\documentclass[a4paper]{article}
%\usepackage[]{pan}
\usepackage[T1]{fontenc} %encodage des caractï¿½es
\usepackage[latin1]{inputenc}%decodage des caractï¿½es
\usepackage[frenchb]{babel}   %gestion du francais
\usepackage{amsmath}  %gestion des symboles math\'{e}matiques
\usepackage{amsfonts,mathrsfs} %gestion des fontes math\'{e}matiques
\usepackage{amssymb,amsthm}  %gestion des symboles math\'{e}matiques
%\usepackage[official]{eurosym} %pour avoir le symbole euro: \euro
\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=15.5cm,textheight=24.5cm,marginparwidth=0pt,headheight=3cm]{geometry}
\usepackage{array}
% pour gérer la mise en page
\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
\usepackage{lastpage} % Pour trouver le nb de pages
\usepackage{multicol}
\usepackage{variations}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pifont}
\usepackage{epsfig}\usepackage{graphicx}
\usepackage{pst-node,pstcol,pst-3d,pst-eucl}
%Symboles===============================================================
\renewcommand{\leq}{\leqslant} % Pour avoir les signes < ou égal et >=
                               % à la mode % francaise 
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\labelenumi}{{\bf{\arabic{enumi}}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{{\bf{\alph{enumii}}.}}
  %%%%---------------                               
\newcommand{\oij}{(O;\vec{\imath}\,;\vec{\jmath}\,)} % Repère Oij
\newcommand{\ouv}{(O;\vec{u}\,;\vec{v}\,)} %Repère Ouv
\newcommand{\Rr}{\mathscr{R}}
%%Les ensembles de nb
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%%% Nom de classes:
\newcommand{\term}{T$^{\text{ale}}$}
\newcommand{\premiere}{1$^{\text{\`ere}}$}
\newcommand{\seconde}{2$^{\text{de}}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%Présentation d'un exo de ds (deux paramètres: titre et nb de points)
\newcounter{exercice} %Just a counter! Pour numeroter les exos sans se prendre la tete
\newcommand{\exods}[2]{% Titre-bareme
                     \addtocounter{exercice}{1} 
                     \vspace{1em} \par \noindent
                     \raisebox{-0.7ex}{\bf Exercice \no \arabic{exercice}  #1}
                     \hrulefill \raisebox{-0.7ex}{\, (\, \textit{#2 points} \, )}
                     \par \vspace{0.5em}
                    }
%Pr\'{e}sentation des devoirs==================================================
%devoir surveille -classe---------------------------------------
\newcommand{\ds}[1] {\noindent 
\pagestyle{fancy}
 \hspace{\stretch{1}}% comme un ressort avec une raideur 1 
\fbox{ 
\begin{minipage}[t]{0.7\linewidth}
\textit{ Classe de #1 } \hspace{\stretch{1}} %\hspace{1.53cm}
 \begin{center}\begin{LARGE} Devoir surveill\'{e} de math\'ematiques \end{LARGE}\end{center} 
\end{minipage} } \hspace{\stretch{1}}
\lfoot{}
\cfoot{}
\rfoot{\today}
\vspace{1em} } % em: unité correspondant à la hauteur d'une lettre
               % minuscule. Change donc si on change la taille de la police.
%%%%%%%=============================================
\pagestyle{fancy}
\begin{document}

%\ds{\term S}
%\lhead{\textbf{Nom:}}
\chead{}
\lhead{\textbf{Contr\^ole de mathématiques du 7 octobre 2010}}
\rhead{{\bf CORRIG\'E}} %page \thepage / 1 }
\lfoot{\textsl{$TS_5$, Lycée Jean Zay}} \rfoot{}\cfoot{\textbf{Nom:}}
%\rule{0pt}{1cm}\\
%\rule{0pt}{1cm}
%%--------------------------
%\exods{--- }{20}
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par  $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$.

