\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[]{pan_pan}
\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=18cm,textheight=26cm,marginparwidth=0pt,headheight=1cm]{geometry}
\newcommand{\inputexo}[2]{%1:Chapitre 2: n° de l'exo
\input{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/\CLASSE/Chapitres/#1/Exos/exo-7_#2/texte.tex}}
\newcommand{\inputBANK}[2]{%1:Chapitre 2: n° de l'exo
\input{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Seconde/Bankexos/#1/exo-#2/texte.tex}}
\newcommand{\Mfig}[2]{\includegraphics[width=#2]{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/#1}}% 1: Nom fichier, 2:largeur image
%---------
\newcounter{CL}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%---------CHANGER ICI (ONLY) LA CLASSE
\setcounter{CL}{1}  %% 2: Seconde et Sinon Terminale
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%---------
\ifthenelse{\theCL=2}{\def\CLASSE{Seconde} \def\ClasseABR{\seconde}}%
{\def\CLASSE{TS} \def\ClasseABR{\term}}

\renewcommand{\exercice}{} 
%\renewenvironment{exercice}{\exocursif} 


\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\CHAP}{Limites} % Changer ici le chapitre
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\fcours{Titre}
%\fexos{Titre}{\ClasseABR}
%\activite{Titre}{\ClasseABR}
\dscursif{\ClasseABR}
%\dl{2}{Titre}{\ClasseABR}
\cfoot{}  % si commenté donne page n° x/ nb_de_pages
%\pagestyle{fancy}  \rhead{\Large{\textbf{} }} \lfoot{\Pdpmail}
%%#######################################################
\lfoot{}
\rfoot{} 
\rhead{} \lhead{}


\exods{--- \'Etude de fonctions}{8}
On considère dans cet exercice les deux fonctions $f$ et $g$ définies
sur $\left]0\,;+\infty\right[$ par:
\[f(x)=x\ln x\quad\text{et}\quad g(x)=x^x\]
\begin{enumerate}
\item En 0 la limite de $f$ est zéro par croissance comparée (résultat du
  cours). En $+\infty$, la limite de $f$ est~$+\infty$ car $x$ et $\ln x$
  tendent vers  $+\infty$ en~$+\infty$.

\item $f'(x)=1+\ln (x)$.
\item $f'(x)\geq 0 \iff \ln x\geq -1 \iff x\geq \e^{-1}$ car exp est
  croissante sur $\mathbb{R}$. Ainsi $f$ est décroissante sur
  $\left]0\,;\frac{1}{\e}\right]$ et croissante sur $\left[\frac{1}{\e}\,;+\infty\right[$
\item On a: $g(x)=x^x=\e^{x\ln x}=\exp (f(x))$. Ainsi $g=\exp(f)$ et
  donc $g'=f'\exp(f)$. Comme la fonction exp est strictement positive,
  $g'$ et $f'$ ont le même signe, et donc $f$ et $g$ ont les mêmes
  variations sur $\left]0\,;+\infty\right[$.
\item On détermine les limites de $g$ grace à celles de $f$ et au fait
  que $g=\exp (f)$. 
  \begin{center}
    \begin{variations}
      x       &   &   0   &   & \frac{1}{\e} &   &\pI    \\
      \filet
      g'(x)   &\bg&       & - & 0 & + &       \\
      \filet
      \m{g(x)}&\bg&\h{1}&\d &(\frac{1}{\e})^{\frac{1}{\e}} &\c &\h{\pI}\\
    \end{variations}
  \end{center}

  

  
%\item Prouver que pour tout réel strictement positif, $\displaystyle x^x\geq \left(\frac{1}{\e}\right)^{\frac{1}{\e}}}$
\end{enumerate}

