\chapter{Limites et continuité}
\section{Rappels: Limites de référence}
\noindent Voici les courbes des fonctions carré, cube et inverse. Leurs limites sont à connaître. \\\rule{0cm}{0.3cm}\\
\psfrag{O}{$O$} \psfrag{i}{$\vi$}   \psfrag{j}{$\vj$}
\resizebox{4cm}{!}{\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.2} }%\includegraphics[totalheight=6cm]{Courbe.2} %Para
\hfill \resizebox{2.8cm}{!}{\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.6} }%\includegraphics[totalheight=6cm]{Courbe.6} %Cube
\hfill \resizebox{6cm}{!}{\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.3} }
%\includegraphics[totalheight=6cm]{Courbe.3} %Hyper


\begin{minipage}{0.22\textwidth}
\begin{align*}
 \lim_{x\to +\infty}\,x^2&=+\infty\\
\lim_{x\to -\infty}\,x^2&=+\infty
\end{align*}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.32\textwidth}
\begin{align*}
 \lim_{x\to +\infty}\,x^3&=+\infty\\
\lim_{x\to -\infty}\,x^3&=-\infty
\end{align*}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.18\textwidth}
\begin{align*}
\lim_{x\to +\infty}\,\frac{1}{x}&=0\\ 
\lim_{x\to -\infty}\,\frac{1}{x}&=0
\end{align*}
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.18\textwidth}
\begin{align*}
\lim_{x\to 0^+}\,\frac{1}{x}&=+\infty\\ 
\lim_{x\to 0^-}\,\frac{1}{x}&=-\infty
%\lim_{\stackrel{x \to 0}{x<0}}\frac{1}{x}&=-\infty
\end{align*}
\end{minipage} 
%\includegraphics[totalheight=6cm]{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.2} %Para
%\includegraphics[totalheight=6cm]{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.6} %Cube
%\includegraphics[totalheight=6cm]{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.3}
% Hyper
%\section{Fonctions continues}

%\section{Limites, par la définition}
\section{Rappels sur la dérivation, notation différentielle}
\begin{Def}
 
Soit $a\in I$ où $I$ est un intervalle \emph{ouvert}. Soit $f$
  une fonction définie sur $I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$
  si le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$:
\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
admet une limite finie quand $h$ tend  vers~0.
Si cette limite finie existe, on l'appelle le nombre dérivé de $f$ en
$a$, noté~$f'(a)$.
   \end{Def}
\begin{rem}
En posant $x=a+h$, cette définition équivaut à: $ \boxed{\lim\limits_{ x \to a } \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)}$
\end{rem}

\centrage{Interprétation graphique}
\begin{multicols}{2}
  
  Avec les notations du graphique, on a: 
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
Quand  $h$ tend vers zéro  le point $M_h$ se rapproche du point
$A$. Dire que $f$ est dérivable en $a$ signifie que la sécante
$(AM_h)$ admet une position limite. On appelle alors tangente  à la courbe de~$f$ au point d'abscisse~$a$,
la droite~$T_a$ passant par~$A$ et de coefficient directeur~$f'(a)$.
Ainsi l'équation réduite de $T_a$ est: 
\[ \boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}\]

  \includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.18}
\end{multicols}
  Autour du point $A$, la courbe de $f$ et sa tangente $T_a$ sont \og
  très proches \fg{}. D'où la propriété:%Cette constatation donne lieu à:
\begin{prop}[Approximation affine] Si $f$ est dérivable
en $a$, et que $h$ est proche de zéro: \\
$\boxed{f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)}$. Ou encore, si $x$ est proche de $a$, on a: $\boxed{f(x)\approx f(a)+(x-a)f'(a)}$
\end{prop}
\begin{proof}
  La définition 1 signifie que $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)+\varepsilon(h)$
où $\varepsilon$ est une fonction qui tend vers 0 en~0. D'où le
résultat, qui consiste à négliger le terme $h\varepsilon(h)$. L'autre
expression vient en posant $x=a+h$.
\end{proof}
%\exemples Pour $x$ proche de 0: %$\e^x\approx x+1$ 
%$\sin x \approx x$, $(1+x)^n\approx 1+nx$\\

