%Author: Vincent PANTALONI / mailto: prof.pantaloni@gmail.com
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\pagestyle{fancy}
%
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\labelenumi}{{\bf{\arabic{enumi}}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{{\bf{\alph{enumii}}.}} %-------------------------------------------------
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\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\vecteur}{\overrightarrow}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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% Entete et pied de page
\newcommand{\np}{\nombre}
\lhead{\textsl{Cours de mathématiques TSTMG}}
\chead{ }
\rhead{}%\Large{\bf Rappels sur les \%}}
%--
\lfoot{{\tt http://prof.pantaloni.free.fr}}
%\cfoot{}
\rfoot{}%Lycée Jean Zay, Orléans}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\newtheorem{principe}{Principe}
\newtheorem{Def}{Définition}
\newtheorem{prop}{Propriété}
\newtheorem{theo}[prop]{Théorème}
\newtheorem{lemme}[prop]{Lemme}
\newtheorem*{exemple}{Exemple}
% --------------------------------------------------------------------
\begin{document}
\newcounter{numeroexo}
\newcommand{\exo}{% Titre
                     \refstepcounter{numeroexo}
                     \vspace{1em} \par \noindent
                     \raisebox{-0.7ex}{\bf Exercice \no \arabic{numeroexo} }
                     \hrulefill
                     \par \vspace{0.5em}
                    }
%\begin{center} \begin{LARGE}  \%  \end{LARGE} \end{center}
% \vspace{-5ex}
 \begin{bclogo}[logo=\bcbook,arrondi=0.1,couleur=blue!0,ombre=true,epOmbre= 0.2,couleurOmbre=black!30]{Taux d'évolution moyen.}
     %------------------
%\begin{enumerate}
%\item Moyenne géométrique
\begin{Def} On appelle \emph{moyenne géométrique} de deux nombres positifs $a$ et $b$ le nombre $\sqrt{ab}$
\end{Def}
Géométriquement c'est le côté du carré qui a la même aire qu'un rectangle de côtés $a$ et~$b$.
\begin{Def} Si une valeur évolue deux fois de suite en étant multipliée successivement par $CM_1$ puis $CM_2$ alors le coefficient multiplicateur moyen est $CM_m$ qui est la moyenne géométrique de $CM_1$ et $CM_2$~:
\[\boxed{CM_m=\sqrt{CM_1\times CM_2}}\]
\end{Def}
\textbf{Explication:} $CM_1\times CM_2$ est le coeff. multiplicateur de l'évolution globale. Si les taux d'évolution avaient été à chaque fois les mêmes, pour avoir le même taux global d'évolution, le coeff. multiplicateur aurait dû être à chaque étape de $CM_m$ tel que $CM_m\times CM_m=CM_1\times CM_2$ et donc $CM_m=\sqrt{CM_1\times CM_2}$
\begin{center}
\rule{0pt}{1em}
%%% VERSION PSTRICKS

\Rnode{x}{$V_1$}\hspace{1.8cm}%
\Rnode{y}{$V_2$}\hspace{1.8cm}%
\Rnode{z}{$V_3$}
\ncline{->}{x}{y} \naput{$\times CM_1$}
\ncline{->}{y}{z} \naput{$\times CM_2$}
\ncarc[arcangle=-60]{->}{x}{z} \naput{$\times CM_1\times CM_2$}
%%%
\hspace{1.8cm}
\Rnode{x}{$V_1$}\hspace{1.8cm}%
\Rnode{y}{$V_2$}\hspace{1.8cm}%
\Rnode{z}{$V_3$}
\ncline{->}{x}{y} \naput{$\times CM_m$}
\ncline{->}{y}{z} \naput{$\times CM_m$}
\ncarc[arcangle=-60]{->}{x}{z} \naput{$\times (CM_m)^2$}
%%% FIN VERSION PSTRICKS

\end{center}\rule{0pt}{2.5em}
%\item Taux moyen.
\begin{Def} Le \emph{taux d'évolution moyen} après deux évolutions est le pourcentage qui correspond au coefficient multiplicateur moyen $CM_m$
\end{Def}
%\end{enumerate}
\begin{exemple}
Pour les soldes un commerçant baisse le prix de ses jeans de 10\% puis deux semaines plus tard il effectue une deuxième démarque violente en baissant ce dernier prix soldé de 60\%. Quel est le pourcentage global d'évolution? Quel est le taux moyen d'évolution?
\end{exemple}
Ici $CM_1=1-0,1=0,9$ et $CM_2=1-0,6=0,4$. Le CM de l'évolution globale est:

$CM_1\times CM_2=0,9\times0,4=0,36$ 

soit une baisse globale de 64\%. (Et non pas de 70\% comme on pourrait le croire en calculant 10+60).\\
On a donc un coeff. multiplicateur moyen: $CM_m=\sqrt{0,36}=0,6$.\\ Cela signifie que le taux moyen d'évolution est  de $-40\%$.
%---------
 \end{bclogo}
 