%%%###################################

\exods{--- R.O.C. Théorème des gendarmes}{5}
Cf cours.
% %\begin{enumerate}
% %\item 
% \'Enoncer puis démontrer le théorème des gendarmes (pour une limite en
% $+\infty$) dans le cadre des fonctions. Vous pourrez vous aider de la figure ci-dessous que vous
%  compléterez au niveau de l'axe des abscisses en plaçant trois réels
%  $x_0$, $x_1$ et $x_2$ que vous aurez préalablement définis.
% \begin{center}
% \includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Limites.2}  
% \end{center}
% %\item Justifier que la fonction $g$ définie sur  $\left]0\,;+\infty\right[$ par $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ admet en  $+\infty$ une  limite que l'on déterminera.
% %\end{enumerate}

%%%###################################

\exods{--- Suite récurrente}{7}
 On considère la fonction affine $f$ définie par 
$f(x)=\dfrac12 x-1$
 et
la suite récurrente $(u_n)$ définie sur~$\mathbb{N}$ par $u_0=3$ et
pour tout $n$ de $\mathbb{N}$: $u_{n+1}=f(u_n)$.\\[2ex]
\noindent 
\begin{minipage}{1.0\linewidth - 7cm}
 
\begin{enumerate}
\item On fait la conjecture que $(u_n)$ est décroissante et converge
  vers~$-2$.
\item \og La fonction $f$ est croissante, donc la suite $(u_n)$ est \textbf{monotone}
  et comme $u_1=\mathbf{\frac12}$ est \textbf{inférieur} à $u_0$, on en déduit  que
  $(u_n)$ est \textbf{décroissante} \fg
%\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup%
%\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}\footnote[#1]{#2}\endgroup}
\item On peut prouver par récurrence (en utilisant que $f$ est
  croissante) que pour tout $n$ dans  $\mathbb{N}$ on a: $-3\leq
  u_n\leq 3$. En effet c'est vrai pour $u_0$ et comme $f$ est
  croissante, si $-3\leq  u_n\leq 3$ alors $f(-3)\leq  f(u_{n})\leq
  f(3)$ et donc $-2\leq  u_{n+1}\leq \frac12$. D'où l'hérédité de la propriété.
Si on a  cet encadrement, on peut dire que $(u_n)$ est
convergente puisqu'elle est décroissante et minorée (par -3). On note~$\ell$ sa limite. 
\item Comme $(u_n)$
    converge vers $\ell$, la limite de $u_{n+1}$ est $\ell$, et comme
    $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, $f(u_n)$ converge vers
    $f(\ell)$. Or pour tout $n$ de $\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$. Donc en
    passant à la limite dans cette égalité on obtient
    $f(\ell)=\ell$. On résout cette équation, \emph{i.e.} $\frac12
    \ell -1=\ell$ et on trouve bien $-2$ comme on l'avait conjecturé.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6.8cm}
 \hfill\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Suites-rec.17}%/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.35} 
\end{minipage}

%\inputexo{\CHAP}{15}
%\vspace{3cm}
%\begin{center}
%\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Geometrie.21}  
%\end{center}

\end{document}
%%#######################################################
\exo{--- } 
\inputexo{\CHAP}{1}
\exods{--- Titre }{5} % donne le bareme (5pts)
\exo{--- }
\inputBANK{\BANK}{606}
\Mfig{NewCourbe.5}{6cm}

\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.10}

\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Fig_num/FIGURE_(99)}}


%% Chapitres de TS
Complexes
Equa_diff
Etude_de_fonction
Exponentielle
Geometrie_3D
Integration
Limites_continuite
Logarithme
Proba_Denombrement
Suites

%% Chapitres de Seconde
Nombres
Vecteurs
Fonctions
Droites.Systemes
Geometrie_2D
Geometrie_3D
Triangles
Stat


\lhead{%\textcursive{Fiche d'exercices}}
\textsl{Fiche d'exercices }}
\rhead{\Large{\textbf{} }}
\rhead{}
\lfoot{\Pdpmail}
\rfoot{\today}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\cfoot{ page \no \thepage / \pageref{LastPage}}