\chapter{Géométrie spatiale: plans de l'espace.}
\section{\'Equation cartésienne de plan}
\newsavebox{\fmbox}
\newenvironment{fmpage}[1]
     {\begin{lrbox}{\fmbox}\begin{minipage}{#1}}
     {\end{minipage}\end{lrbox}\fbox{\usebox{\fmbox}}}

% Utilisation :
% \begin{fmpage}{3cm}
%    Texte à encadrer dans une boîte ne dépassant pas 3
%    centimètres de large.
% \end{fmpage}
%%%% fin exemple %%%%
%\newcommand{\vn}{\vec{n}\,}% mis dans pan_pan.sty
On se place dans un repère orthonormal $\oijk$ de l'espace.
%\section{}
%\label{sec:para1}
Soit  $\Para$ le plan passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur
normal~$\vn(a;\,b;\,\,c)$. 
\[ M\in\Para\iff\V{AM}\cdot\vn =0 \]
D'où une équation cartésienne de $\Para$:
$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$.
%\begin{prop}%\end{prop}
%\\
%\shadowbox{
%\hrule
%\vspace{0.1cm}
\\
\noindent
\begin{fmpage}{14.8cm}
{\it
Tout plan admettant $\vn(a;\,b\,;\,c)$ comme vecteur normal a une
équation cartésienne de la forme \[\boxed{ax+by+cz+d=0}\]
Réciproquement toute équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$
 (avec $a$, $b$, $c$ non tous nuls) est celle d'un plan de vecteur
 normal $\vn(a;\,b\,;\,c)$.
}
\end{fmpage}
\vspace{0.2cm}
%}
%\end{prop}

\noindent
{\bf En pratique: } Pour trouver une équation d'un plan $\Para$ passant par un
point $A(x_A;y_A;z_A)$, on cherche un
vecteur normal (ce qui donne $a$, $b$ et $c$), puis on trouve $d$ en
utilisant que: 
\[A\in\Para\iff ax_A+by_A+cz_A+d=0\]
\exercice
Soit $\Para$ le plan d'équation: $x+2y-3z+7=0$
\begin{enumerate}
\item Donner un vecteur normal à $\Para$ ainsi qu'un point appartenant
  à $\Para$.
\item Déterminer l'équation du plan $\mathscr{Q}$ parallèle à $\Para$,
  passant par $I(1;2;3)$.
\item Soit $\Para'$ et $\mathscr{Q}'$ d'équations respectives : $5x-y+z+4=0\quad\et{}\quad-2x-4y+6z-1=0$
Prouver que: $\Para\bot\Para'$ et $\Para\parallele\mathscr{Q}'$
\item Déterminer une équation du plan médiateur du segment $[AB]$ où:
  $A(0;-1;2)$ et $B(-2;3;4)$.
\end{enumerate}
\hrule
\vspace{0.2cm}
{\bf Distance d'un point à un plan.} La distance d'un point
$A(x_A;y_A;z_A)$ au plan $\Para$
d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ est notée $d(A;\Para)$. Elle
vaut:
\[\boxed{d(A;\Para)=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} }}\]
\begin{proof} $d(A;\Para)=AH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $A$
  sur $\Para$. Soit $B$ un point de~$\Para$. 
  %\begin{enumerate}
  %\item 
Justifier que: $\V{AB}\cdot\vn=\V{AH}\cdot\vn$ puis que:
    \[\boxed{AH=\frac{|\V{AB}\cdot\vn|}{\|\vn\|}}\]
%
%  \item 
Enfin, justifier que: $d=-(ax_B+by_B+cz_B)$ puis conclure. \end{proof}
%  \end{enumerate}\end{proof}
% $H$ est le point de $\Para$ tel que $\V{AH}$ et $\vn$  sont colinéaires. 
%
% \begin{rem}%\end{rem}
% Le dénominateur est la norme du vecteur normal $\vn(a;\,b;\,c)$ au
% plan $\Para$.
% \end{rem}
\noindent
{\bf Demi-espace.} Toute inéquation de la forme $ax+by+cz+d\geq 0$ ou
$ax+by+cz+d\leq 0$ définit un demi-espace fermé de frontière le plan
$\Para$ d'équation $ax+by+cz+d=0$.
\exercice
On considère le plan $\Para$ d'équation: $x-2y+3z-2=0$ et le point $A(1;3;1)$
\begin{enumerate}
\item Le point $A$ appartient-il à $\Para$? Calculer la distance $d(A;\Para)$.
\item Le plan $\Para$ est la frontière de deux demi-espaces. Donner
  une inéquation du demi-espace contenant le point~$A$.
\end{enumerate}
%\section{Angles et distances}
%\subsection{distance entre deux points}
%\subsection{distance d'un point à un plan}
%{\bf Distance d'un point à un plan.} 
%\begin{prop}%\end{prop}

\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf Sphère.}
%\section{\'Equation cartésienne de sphère}
 La sphère $\mathscr{S}$ de centre $\Omega(x_\Omega;\,y_\Omega;\,z_\Omega)$ et de
rayon $R$ ($R\in\R^+$) a pour équation cartésienne:\\
$\circ$\hspace{\stretch{1}}
$\boxed{(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2+(z-z_\Omega)^2=R^2}$ \hspace{\stretch{1}}$\circ$
\begin{proof}
$M\in\mathscr{S}\iff \Omega M=R\iff \Omega M^2=R^2 \iff \V{\Omega M}\cdot\V{\Omega M}=R^2$
\end{proof}
\noindent
L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\V{MA}\cdot\V{MB}=0$
est la sphère de diamètre $[AB]$.