\newpage
\lhead{\textsl{Feuille d'exercices TSTMG}}
\rhead{\textbf{Taux d'évolution moyen sur deux évolutions.}}
\cfoot{}
\begin{exo}
\begin{minipage}{\linewidth - 10cm}
Le prix du baril de pétrole a augmenté de 17\% de juillet 2009 à juillet 2010 et de juillet 2010 à juillet 2011 il a augmenté de 56\%. En complétant le tableau ci-contre, déterminer le taux d'évolution moyen par an du prix du baril de pétrole sur ces deux dernières années.
\end{minipage}\hfill%
\begin{minipage}{9cm}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\noindent \hfill\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
 &évol. \ding{172}&évol. \ding{173}& évol. globale&évol. moyenne\\\hline
$CM$ &&&&\\\hline
\% &&&&\\\hline
\end{tabular} 
\end{minipage}
\end{exo}
%%%%%%%%%%%
\begin{exo}
\begin{minipage}{\linewidth - 10cm}
Un prix pendant les soldes baisse de 40\% puis après les soldes le commerçant augmente ce prix de 60\%. En complétant le tableau ci-contre, déterminer le taux d'évolution moyen du prix de cet article.
\end{minipage}
\hfill%
\begin{minipage}{9cm}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\noindent \begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
 &évol. \ding{172}&évol. \ding{173}& évol. globale&évol. moyenne\\\hline
$CM$ &&&&\\\hline
\% &&&&\\\hline
\end{tabular} 
\end{minipage}
\end{exo}
%%%%%%%%%%%
\begin{exo}
\noindent
\begin{minipage}{\linewidth - 10cm}
\begin{enumerate}
\item Quelle a été l'évolution en pourcentage du prix du brent du 1\ier{} janvier au 1\ier{} août 2012?
\item Quelle a été l'évolution en pourcentage du prix du brent sur le 1\ier{} trimestre de 2012?
\item Quelle a été l'évolution en pourcentage du prix du brent sur le 2\ieme{} trimestre de 2012?
\item Quelle a été l'évolution moyenne par trimestre sur les deux premiers trimestres de  2012?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill%
\begin{minipage}{9cm}
\includegraphics[width=9cm]{brent-2012}
\end{minipage}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%
\begin{exo}
Le tableau ci-dessous donne le cours du baril de brent en dollars au mois de juin des années 2007 à 2012.
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\noindent \begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\hline
Année & 2007 &	2008 &	2009 	&2010 &	2011 &	2012 \\\hline
cours de juin en \$ & 71,05 &	132,32 & 68,68 &	74,76 &	114.03 	& 95,16\\\hline
\end{tabular}\\ {\footnotesize Source : Reuters / DGEC }
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quelle a été l'évolution en pourcentage du prix du brent de juin 2007 à juin 2008?
\item Quelle a été l'évolution en pourcentage du prix du brent de juin 2008 à juin 2009?
\item Quelle a été l'évolution moyenne par an en pourcentage du prix du brent de juin 2007 à juin 2009?
\item Si le taux moyen était resté identique pour les années suivantes, quels auraient été les prix pour juin 2010, 2011, 2012 et prévus pour 2013?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quelle a été l'évolution en pourcentage du prix du brent de juin 2007 à juin 2009?
\item Quelle a été l'évolution en pourcentage du prix du brent de juin 2009 à juin 2011?
\item Quelle a été l'évolution moyenne tous les deux ans en pourcentage du prix du brent de juin 2007 à juin 2011?
\item Si l'évolution continue ainsi, quel prix peut on prévoir pour juin 2013?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}
%%%%%%%%%%%
\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Le prix d'une imprimante achetée 850~\euro{} se déprécie de 20\,\% par an.
 Quelle est sson prix après trois ans?


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline 
\textbf{a.~~} 340~\euro&\textbf{b.~~} 435,20~\euro	&\textbf{c.~~} 544~\euro & 	\textbf{d.~~} 498,85~\euro\\ \hline
\end{tabularx}

 
\item Les dépenses du service Communication d'une entreprise sont passées de \np{2000}~\euro{} en 2005 à \np{6800}~\euro{} en~2008. 
	\begin{enumerate}
		\item[\textbf{2. 1.}] Le pourcentage d'augmentation est :
		

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline		 
\textbf{a.~~} 3,4\,\% &
\textbf{b.~~} 340\,\%& 
\textbf{c.~~} 240\,\%&
\textbf{d.~~} 48\,\%\\ \hline
\end{tabularx}


 
\item[\textbf{2. 2.}]  La meilleure approximation du taux d'évolution annuel moyen est
		


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline		 
\textbf{a.~~} 60\,\%& 
\textbf{b.~~} 80\,\% &
\textbf{c.~~} 62,45\,\% &
\textbf{d.~~} 50,37\,\%\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}
%%---------------------
\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item La valeur d'une imprimante achetée 850~\euro{} se déprécie de 20\,\% par an.
 
Quelle est sa valeur après trois ans ?


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline 
\textbf{a.~~} 340~\euro&\textbf{b.~~} 435,20~\euro	&\textbf{c.~~} 544~\euro & 	\textbf{d.~~} 498,85~\euro\\ \hline
\end{tabularx}

 
\item Les dépenses du service Communication d'une entreprise sont passées de \np{2000}~\euro{} en 2005 à \np{6800}~\euro{} en 2008. 
	\begin{enumerate}
		\item[\textbf{2. 1.}] Le pourcentage d'augmentation est :
		

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline		 
\textbf{a.~~} 3,4\,\% &
\textbf{b.~~} 340\,\%& 
\textbf{c.~~} 240\,\%&
\textbf{d.~~} 48\,\%\\ \hline
\end{tabularx}


 
\item[\textbf{2. 2.}]  La meilleure approximation du taux d'évolution annuel moyen est
		


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X}|}\hline		 
\textbf{a.~~} 60\,\%& 
\textbf{b.~~} 80\,\% &
\textbf{c.~~} 62,45\,\% &
\textbf{d.~~} 50,37\,\%\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}



