\begin{probleme}
%\def\Titredm{\'Etude d'une famille de fonctions} Marche pas car
%Titre inconnu avant compilation du pb.tex

\noindent{\bf But du problème:} \'Etudier la famille des
  fonctions $f_a$ définie
  sur $\mathbb{R}^*$ par:
\[f_a(x)=\frac12\left(x+\frac{a}{x} \right)\qquad \quad\text{où}\quad\ a\in\mathbb{R}^{+*} \]
où $a$ est un paramètre réel strictement positif. On suppose fixé
$a\in\mathbb{R}^{+*}$. On se fixe un repère orthonormé
$(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)$ du plan dans lequel $\mathscr{C}_a$
désignera la courbe de~$f_a$.\\

 \begin{enumerate}
   \item $f_a$ est impaire. En effet, $\mathbb{R}^{*}$ est symétrique
     par rapport à zéro et pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{*}$ on a:
     \begin{align*}
       f_a(-x)&=\frac12\left(-x+\frac{a}{-x} \right)\\
       &=-\frac12\left(x+\frac{a}{x} \right)=-f_a(x)
     \end{align*}
 Ainsi $\mathscr{C}_a$ admet $O$ comme centre de symétrie.
   \item $\lim\limits_{ x \to +\infty } \frac{a}{x}=0$ donc
     $\lim\limits_{ x \to +\infty } f_a(x)=+\infty$. Par ailleurs,
     $\lim\limits_{ x \to 0 \atop x  > 0 } \frac{1}{x}=+\infty$ et
     comme $a>0$, on a aussi $\lim\limits_{ x \to 0 \atop x  > 0 }
     \frac{a}{x}=+\infty$. Donc $\lim\limits_{ x \to 0 \atop x  > 0 }
     f_a(x)=+\infty$. Comme $f_a$ est impaire:
\[\lim\limits_{ x \to -\infty } f_a(x)=-\lim\limits_{ x \to -\infty }
-f_a(-x)= \lim\limits_{ x \to +\infty } -f_a(x)=-\infty\]
De même en $0-$: $\lim\limits_{ x \to 0 \atop x <  0 }
     \frac{a}{x}=-\infty$
   \item%
     \begin{enumerate}
     \item Sur 
     $\mathbb{R}^{-*}$ et~$\mathbb{R}^{+*}$ $f_a$ est dérivable et on
     a:
     \begin{align*}
       f'_a(x)&=\frac12\left(1-\frac{a}{x^2} \right) \\
&=\frac{1}{2x^2}\left(x^2-a \right)
     \end{align*}
$2x^2$ est positif (c'est le carré d'un réel) donc $f'_a(x)$ a le
signe de $x^2-a$ qui est un
polynôme du second degré admettant deux racines $\sqrt{a}$ et
$-\sqrt{a}$, il est négatif entre ces racines et positif à
l'extérieur. D'où le tableau de variation de $f_a$:
%
\begin{center}
  \begin{variations}
    x         &\mI&   &-\sqrt{a}&     & & 0 &       &  &\sqrt{a}&  &   &\pI    \\
    \filet
    f_a'(x)   &   & + &    0    & -   & &\bb&       & -&   0    & +&       \\
    \filet
    \m{f_a(x)}&\mI&\c &\h{-\sqrt{a}}&\d&\mI &\bb&\h{\pI}&\d&\sqrt{a}&\c&\h{\pI}\\
  \end{variations}
\end{center}


%
   \item On calcule
     $f_a(\sqrt{a})=\frac12\left(\sqrt{a}+\frac{a}{\sqrt{a}}
     \right)=\frac12  \times 2\sqrt{a}=\sqrt{a}$. Ainsi d'aprs les variations
     de $f_a$, cette fonction admet sur $\mathbb{R}^{+*}$ un minimum
     qui est  $\sqrt{a}$. Cela implique que pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{+*}$, on a: $f_a(x)\geq\sqrt{a}$.
     \end{enumerate}
   \item On pose $\delta(x)=f_a(x)-\frac12 x$. Il s'agit de montrer
     que $\delta$ tend vers zéro en $+\infty$ et $-\infty$. 
     
     \[  \delta(x)=\frac12\left(x+\frac{a}{x} \right)-\frac12
     x=\frac{a}{2x}\]
On a clairement les limites voulues donc $D:\ y=\frac12x$ est
asymptote en $+\infty$ et~$-\infty$ à~$\mathscr{C}_a$. De plus comme
$a$ est strictement positif, $\frac{a}{2x}$ est du signe de~$x$, ce
qui implique que:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item Sur $\left]-\infty\,;0\right[$, $\delta$ est négatif et donc
  $\mathscr{C}_a$ est en dessous de~$D$.
\item  Sur $\left]0\,;+\infty\right[$, $\delta$ est positif et donc
  $\mathscr{C}_a$ est au dessus de~$D$.  
\end{list}
%-----
   \item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=x$. On pose pour $x$
     dans $\mathbb{R}^*$: $d(x)=f_a(x)-x$. 
     \begin{align*}
       d(x)&=\frac12\left(x+\frac{a}{x} \right)-x\\
       &=\frac{a}{2x}-\frac{x}{2}\\
       &=\frac{a-x^2}{2x}
     \end{align*}
     \begin{enumerate}
     \item On dresse un tableau de signes de $d$. Le signe de $x^2-a$
       a déja été expliqué et ici on a son opposé au numérateur.
       \begin{center}
         \begin{variations}
x               & \mI &     &  -\sqrt{a} &       & 0 &       &  \sqrt{a} &     &\pI\\
\filet\filet
 -x^2+a      &     & -~~ &  \z &   +   & \l &   +   & \z & ~~- &   \\
\filet
2x             &      & -~~ &  \l & ~~-~~ & \z & ~~+~~ & \l & ~~+ &   \\
\filet\filet
%-----------------------------------------------------------------------
d(x)           &     & +~~ &  \z &   -   & \bb &   +   & \z & ~~- &   \\
\end{variations}
       \end{center}
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item Sur $\left]-\infty\,;-\sqrt{a}\right]\cup\left]0\,;\sqrt{a}\right]$, $d$ est positif et donc
  $\mathscr{C}_a$ est au dessus de~$\Delta$
  