\centrage{Notation différentielle et sciences physiques}
\begin{multicols}{2}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, c'est à dire
dérivable en tout réel $a$ à l'intérieur de $I$. Alors en
mathématiques, on note $f'$ la fonction dérivée de $f$, mais pas en
physique\dots{} Comme:
\[ f'(a)=\lim\limits_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Lorsque le $\Delta x$ est infiniment petit, on le note ${\rm d}x$.  De
même le $\Delta y$ devient ${\rm d}y$. En physique, au lieu de noter
$f'$ on notera alors $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}$ ou $\frac{{\rm
    d}f}{{\rm d}x}$. De plus, en physique, la variable est souvent le
temps, donc noté $t$ au lieu de $x$. On a donc: $f:\ t \longmapsto
f(t)$. Si on dérive à nouveau $f'$ on obtient la dérivée
\emph{seconde} de $f$ notée $f''$. Si on redérive cette dernière on
obtient $f'''$ que l'on note aussi $f^{(3)}$, ainsi de suite,
$f^{(4)}$ désigne la dérivée quatrième de~$f$. Avec la notation
différentielle utilisée en physique, celà donne:
\[ f'=\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\qquad f''=(f')'=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\right)=\frac{{\rm d}^2f}{{\rm d}t^2}\]
Remarquez comme l'opération \og dériver par rapport à $t$\fg{} se
comporte avec cette notation comme si on multipliait par l'opérateur:
$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}$.
\par Pour embrouiller un peut plus, la fonction
en physique est souvent notée $x$. $x(t)$ représente typiquement
l'abscisse d'un point mobile en fonction du temps~$t$. La vitesse
moyenne du point entre les temps $t_1$ et $t_2$ est alors:
\[\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}\]
 La vitesse
instantanée est alors la limite de $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ quand
$\Delta t$ tend vers zéro, c'est donc: $x'(t)$, euh\ldots pardon
$\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$. Mais les physiciens aussi feignants que les mathématiciens
on trouvé une notation plus courte~$\dot{x}$ qui désigne donc la
vitesse $v$. De même vous savez (ou apprendrez) que l'accélération est la dérivée
de la vitesse. On a alors:
\[\dot{x}=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=x'\quad\text{et}\quad
\ddot{x}=\frac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2}\]
Comment note--t--on alors la vitesse instantanée au temps~$t_1$? En
maths ce serait $x'(t_1)$, en physique il y a trois notations
possibles:

\[\dot{x}(t_1)=\left(\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\right)(t_1)=\left(\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\right)_{t=t_1}\]
\end{multicols}
\section{Continuité}
\subsection{Définitions, exemples et contre exemples}
La continuité est une notion de \emph{régularité} des fonctions. En
voici une définition heuristique:
\begin{Def}
On dit qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ lorsque
$f$ est définie sur $I$ et que sa courbe sur $I$ peut se tracer \og sans lever le crayon \fg{}.
\end{Def}

\begin{rem}
Cette définition est évidement uniquement intuitive, une \emph{vraie}
définition utilise les limites en un point (cf définition suivante).
\end{rem}

\begin{Def}
On dit qu'une fonction $f$ est continue en $a$ ($a\in\R$) si les trois
conditions suivantes sont vérifiées:
\begin{dingautolist}{172}
\item $f$ est définie en $a$.
\item $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$.
\item $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
\end{dingautolist}
\end{Def}
\noindent Si l'une quelconque de ces trois conditions n'est pas vérifiée, on dit
que $f$ n'est pas continue en $a$, ou qu'elle présente une
discontinuité en~$a$. 
\begin{rem}
Parfois le comportement d'une fonction $f$ est différent à gauche et à
droite d'un réel $a$. Il pourra alors être utile pour étudier
l'existence d'une limite en $a$ d'étudier les éventuelles limites à
gauche et à droite de $a$, \emph{i.e.}:
\[ \lim\limits_{ x \to a \atop x < a } f(x) \quad\text{et}\quad
\lim\limits_{ x \to a \atop x > a } f(x)\]
Si ces limites existent, alors, dire que  $f$ est continue en $a$
revient à dire que ces deux limites sont égales à $f(a)$.
\end{rem}
\noindent Les quatre fonctions $f$ représentées ci--dessous présentent
une discontinuité en~$1$. Dire lequel des trois points de la
définition est mis en défaut et pourquoi.\\\noindent
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.20}%
\hspace{\stretch{1}}%
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.21}%
\hspace{\stretch{1}}%
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.22}%
\hspace{\stretch{1}}%
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.23}%
\\\noindent
\fbox{\begin{minipage}{3.3cm}\[\]\[\]\[\]
  \end{minipage}}\hspace{\stretch{1}}%
\fbox{\begin{minipage}{3.3cm}\[\]\[\]\[\]
  \end{minipage}}\hspace{\stretch{1}}%
\fbox{\begin{minipage}{3.3cm}\[\]\[\]\[\]
  \end{minipage}}\hspace{\stretch{1}}%
\fbox{\begin{minipage}{3.3cm}\[\]\[\]\[\] \end{minipage}}%

