\chapter{Lois de probabilités }%et dénombrement}

%\section{Probabilités conditionnelles}
\section{Combinatoire}
{\Large \`A faire plus court}
\subsection{Dénombrer des listes}
Dans ce paragraphe, $E$ désigne un ensemble à $n$ éléments ($n\in
\N^*$). On imagine l'existence d'une urne $U$ contenant $n$ jetons sur
lequels sont inscrits les $n$ éléments de $E$. 
\begin{Def} On appelle \emph{liste} de $p$ éléments de $E$ une énumération
  {\bf ordonnée} de ces $p$ éléments. On la note comme des coordonnées
  de points.
\end{Def}
\exemple Si $a$, $b$, $c$ sont trois éléments de $E$, $(a\,;b\,;c)$ et
$(a\,;c\,;b)$ sont deux listes distinctes avec les trois éléments $a$,
$b$ et $c$.
Dans ce paragraphe on s'intéresse donc à dénombrer dans des situations
où l'{\bf ordre} des éléments compte.
\subsubsection{Permutations d'un ensemble}
% On veut répondre aux questions du type:
% \begin{list}{$\bullet$}{}
% \item Combien peut-on écrire de mots distincts avec les lettres A, B, C?
% \item Combien y a-t-il de quintés avec les chevaux 1, 2, 3, 4, 5?
% \item Combien y a-t-il de listes des $n$ éléments de $E$?
% \end{list}
Le modèle est celui du tirage aléatoire dans l'urne $U$ des $n$
jetons, sans remise, et en notant l'ordre de sortie.
\begin{Def} On
  appelle \emph{permutation} de $E$ une liste de ses $n$ éléments.
\end{Def}
\exemple Si $E=\left\{A,\,B,\, C\right\}$ il y a six permutations de
$E$ et donc six mots distincts avec les trois lettres $A$, $B$ et $C$. On les
trouve avec un arbre en distinguant les choix pour le 1\ier{}, le 2\ieme{} et
le 3\ieme{} élément: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
\begin{Def} Soit $n\in\N^*$. On note $n!$ l'entier appellé
  \emph{factorielle $n$} défini par: $n!=1\times 2\times\cdots\times
  n$.
Par convention on pose $0!=1$
\end{Def}
\begin{prop}
Il y a $n!$ \emph{permutations} des $n$ éléments de $E$.
\end{prop}
\begin{proof} On le prouve avec un arbre ou en imaginant remplir des
  cases: Il il a $n$ choix pour le 1\ier{} élément, et pour chacun de
  ces choix il y a $n-1$ choix pour le 2\ieme{} élément \ldots \emph{etc}
  puis plus qu'un choix pour le dernier élément. On trouve donc:
  $n\times(n-1)\times\cdots\times 1=n!$
\end{proof}
\exemple Cinq chevaux font la course. Combien y a-t-il d'arrivées
possibles (on suppose qu'il ne peut pas y avoir
d'\emph{ex-\ae{}quo}). Une arrivée est une permutation de l'ensemble
des cinq chevaux. Il y a donc $5!=120$ quintés possibles avec 5 chevaux donnés.

 
\subsubsection{Liste sans répétition de $p$ éléments parmi $n$}
Le modèle est celui du tirage aléatoire dans l'urne $U$ de $p$
jetons, {\bf sans remise}, et en notant l'ordre de sortie. Où $p$ est entier,
$1\leq p\leq n$.
\begin{Def} Une \emph{liste sans répétition} de $p$ éléments de $E$ est une
  liste où les $p$ éléments sont deux à deux distincts.
\end{Def}
\begin{prop}
Il y a $\dfrac{n!}{(n-p)!}=n\times(n-1)\times\cdots\times (n-(p-1))$  listes sans répétition de $p$ éléments de $E$.
\end{prop}
\begin{proof} On le prouve avec un arbre ou en imaginant remplir des
  cases: Il il a $n$ choix pour le 1\ier{} élément, et pour chacun de
  ces choix il y a $n-1$ choix pour le 2\ieme{} élément \ldots \emph{etc}
  puis $(n-(p-1))$ choix pour le $p$\ieme{} et dernier élément.
\end{proof}
\exemple Combien y a-t-il de tiercés possibles avec $10$ chevaux au
départ? Ici $E$ est l'esemble des 10 chevaux. Un tiercé est une liste
sans répétition de trois de ces chevaux. Il y a donc: $\dfrac{10!}{7!}=10\times 9\times 8=720$ tiercés
possibles avec $10$ chevaux au départ.
\subsubsection{Liste avec répétition de $p$ éléments parmi $n$}
Le modèle est celui du tirage aléatoire dans l'urne $U$ de $p$
jetons, {\bf avec remise}, et en notant l'ordre de sortie. Ici
$p\in\N$. On peut donc avoir $p\geq n$.
\begin{Def} Une \emph{liste avec répétition} de $p$ éléments de $E$ est une
  liste où les $p$ éléments ne sont pas nécessairement deux à deux distincts.
\end{Def}
\og{} Avec répétition \fg{} est donc à comprendre au sens où \og il peut y
avoir répétiton\fg{}. Remarquez que si $p>n$ il y a nécéssairement
répétition. (C'est le principe des tiroirs: Si il y a plus de
chaussettes que de tiroirs, il y a au moins un tiroir qui comporte au
moins deux chaussettes.)
\begin{prop}
Il y a $n^p$ listes avec répétition de $p$ éléments de $E$.
\end{prop}
\exemple Combien y a-t-il de points de l'espace dont les coordonnées sont $-1$
ou $1$? Ici $p=3$ et $n=2$ car $E=\{-1;\,1\}$. Il y a deux choix pour
l'abscisse, deux pour l'ordonnée et deux aussi pour la cote. Soit
$2^3=8$ points en tout. Ce sont les coordonnées des sommets d'un cube. 