\item  Sur $\left[-\sqrt{a}\,;0\right[\cup\left[\sqrt{a}\,;+\infty\right[$, $d$ est négatif  et donc
  $\mathscr{C}_a$ est en dessous de~$\Delta$.
\end{list}

   \item D'après le tableau précédent, $\mathscr{C}_a$ coupe $\Delta$
     en deux points qui sont ceux d'abscisse $-\sqrt{a}$ et
     $\sqrt{a}$. On a déjà vu que ces valeurs annulaient la dérivée de
     $f_a$, ce qui signifie qu'en ces points la tangente à $\mathscr{C}_a$ est parallèle à l'axe
     des abscisses.
     \end{enumerate}
   \item Tracer  sur un même graphique $\mathscr{C}_2$, $\Delta$ et
     $\mathscr{D}$ sur $\mathbb{R}^*$. Unité graphique: 2~cm.

  
     
   \end{enumerate}
   \begin{center}
\includegraphics{probleme-1/DL1-2008-Famille-de-fonctions}     
   \end{center}
\vspace{1cm}
$\bigstar$ \textbf{Bonus:}
\begin{dingautolist}{172}
\item   Quelles sont les valeurs possibles pour le coefficient
directeur d'une tangente à~$\mathscr{C}_a$? Autrement dit pour quels
réels $m$, l'équation $f'_a(x)=m$ a-t-elle une solution pour~$x$. 
\begin{align*}
  f'_a(x)=m%
            &\iff \frac{1}{2x^2}\left(x^2-a \right)=m\\
            &\iff \frac{1}{2}- \frac{a}{2x^2}=m\\
            &\iff \frac{a}{x^2}=1-2m\\
            &\iff x^2=\frac{a}{1-2m}\\
\end{align*} 
L'équation $x^2=\frac{a}{1-2m}$ admet
une solution (au moins) ssi $1-2m>0$ \emph{i.e.} $m<\frac12$.
Ainsi les valeurs possibles pour le coefficient
directeur d'une tangente à~$\mathscr{C}_a$ sont les réels de
$\left]-\infty\,;\frac12\right[$. Ce qui correspond à ce qu'on pouvait
imaginer d'après le graphique.
\item   Déterminer en fonction de la valeur du réel $k$ le nombre d'antécédents de $k$ par~$f_2$. On pourra raisonner graphiquement et/ou par le calcul.
\\
On s'interesse ici au nombre d'antécédents d'un réel $k$ par $f_2$. On considère donc l'équation d'inconnue~$x$, où $k$ est un réel:
     \begin{equation}
       \label{eq:prob1:fxk}
       f_2(x)=k
     \end{equation}
\begin{enumerate}
     \item Graphiquement, le nombre de solutions à
       l'équation~\eqref{eq:prob1:fxk} est:
       \begin{list}{$\bullet$}{}
       \item Deux lorsque $k\in\left]-\infty\,;-\sqrt{a}\right[\cup\left]\sqrt{a}\,;+\infty\right[$
       \item Une si $k\in\left\{-\sqrt{a};\sqrt{a} \right\}$
       \item Zéro si $k\in\left]-\sqrt{a}\,;\sqrt{a}\right[$
       \end{list}
     \item Retrouvons ce résultat par le calcul. On résout
       donc~\eqref{eq:prob1:fxk} sur~$\mathbb{R}^*$. Or:
       \begin{align*}
         \eqref{eq:prob1:fxk}%
         &\iff \frac12\left(x+\frac{a}{x}\right)=k\\
         &\iff x+\frac{a}{x}=2k\\
         &\iff x^2-2kx+a=0
       \end{align*}
Le discriminant de l'équation $x^2-2kx+a=0$ est:
$\Delta=4k^2-4a=4(k^2-a)$. On a déja vu le signe de $x^2-a$ en
fonction de $x$, ici $k$ joue le rôle de $x$. Ainsi:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item \eqref{eq:prob1:fxk} a deux solutions réelles distinctes ssi
  $\Delta>0$ \emph{i.e.} $k^2-a>0$ soit pour $k\in\left]-\infty\,;-\sqrt{a}\right[\cup\left]\sqrt{a}\,;+\infty\right[$.
\item \eqref{eq:prob1:fxk} a une solution réelle ssi
  $\Delta=0$ \emph{i.e.} $k^2-a=0$ soit pour $k\in\left\{-\sqrt{a};\sqrt{a} \right\}$
\item \eqref{eq:prob1:fxk} n'a aucune solution réelle ssi
  $\Delta<0$ \emph{i.e.} $k^2-a<0$ soit pour $k\in\left]-\sqrt{a}\,;\sqrt{a}\right[$.
\end{list}
       On retrouve bien les mêmes cas que précédement.
     \end{enumerate}
\end{dingautolist}

\end{probleme}