\begin{Def}
On dit qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ lorsque
$f$ est continue en tout réel $a$ de~$I$.
\end{Def}
{\bf Convention} Dans un tableau de variation, lorsqu'on note une
flèche pour une fonction croissante (ou décroissante) sur un
intervalle, cette flèche signifie aussi la continuité de la fonction
sur l'intervalle. On mettrait une double barre en un point de discontinuité.
\begin{prop}
  Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
\end{prop}
\Danger La réciproque est fausse. Contre--exemple: La fonction valeur
absolue. Elle est continue sur~$\mathbb{R}$ mais non dérivable en~0.
La dérivabilité est donc une notion de régularité plus forte que
la continuité.
\begin{proof}(Du contre--exemple)
  $|x|= 
\begin{cases} x & \text{if $x\geq 0$,}
\\
-x &\text{if $x\leq 0$.}
\end{cases}\implies%
\frac{|x|}{x}= 
\begin{cases} 1 & \text{if $x> 0$,}
\\
-1 &\text{if $x< 0$.}
\end{cases}$\\
Le taux de variation de la valeur absolue en 0 a une limite à gauche
qui vaut -1, et une limite à droite qui vaut 1. Donc la limite en 0
n'existe pas.

\end{proof}
\begin{proof}
  On écrit l'approximation affine avec une fonction $\epsilon$ telle
  que: $\lim\limits_{ x \to a } \epsilon(x) =0$:
\[f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\epsilon(x)\]
\end{proof}
\begin{prop} (Admise)
Les fonctions usuelles: polynômes, racine carrée, valeur absolue,
fractions rationnelles, $\sin$, $\cos$,(bientôt  $\exp$ et $\ln$) et leurs composées sont continues sur les intervalles où elles sont définies.
\end{prop}
Cette propriété permet de justifier la continuité d'une fonction en un
point ou sur un intervalle.
\exemple Soit $f$ définie par: $f(x)=\sqrt{x^2-1}$. $f$ est définie
dès que $x^2-1$ est positif donc sur les intervalles
$\intof{-\infty}{-1}$ et $\intfo{1}{+\infty}$. Sur chacun de ces
intervalles, $f$ est la composée de la fonction racine (continue sur
$\R^+$) et d'un polynôme (donc continu sur $\R$). Ainsi $f$ est
continue sur les intervalles $\intof{-\infty}{-1}$ et
$\intfo{1}{+\infty}$. La phrase \og{\sl $f$ est continue sur les intervalles $\intof{-\infty}{-1}$ et
$\intfo{1}{+\infty}$ comme composée  de fonctions continues}\fg{} est plus
vague mais suffira.\\

Cependant il existe des fonctions qui ne sont pas continues:

\subsection{La fonction partie entière}
\begin{Def}
On appelle partie entière d'un réel $x$, notée $E(x)$, le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. \ie{} $E(x)$ est l'entier $n$ tel que: $n\leq x < n+1$
 \end{Def}
\exemples $E(2,36)=2$;  $E(2)=2$; $E(\pi)=3$; $E(-2,36)=-3$
\begin{prop}
Pour tout entier $n$, sur l'intervalle $\intfo{n}{n+1}$, la fonction partie entière est constante égale à~$n$. Elle n'est pas continue sur $\R$, elle admet une discontinuité pour chaque entier.%\ie{} $\forall x \in \intfo{n}{n+1},\ E(x)=n$
\end{prop}
\begin{proof} Soit $n\in\Z$. Par définition de $E$, pour
  $x\in\intfo{n}{n+1}$ on a $E(x)=n$. Prouvons la discontinuité de $E$
  en~$n+1$. Par passage à la limite (en restant dans l'intervalle
  $\intfo{n}{n+1}$): 
\[ %\displaystyle 
\lim_{x\rightarrow n+1\atop x<n+1}  E(x)=n\neq E(n+1)=n+1 \]

