\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[]{pan_pan}
\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=18cm,textheight=24.5cm,marginparwidth=0pt,headheight=3cm]{geometry}
\newcommand{\inputexo}[2]{%1:Chapitre 2: n° de l'exo
\input{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/\CLASSE/Chapitres/#1/Exos/exo-7_#2/texte.tex}}
\newcommand{\inputBANK}[2]{%1:Chapitre 2: n° de l'exo
\input{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Seconde/Bankexos/#1/exo-#2/texte.tex}}
\newcommand{\Mfig}[2]{\includegraphics[width=#2]{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/#1}}% 1: Nom fichier, 2:largeur image
%---------
\newcounter{CL}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%---------CHANGER ICI (ONLY) LA CLASSE
\setcounter{CL}{1}  %% 2: Seconde et Sinon Terminale
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%---------
\ifthenelse{\theCL=2}{\def\CLASSE{Seconde} \def\ClasseABR{\seconde}}%
{\def\CLASSE{TS} \def\ClasseABR{\term}}

\renewcommand{\exercice}{} 
%\renewenvironment{exercice}{\exocursif} 


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\CHAP}{Nombres}      % Changer ici le chapitre
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\fcours{Titre}
%\fexos{Titre}{\ClasseABR}
%\activite{Titre}{\ClasseABR}
%\ds{\ClasseABR}
%\dl{2}{Titre}{\ClasseABR}

\pagestyle{fancy}  
\rhead{\Large{\textbf{Dérivation: Rappels et notation différentielle} }}
\lhead{\textsl{\ClasseABR S}}
 \lfoot{\Pdpmail}
\cfoot{}  % si commenté donne page n° x/ nb_de_pages
%%#######################################################

%\section{Définition}
\begin{Def}
 
Soit $a\in I$ où $I$ est un intervalle \emph{ouvert}. Soit $f$
  une fonction définie sur $I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$
  si le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$:
\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
admet une limite finie quand $h$ tend  vers~0.
Si cette limite finie existe, on l'appelle le nombre dérivé de $f$ en
$a$, noté~$f'(a)$.
   \end{Def}
\begin{rem}
En posant $x=a+h$, cette définition équivaut à: $ \boxed{\lim\limits_{ x \to a } \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)}$
\end{rem}

\centrage{Interprétation graphique}
\begin{multicols}{2}
  
  Avec les notations du graphique, on a: 
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
Quand  $h$ tend vers zéro  le point $M_h$ se rapproche du point
$A$. Dire que $f$ est dérivable en $a$ signifie que la sécante
$(AM_h)$ admet une position limite. On appelle alors tangente  à la courbe de~$f$ au point d'abscisse~$a$,
la droite~$T_a$ passant par~$A$ et de coefficient directeur~$f'(a)$.
Ainsi l'équation réduite de $T_a$ est: 
\[ \boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}\]

  \includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.18}
\end{multicols}
  Autour du point $A$, la courbe de $f$ et sa tangente $T_a$ sont \og
  très proches \fg{}. D'où la propriété:%Cette constatation donne lieu à:
\begin{prop}[Approximation affine] Si $f$ est dérivable
en $a$, et que $h$ est proche de zéro: \\
$\boxed{f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)}$. Ou encore, si $x$ est proche de $a$, on a: $\boxed{f(x)\approx f(a)+(x-a)f'(a)}$
\end{prop}
\begin{proof}
  La définition 1 signifie que $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)+\varepsilon(h)$
où $\varepsilon$ est une fonction qui tend vers 0 en~0. D'où le
résultat, qui consiste à négliger le terme $h\varepsilon(h)$. L'autre
expression vient en posant $x=a+h$.
\end{proof}
%\exemples Pour $x$ proche de 0: %$\e^x\approx x+1$ 
%$\sin x \approx x$, $(1+x)^n\approx 1+nx$\\

\centrage{Notation différentielle et sciences physiques}
\begin{multicols}{2}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, c'est à dire
dérivable en tout réel $a$ à l'intérieur de $I$. Alors en
mathématiques, on note $f'$ la fonction dérivée de $f$, mais pas en
physique\dots{} Comme:
\[ f'(a)=\lim\limits_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Lorsque le $\Delta x$ est infiniment petit, on le note ${\rm d}x$.  De
même le $\Delta y$ devient ${\rm d}y$. En physique, au lieu de noter
$f'$ on notera alors $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}$ ou $\frac{{\rm
    d}f}{{\rm d}x}$. De plus, en physique, la variable est souvent le
temps, donc noté $t$ au lieu de $x$. On a donc: $f:\ t \longmapsto
f(t)$. Si on dérive à nouveau $f'$ on obtient la dérivée
\emph{seconde} de $f$ notée $f''$. Si on redérive cette dernière on
obtient $f'''$ que l'on note aussi $f^{(3)}$, ainsi de suite,
$f^{(4)}$ désigne la dérivée quatrième de~$f$. Avec la notation
différentielle utilisée en physique, celà donne:
\[ f'=\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\qquad f''=(f')'=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\right)=\frac{{\rm d}^2f}{{\rm d}t^2}\]
Remarquez comme l'opération \og dériver par rapport à $t$\fg{} se
comporte avec cette notation comme si on multipliait par l'opérateur:
$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}$.
\par Pour embrouiller un peut plus, la fonction
en physique est souvent notée $x$. $x(t)$ représente typiquement
l'abscisse d'un point mobile en fonction du temps~$t$. La vitesse
moyenne du point entre les temps $t_1$ et $t_2$ est alors:
\[\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}\]
 La vitesse
instantanée est alors la limite de $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ quand
$\Delta t$ tend vers zéro, c'est donc: $x'(t)$, euh\ldots pardon
$\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$. Mais les physiciens aussi feignants que les mathématiciens
on trouvé une notation plus courte~$\dot{x}$ qui désigne donc la
vitesse $v$. De même vous savez (ou apprendrez) que l'accélération est la dérivée
de la vitesse. On a alors:
\[\dot{x}=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=x'\quad\text{et}\quad
\ddot{x}=\frac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2}\]
Comment note--t--on alors la vitesse instantanée au temps~$t_1$? En
maths ce serait $x'(t_1)$, en physique il y a trois notations
possibles:

\[\dot{x}(t_1)=\left(\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\right)(t_1)=\left(\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\right)_{t=t_1}\]
\end{multicols}

\end{document}
%%#######################################################
\exo{--- } 
\inputexo{\CHAP}{1}
\exods{--- Titre }{5} % donne le bareme (5pts)
\exo{--- }
\inputBANK{\BANK}{606}
\Mfig{NewCourbe.5}{6cm}

\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.10}

\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Fig_num/FIGURE_(99)}}


%% Chapitres de TS
Complexes
Equa_diff
Etude_de_fonction
Exponentielle
Geometrie_3D
Integration
Limites_continuite
Logarithme
Proba_Denombrement
Suites

%% Chapitres de Seconde
Nombres
Vecteurs
Fonctions
Droites.Systemes
Geometrie_2D
Geometrie_3D
Triangles
Stat