\begin{probleme}
\def\Titredm{Suite de \textsc{Héron}}%Avec CV monotone
  {\bf But du problème:} Il s'agit d'étudier une suite%
\footnote{Cette suite était connue au temps de la grande Alexandrie (I\ier sciècle A.D.), elle est appelée suite de Héron d'après $E\rho\omega\nu$ $o$
 $A\lambda\epsilon x\alpha\nu\delta\rho\epsilon\upsilon$}%
de rationnels dont on va prouver qu'elle converge très vite vers le nombre réel irrationnel~$\sqrt 2$. Les questions comportant le symbole \textregistered{} nécessitent un raisonnement par récurrence.\\
Vous avez étudié la famille de fonctions définies par
$f_a(x)=\frac12(x+\frac a x)$ dans un devoir précédent. Ici on
considère le cas~$a=2$, sur $\mathbb{R}^{+*}$ on notera donc $f$ la
fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ par:
\[f(x)=\frac12\left(x+\frac{2}{x} \right)\]
et la suite récurrente $(q_n)_{n\in\mathbb{N}}$ associée, de premier
terme~$q_0=1$ et vérifiant:
\[ \forall n \in\mathbb{N},\quad q_{n+1}=f(q_n) \]
\textbf{Rappels:} Vous avez établi au devoir précédent les
inégalités~\eqref{eq:prob2:supsqrt} et~\eqref{eq:prob2:idomin}
et que la seule solution de $f(x)=x$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ est~$\sqrt{2}$.
\begin{align}
  \label{eq:prob2:supsqrt}
   \forall x& \in\mathbb{R}^{+*},\ f(x)\geq \sqrt 2 \tag{I1}\\
  \label{eq:prob2:idomin}
  \forall x& \in [\sqrt 2\,;+\infty[\,,\ f(x)\leq x \tag{I2}%\\
  %f(x)=x \iff x\in{-\sqrt{2};\sqrt{2}} \tag{E}
\end{align}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item Sur un graphique\footnote{Vous pouvez imprimer la courbe depuis un
   logiciel grapheur comme GeoGebra}, représenter les premiers termes de la suite
 $(q_n)$ à l'aide d'un schéma en \og toile
 d'araignée\fg{}.
%On fera deux toiles, une en partant de $q_0=1$ et une en partant de~$q_0=2/5$.
\item Emmetre une conjecture sur le sens de variation et la limite
 éventuelle de~$(q_n)$.
  \end{enumerate}

\item%
\begin{enumerate}
\item Calculer $q_1$, $q_2$, $q_3$, $q_4$. On donnera les résultats sous
    forme de fractions irréductibles ainsi que la valeur approchée
    donnée par la calculatrice. Sur ces valeurs approchées, soulignez
    les premiers chiffres qui sont identiques à ceux affichés
    pour~$\sqrt2$. 
    \item A-t-on: $q_4=\sqrt 2$ ou $q_4\not =\sqrt 2$? Justifier.
\end{enumerate}
 
  %1.41421356237 3095145 % q4=1.41421356237 4689911

 \item \textregistered{} Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, $q_n$ est un
    rationnel strictement positif.

\item \textregistered{} 
 Montrer en utilisant~\eqref{eq:prob2:supsqrt} que pour tout
    $n$ de $\mathbb{N}^*$:   $q_n\geq\sqrt 2$.
\item \textregistered{} Montrer en utilisant~\eqref{eq:prob2:idomin} que $(q_n)$ est
  décroissante sur~$\mathbb{N}^*$.
\item En déduire que $(q_n)$ converge vers un réel $\ell$.
\item Justifier  que $\ell\geq \sqrt{2}$. On admet que $\ell$ est un point fixe de $f$, i.e. $f(\ell)=\ell$.
\item Conclure le problème.
\end{enumerate}
% \item On pose pour $n$ dans $\mathbb{N}$: $d_n=q_n-\sqrt2$. On veut
%   prouver que~$(d_n)$ converge vers~zéro.
%   \begin{enumerate}
%   \item Prouver que pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{+*}$: $f(x)-\sqrt
%     2=\dfrac{(x-\sqrt 2)^2}{2x}$.
%   \item Justifier que $\frac{1}{2q_n}\leq 1$, puis en déduire que: 
%     \begin{equation}
%       \label{eq:prob2:dncarre}
%        \forall n \in\mathbb{N}^*,\, d_{n+1}\leq d_n^{\phantom{1}2} \tag{I3}
%     \end{equation}
%   \item Vérifier que $d_1\leq \frac{1}{10}$ et justifier que  que: $\forall n
%     \in\mathbb{N}^*,\, d_n \geq 0$
%   \item Prouver en utilisant~\eqref{eq:prob2:dncarre} que:
%     \begin{equation}
%       \label{eq:prob2:cvquad}
%       \forall n \in\mathbb{N}^*,\, d_n\leq (d_1)^{2^{n-1}}\tag{I4}
%     \end{equation}
%   \item Playschool. Complète et justifie: $\lim\limits_{ n \to +\infty
%     }2^n=\dots$ et $\lim\limits_{ N \to +\infty
%     }\left(\frac{1}{10}\right)^N=\dots$.
% % donc $\lim\limits_{ n \to +\infty }d_n=\dots$ et ainsi: $\lim\limits_{ n \to +\infty}q_n=\dots$
%  \item Prouver enfin que $(q_n)$ converge bien vers~$\sqrt 2$.
%   \end{enumerate}
%\medskip 

\noindent\textbf{Conclusion.} Ainsi $(q_n)$ est une suite de rationnels
  qui converge vers l'irrationnel~$\sqrt 2$. Vous avez observé la
  rapidité de cette convergence sur votre graphique et par le calcul des quatre premiers termes. Cette vitesse de convergence dite \emph{quadratique}, c'est à dire qu'à chaque
  itération on double (environ) le nombre de décimales correctes
  (\emph{i.e.} identiques à celles de
  $\sqrt{2}$). Pour prouver celà, on peut établir  l'encadrement\footnote{Je
  voulais vous le demander, mais finalement\dots non.}
 \begin{equation}
      \label{eq:prob2:cvquad}
      \forall n \in\mathbb{N}^*,\, 0\leq q_n-\sqrt{2}\leq 10^{-2^{n-1}}\tag{I3}
   \end{equation}

 \textbf{Bonus:}
 \begin{dingautolist}{172}
 \item En admettant~\eqref{eq:prob2:cvquad}, combien $q_n$ a-t-il (au
   moins) de décimales communes avec~$\sqrt{2}$? 
 \item  Déterminer un rang $n$ à partir duquel $q_n$ a au moins 1000
    décimales en commun avec~$\sqrt2$.
 \end{dingautolist}
 

\end{probleme}