\end{proof}
On en déduit la courbe de la fonction partie entière, on dit que c'est une fonction en escalier.
\begin{center}
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.9} %\hfill  \includegraphics{courbe.8}
\end{center}
\subsection{Prolongement par continuité}
\exemple La fonction $f$ définie sur $\R\setminus \{3\}$ par:
\[f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}\] n'est pas continue sur $\R$ car non définie
en $3$, mais:
\[ x\neq 3\implies f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\]
Ainsi la courbe de $f$ est la droite d'équation: $y=x+3$ à laquelle il
manque le point d'abscisse~3. On pose alors la fonction $\widetilde{f}$ définie sur
$\R$:
\[ \widetilde{f}(x)=x+3.\quad \text{donc}\quad \widetilde{f}(x)=
\begin{cases} f(x) & \text{si $x\neq 3$,}
\\
6 &\text{si $x=3$.}
\end{cases}
\]
La fonction $\widetilde{f}$ est alors continue sur $\R$, on dit que
c'est un prolongement de $f$ par continuité en~3.
\exemple La fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{\e^x-1}{x}$ n'est pas définie en zéro, mais on a vu que sa limite en zéro
existe et vaut 1. On peut \og prolonger la fonction $f$ par
continuité\fg{} en~0, en posant la fonction $\tilde f$ définie sur
$\R$ par:
$\tilde f(x)=f(x)$ si $x\in\R^*$ et $\tilde f(0)=1$
\section{Théorème des valeurs intermédiaires}

\begin{theo}{\bf Théorème des valeurs intermédiaires.}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\intf{a}{b}$. Soit $\lambda$ un réel compris strictement entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors l'équation $f(x)=\lambda$ admet au moins une solution dans l'intervalle ouvert $\into{a}{b}$.
\end{theo}

\begin{rem}
Si la fonction n'est pas continue, cette propriété n'est pas nécessairement vérifiée. La fontion partie entière fournit un contre exemple: $E(0)=0$ et $E(1)=1$ mais l'équation $E(x)=0,5$ n'a pas de solution dans $\into{0}{1}$ (ni ailleurs).
\end{rem}

\begin{prop}[Cas particulier important: $\lambda=0$]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\intf{a}{b}$ avec $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle ouvert $\into{a}{b}$
\end{prop}
C'est un cas particulier, mais en fait cette propriété est équivalente
au théorème des valeurs intermédiaires, et on la démontre par
dichotomie en utilisant des suites adjacentes qui convergent vers une
racine de $f$. (cf TD)\\
Ces propriétés nous garantissent l'existence de solutions pour des
équations mais ne nous fournissent pas les solutions, ni leur unicité, juste des intervalles où elles se trouvent. On peut donc avec la calculatrice trouver des encadrements à la précision souhaitée des solutions cherchées.

\exemple
Sur le graphique ci-dessous, on a une courbe $\Cr$ représentant une fonction continue $f$ sur l'intervalle $\intf{-3}{2}$. On a $f(-3)=-1$ et $f(2)=$1,5. Comme la valeur $\lambda=1$ est comprise entre $-1$ et 1,5  le théorème des valeurs intermédiaires nous assure que l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution (ici il y en a trois) sur l'intervalle $\into{-3}{2}$. Autrement dit, la courbe $\Cr$ coupe la droite d'équation $y=1$ sur cet intervalle.

\begin{center}
\psfrag{C}{$\Cr$}
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.10} 
\end{center}

En pratique, la simple lecture d'un tableau de variation permet de
répondre aux questions du type: ``Combien l'équation $f(x)=\lambda$
admet elle de solutions? Donner des encadrements de ces solutions.''
Rappel: on admet qu'une flèche dans un tableau de variation traduit
aussi la continuité de la fonction sur l'intervalle en question. La
version suivante du théorème des valeurs intermédiares permet de
garantir l'unicité de la solution:

\begin{theo}[Utile en pratique\footnote{On dit dans ce cas que $f$ réalise une \emph{bijection}
croissante de $\intf{a}{b}$ dans $\intf{f(a)}{f(b)}$. C'est pourquoi
cette propriété est parfois appellée \og théorème de la bijection\fg{}.}]
Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur un
intervalle $\intf{a}{b}$. Soit $\lambda$ un réel tel que: $f(a)<
\lambda < f(b)$.  Alors l'équation $f(x)=\lambda$ admet une {\bf unique} solution dans l'intervalle ouvert $\into{a}{b}$.
\end{theo}
\begin{proof}   Laissé en exercice.
\end{proof}
\begin{rem}
Il existe évidemment un énoncé similaire pour une fonction strictement décroissante...
\end{rem}
\exemple Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^5+x+7$. Justifier que $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intf{-2}{1}$. Réponse d'un bon élève: \\
$f$ est continue sur $\R$ (c'est un polynôme). Or $f'(x)=5x^4+1$ et $x^4$ est positif donc la dérivée de $f$ est strictement positive, donc $f$ est strictement croissante sur $\intf{-2}{1}$. De plus $f(-2)=-33<0 $ et $f(1)=9>0$. Donc $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intf{-2}{1}$.
D'après le tableau de variation de $f$ et ses limites en $-\infty$ et $+\infty$ on en déduit aussi que $f(x)=0$ admet en fait une unique solution dans $\R$.
\\ Il est par contre imposible de résoudre par le calcul cette
équation, mais pouvez vous à l'aide de la calculette déterminer un
encadrement d'amplitude $10^{-2}$ du réel $\alpha$ vérifiant
$f(\alpha)=0$. Trois méthodes:\\

{\bf Méthodes de résolution approchée de $f(x)=\lambda$}
{\small
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item Graphiquement, en zoomant de plus en plus sur le point
  d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses (pour $\lambda=0$) ou avec la droite d'équation $y=\lambda$.
\item Mieux encore, certaines calculettes disposent d'un outil de
  résolution graphique (G-solv) il faut choisir {\sl isect} pour
  l'intersection de deux courbes que l'on doit sélectionner (la courbe
  de $f$ et la droite d'équation $y=\lambda$ si on veut résoudre
  $f(x)=\lambda$) ou {\sl Root} si on cherche une racine.
\item En utilisant le tableau de valeurs que l'on doit paramétrer
  correctement. $pitch$ (Casio) ou $\Delta Tbl$ (TI) donne le pas de
  la variation de $X$,  donc la précision voulue. Mais il faut d'abord
  connaitre un vague encadrement de la solution (par une méthode
  graphique par exemple)
\item \`A l'aide d'un programme adapté, comme celui que nous allons
  établir qui fonctionne par dichotomie. On peut utiliser la méthode
  de Newton-Raphson ou méthode de la tangente\footnote{$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Cette suite converge vers une
  racine si elle existe, prendre $x_0$ assez près de la racine.} (plus rapide)
  
\end{list}
}

%%%

\section{Preuve du T.V.I. par dichotomie}
cf chapitre Suites adjacentes.~\ref{sect:preuve.TVI}


\section{Applications}
\subsection{Racine d'un polynôme de degré impair}
\subsection{Fonctions réciproques} 
%%%%%%%%%%%%% Mis avec les suites
\begin{comment}
\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\subsection{\'Etude des suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$}
On se donne une fonction $f$ définie, continue sur un intervalle $I$ de
$\R$. Soit $u_0\in I$.
\subsubsection{Intervalle stable}
\Def{On dit que $I$ est stable par $f$ si $f(I)\subset I$}
\exemples{
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=x(1-x)$ sur $I=\intf{0}{1}$. $I$ est stable par f, mais
pas par $g=5f$. Il suffit d'étudier $f$.
\item $f(x)=\frac{1}{x-1}$ et $u_0=\frac32$ Vérifier que la relation
  $u_{n+1}=f(u_n)$ ne définit pas une suite. 
  \end{enumerate}
}
La condition $I$ stable par $f$ permet de garantir que la suite est
définie et que tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $I$.
(récurrence immédiate)

\subsubsection{Sens de variation}
\begin{prop}
  \begin{enumerate} 
  \item $ \forall x \in I,\ f(x)-x\geq 0 \implies$ $(u_n)$ croissante
  \item $\iff \forall x \in I,\ f(x)-x\leq 0 \implies$ $(u_n)$ décroissante 
  \end{enumerate}
\end{prop}