\subsection{Combinaisons}
Maintenant on ne dénombrera plus des listes mais des sous ensembles de
$E$, l'ordre des éléments ne comptera pas. $E$ désigne encore un ensemble à $n$ éléments ($n\in
\N^*$) et $p$ désigne un entier compris entre $0$ et $n$.\\
\noindent Le modèle est celui du tirage aléatoire dans l'urne $U$ de $p$
jetons, {\bf sans remise}, et sans tenir compte de l'ordre de sortie.
\subsubsection{Choisir $p$ éléments parmi $n$}
\begin{Def} Une \emph{combinaison} de $p$ éléments de $E$ est un sous
  ensemble (ou partie) de $E$ qui comporte $p$ éléments.
\end{Def}
\begin{Def} Le nombre de combinaisons de $p$ éléments d'un  ensemble à
  $n$ éléments est noté:$\binom{n}{p}$ et se lit \og{}$p$ parmi $n$\fg{}. (En France
  on le  notait autrefois $\mathrm{C}_n^p$)
\end{Def}

\exemple Si $E=\left\{a\,;\,b\,;\,c\right\}$, alors:
  \begin{list}{$\bullet$}{}
  \item $\binom{3}{3}=1$. Il y a une combinaison de  trois éléments de $E$, c'est $E$ lui même.
  \item $\binom{3}{2}=3$. Il y a trois combinaisons de deux éléments de $E$:
    $\left\{a\,;\,b\right\}$; $\left\{a\,;\,c\right\}$; $\left\{b\,;\,c\right\}$
  \item $\binom{3}{1}=3$. Il y a trois combinaisons d'un élément de $E$:
    $\left\{a\right\}$; $\left\{b\right\}$; $\left\{c\right\}$

  \item $\binom{3}{0}=1$. Il y a une combinaison de 0 élément de $E$ c'est l'ensemble vide: $\emptyset$
  \end{list}
{\bf Calculette.} Pour calculer $\binom{5}{3}$ à la calculette, utiliser la fonction notée nCr (5 nCr 3 {\sc Exe}). Menu Proba (TI:
Math/Prb, Casio: Optn/Prob). 
\subsubsection{Nombre de combinaisons}

\begin{prop}
$\displaystyle \boxed{\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}}$
\end{prop}
\begin{proof} On sait qu'il y a  $\frac{n!}{(n-p)!}$ listes sans
  répétition de $p$ éléments de $E$. Quand on a un ensemble à $p$
  éléments il y a $p!$ permutations, soit $p!$ listes sans répétition
  avec ces $p$ éléments. C'est pourquoi pour obtenir le nombre de
  parties (\ie{} de combinaisons) de $E$ à $p$ éléments on doit
  diviser $\frac{n!}{(n-p)!}$ par $p!$
\end{proof}
\exemple Combien y a-t-il de mains différentes au bridge? (On joue à
quatre au bridge avec un jeu de 52 cartes que l'on distribue
entièrement). On doit donc compter le nombre de façons de choisir 13
cartes parmi 52, soit $\binom{52}{13}=\frac{52!}{13!(39)!}=1905040678800\approx 1,9.10^{12}$
%%%
\section{Loi de probabilités discrètes}
\subsection{Définitions}
Soit $\Omega$ un univers fini à $n$ éléments ($n\in\N$). On note
$(\omega_i)_{1\leq i\leq n}$ les $n$ événements élémentaires qui
constituent $\Omega$. Donc $\Omega=\{\omega_1;\,\omega_2;\ldots ;\omega_n\,\}$
\begin{Def}
  On appelle \emph{variable aléatoire} sur $\Omega$ toute fonction $X$ qui va de
  $\Omega$ dans $\R$. Pour chaque $i=1,2,\ldots, n$ on note
  $x_i=X(\omega_i)$.
  \begin{eqnarray}
    X:&&\Omega \to \R\notag\\
       &&\omega_i \mapsto X(\omega_i)=x_i \notag
  \end{eqnarray}
\end{Def}
L'ensemble des $x_i$ est donc l'ensemble des valeurs possibles pour
$X$. 
\exemple {\sl Une urne contient 3 jetons noirs et 2 jetons blancs. On tire
sans remise deux jetons dans une urne. On note $X$ le nombre de jetons
noirs tirés.}\\
On peut choisir: $\Omega=\{ \{N;N \};\{N;B \};\{B;B \} \}$\\
 Alors:
$X\left(\{N;N \}\right)=2$ ; $X(\{N;B \})=1$ ; $X(\{B;B\})=0$. \\
On peut aussi choisir: $\Omega'=\{ (N;N);(N;B);(B;N);(B;B) \}$. On
aurait alors: \\
 $X((N;B))=X((B;N))=1$\ldots

