un éclairage mathématique sur
un phénomène physique bien connu mais souvent mal compris qu'est
l'électricité. Je cite volontiers l'anecdote que l'on attribue à
Maxwell le père de l'électromagnétisme qui aurait interpellé un de ses
élèves, assoupi dans l'amphithéâtre en disant \og{}Monsieur, qu'est-ce
que l'éléctricité?!\fg{} ce dernier brutalement réveillé et intimidé
aurait répondu \og{}Je ne m'en souviens plus \dots\fg{}. Le maître
aurait alors déclaré à l'assemblée \og{}Messieurs vous venez
d'assister au plus grand drame de la physique moderne, le seul homme
qui savait ce qu'est l'éléctricité, l'a oublié!\fg{} Au
chapitre~\ref{chap:3} on démontrera avec notre modèle probabiliste les
formules pour calculer les résistances équivalentes à des résistances
montées en séries ou en parallèles. On verra
finalement au chapitre~\ref{chap:4} comment une loi physique (la loi
de Rayleigh) peut nous aider à démontrer le théorème de P\'olya
relatif au problème mathématique de la transience ou de la
récurrence de la marche aléatoire simple dans~$\Z^d$.\\[0.6cm]
\textbf{Téléchargements:}
\noindent%
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item \emph{Random walks and electrical networks} est téléchargeable
  ici:\\
 \url{http://arxiv.org/abs/math/0001057v1}
\item \emph{Probability on trees and networks} est téléchargeable
  ici:\\
 \url{http://php.indiana.edu/~rdlyons/prbtree/prbtree.html}
\end{list}