\proof{Facile}
\begin{prop}
\begin{enumerate} 
  \item $f$ croissante $\implies$ $(u_n)$ monotone. Le sens de var est
    donné par le signe de $u_1-u_0$
  \item $f$ décroissante $\implies$ $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont
    monotones de monotonies contraires
\end{enumerate}
\end{prop}
\proof{ Supposons $u_1>u_0$.
\begin{enumerate} 
  \item Par récurrence. $\Para (n)$: \og $u_{n+1}-u_n\geq 0$\fg{}
  \item On pose $p_n=u_{2n}$ et $i_n=u_{2n+1}$. Alors:
\[p_{n+1}=fof(p_n) \quad \et{}\quad i_{n+1}=fof(i_n)\]
Or $f$ dec. implique $fof$ croissante donc par le 1. $p$ et $i$ sont
monotones.
Supposons $p$ croissante, alors $u_2\geq u_0$ donc, en appliquant $f$
qui est dec. on a $u_3\leq u_1$ donc $i_1 \leq i_0$ donc $i$ est dec.
\end{enumerate}
}

\subsubsection{Convergence}
\Def{On appelle point fixe d'une fonction $f$ un réel tel que $f(x)=x$}
\begin{theo}Si $f$ est continue sur $I$ et que $(u_n)$ converge, alors la
  limite est nécessairement un point fixe de $f$
\end{theo}
Attention: L'existence d'un point fixe ne garantit pas la convergence
de $(u_n)$. Mais l'absence de point fixe suffit à justifier que $(u_n)$
ne converge pas.
En pratique: On justifie que $(u_n)$ CV (croissante majorée par
exemple) puis on détermine la limite en cherchant les points fixes de
$f$. Si le point fixe est unique, c'est facile, sinon il faut
raisonner avec le sens de variation de $(u_n)$.

\exemple $u_{n+1}=\frac{u_n}{2-u_n}$ et $u_0 \in \intf{0}{1}$

\end{comment}
\section{Dérivabilité}
\subsection{Définition}
\begin{Def}
Soit $a\in I$ où $I$ est un intervalle \emph{ouvert}. Soit $f$
  une fonction définie sur $I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$
  si:
\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad \text{admet une limite finie quand $h$ tend
  vers 0}\]
Si cette limite finie existe, on l'appelle le nombre dérivé de $f$ en
$a$, noté~$f'(a)$
\end{Def}
{\sl Remarque:} Cette def signifie que
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)+\varepsilon(h)$ où $\varepsilon(h)$ tend vers 0 en~0
\begin{prop}{\bf Approximation affine} On en déduit que si $f$ est dérivable
en $a$, et que $h$ est proche de zéro: $f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)$
\end{prop}
\exemples Pour $x$ proche de 0: $\e^x\approx x+1$ 
$\sin x \approx x$, $(1+x)^n\approx 1+nx$\\

Cette propriété doit son nom au fait que faire cette approximation
revient à confondre au point d'abscisse $(a+h)$ la courbe avec sa
tangente en $a$: 
\begin{proof} Eq de la tangente. Ordonnée pour $x=a+h$.
\end{proof}
\begin{Def} Soit $I$  un intervalle \emph{ouvert}. Soit $f$
  une fonction définie sur $I$. On dit que $f$ est dérivable sur $I$
  si elle est dérivable en tout en $a$ de $I$.
\end{Def}
Pour prouver qu'une fonction est dérivable en un point, il faut donc
calculer une limite. En particulier lorsque ce point est aux bornes
d'un intervalle fermé.
Pour prouver que $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert, en
général on utilise que:

\begin{prop} La composée de fonctions dérivables est dérivable sur tout
  intervalle ouvert où la fonction est définie.
\end{prop}
\begin{proof} Admis \end{proof}
\subsection{Propriétés}
\begin{prop} Une fonction dérivable en $a$ est continue en $a$
\end{prop}
\begin{proof}
{\bf \`A connaître!}$f$ dérivable en $a$ signifie que:
\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)+\varepsilon(h)\]
où $\varepsilon(h)$ tend vers 0 en 0. D'où pour $h$ non nul:
\[ f(a+h)=hf'(a)+h\varepsilon(h)+f(a)\]
D'où la limite voule, et $f$ est continue en $a$.%
\end{proof}


\subsection{Exemples, contre exemples}
{\bf Attention!}
La réciproque de la propriété précédente est fausse:
Valeur absolue et racine.
On a même construit des fonctions continues sur [0;1] nulle part
dérivable.

Soit $f(x)=x\sin(\frac{1}{x})$ pour $x\in\into{0}{+\infty}$ et
$f(0)=0$
Prouver que $f$ est continue sur $\R^+$. Est-elle dérivable en 0?
Même question avec $g(x)=xf(x)$. 
Retour aux exos de la feuille avec $\e^{-\frac{1}{x}}$