\begin{Def} On appelle \emph{loi de probabilité} d'une variable aléatoire $X$
  la donnée pour chaque valeur $x_i$ possible pour $X$ de
  $p_i=P(X=x_i)$. On la présente en général sous forme de tableau.
 
\end{Def}
 Ce tableau est à rapprocher de ceux qu'on peut dresser en
 statistiques lorsqu'on a une série de valeurs et leur fréquence
 d'aparition.
 \begin{prop}
   La somme des $p_i=P(X=x_i)$ vaut 1.
 \end{prop}
Cela vient de ce que les \og$X=x_i$\fg{} forment une partition de $\Omega$.
\exemple On reprend l'exemple précédent. On dresse un arbre 
\verb#(Revoir le code pstricks)#

% \psset{radius=6pt,dotsize=4pt,treefit=loose}
% \begin{center}
% \pstree[treemode=R]
%     {\Tcircle{0}}
%     {\pstree{\Tcircle{N}^{$\frac{3}{5}$}}%_{$\frac{1}{2}$}}
%             {\pstree{\Tcircle[name=XU2,linestyle=dashed]{N}}%^{U}}
%                     {\Tdot~{(N,N)}^{L}
%                      \Tdot~{(4,1)}_{R}}
% \pstree{\Tcircle[name=XD2,linestyle=dashed]{B}}
%                     {\Tdot~{(3,0)}^{L}
%                      \Tdot~{(1,1)}_{R}}}
%     \pstree{\Tcircle{B}_{$\frac{1}{2}$}}%_{Y}}
%            {\pstree{\Tcircle[name=YU2,linestyle=dashed]{N}}
%                     {\Tdot~{(1,2)}^{L}
%                     \Tdot~{(2,0)}_{R}}
%             \pstree{\Tcircle[name=YD2,linestyle=dashed]{B}}
%                     {\Tdot~{(3,3)}^{L}
%                     \Tdot~{(0,1)}_{R}}}}
% \end{center}
\vspace{4cm}
On trouve
$P({N;N})=0,3$; $P({N;B})=0,6$; $P({B;B})=0,1$. D'où la loi de $X$.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
  x_i&0&1&2 \\ \hline
P(X=x_i)&0,1&0,6&0,3 \\
\hline
\end{array}
\]
\begin{Def} On appelle \emph{fonction de répartition} d'une variable aléatoire $X$
  la fonction $F$ définie sur $R$ par:  $F(x)=P(X\leq x)$. 
\end{Def}
Cette fonction est croissante sur $\R$, varie de 0 à 1 mais n'est
\emph{a priori} pas continue. En effet dans notre cas présent, $X$ ne prend qu'un nombre
fini de valeurs. En chacune de ces valeurs $x_i$, $F$ présente une
discontinuité et même plus précisément un saut de hauteur $P(X=x_i)$. Entre deux
valeurs consécutives, $F$ est constante.
\exemple On reprend notre exemple. Pour $x<0$, $P(X<x)=0$ et
$P(X=0)=0,1$ donc $P(X\leq 0)=0,1$. Soit $F(0)=0,1$ etc \ldots

La connaissance de $F$ permet de rouver la loi de probabilité de
$X$. Plus tard, on définira des variables aléatoires continues, par leur fonction de répartition.
\subsection{Espérance mathématique, variance}

\begin{Def} $E(X)=\sum \ldots$
\end{Def}
Linéarité 

\begin{prop}
  $ E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
 \end{prop}
Admis
\begin{prop}
$   E(aX+b)=aE(X)+b$
 \end{prop}

\begin{Def} $V(X)=E\left(\left(X-E(X)\right)^2\right)$
\end{Def}
\begin{prop}
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
 \end{prop}
\subsection{Loi binômiale}
\subsubsection{Loi de Bernoulli}
\subsubsection{Répétition de $n$ épreuves identiques indépendantes}
\section{Lois continues}