\medskip
 
Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
 %On donne en annexe une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite~$\Delta$ d'équation $y = x$.
 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur $]- 2~;~+ \infty[$ et on a:%\'Etudier les variations de $f$ sur $]- 2~;~+ \infty[$.
\[f'(x)=\frac{4(x+2)-(4x-1) \times 1}{(x+2)^2}=\frac{9}{(x+2)^2}>0 \qquad \text{pour tout}\ x\in ]- 2~;~+ \infty[\]
Donc $f$ est strictement croissante sur $]- 2~;~+ \infty[$.
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $]- 2~;~+ \infty[$.
\begin{dingautolist}{172}
\item  En $+\infty$: $f(x)=\dfrac{4x - 1}{x + 2}=\dfrac{x(4-\frac{1}{x})}{x(1+\frac{2}{x})}=\dfrac{4-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}$. Or $\lim\limits_{ x \to +\infty} \frac{1}{x}=0$ donc:\\
$\lim\limits_{ x \to +\infty} f(x)=\frac{4-0}{1+0}=4$
\item  En $-2$: $\lim\limits_{ x \to -2 \atop x > -2} x-2=0+$ car $x>-2\implies x+2>0$ donc $\lim\limits_{ x \to -2 \atop x > -2} \frac{1}{x-2}=+\infty$. Mais comme $\lim\limits_{ x \to -2} 4x-1=-8-1=-9<0$ on a: $\lim\limits_{ x \to -2 \atop x > -2} f(x)=-\infty$. 
\end{dingautolist}
\item %Quelles asymptotes (\emph{donner leurs équations}) en déduit-on pour $\mathcal{C}$? 
$\lim\limits_{ x \to +\infty} f(x)=4$ donc la droite d'équation $y=4$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.\\
$\lim\limits_{ x \to -2 \atop x > -2} f(x)=-\infty$ donc  la droite d'équation $x=-2$ est asymptote à $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}  
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tout le monde à su faire le schéma en toile d'araignée et placer $u_0$,\dots $u_3$.
		\item Il semble que la suite $(u_n)$ soit décroissante sur $\mathbb{N}$ et qu'elle converge vers le point fixe $\ell=1$.%Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
	\item %Démontrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ on a: $u_{n+1}-1=\dfrac{3(u_n-1)}{(u_n-1)+3}$
	Soit $n\in \mathbb{N}$. $u_{n+1}-1=\dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}-\dfrac{u_{n} +2}{u_{n} +2}=\dfrac{3u_{n} - 3}{u_{n} +2}=\dfrac{3(u_n-1)}{(u_n-1)+3}$. Ceci pour tout $n\in \mathbb{N}$.
	
		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$
$\bullet~$ Soit pour $n\in \mathbb{N}$ la propriété $ {\mathscr P}(n): $ \og{}$u_{n} - 1 > 0$ \fg
\\$\bullet~$ Initialisation : on a $u_{0} - 1 = 5 - 1 = 4 > 0$ donc $ {\mathscr P}(0)$ est vraie.
\\$\bullet~$ Hypothèse de récurrence (HR). Soit $k\in\mathbb{N}$. On suppose que $ {\mathscr P}(k)$ est vraie, i.e. $u_{k} - 1 > 0$
\\$\bullet~$ Hérédité : D'après {\bf 3.a.} on a: $u_{k+1}-1=\dfrac{3(u_k-1)}{(u_k-1)+3}$. Or par HR on a $u_{k} - 1 > 0$ donc le quotient est positif et donc $u_{k+1}-1>0$. Donc $ {\mathscr P}(k+1)$ est vraie.
\\$\bullet~$ Conclusion: On a donc démontré par récurrence que pour tout $n \in \N,~u_{n} - 1 > 0.$
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 2.b.\\
$\bullet~$ Décroissance de la suite. Soit $n\in \mathbb{N}$. $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} + 2} - u_{n} = \dfrac{4u_{n} - 1 - u_{n}^2 - 2u_{n}}{u_{n} + 2} = \dfrac{-u_{n}^2 + 2u_{n} - 1}{u_{n} + 2} = - \dfrac{u_{n}^2 - 2u_{n} + 1}{u_{n} + 2} = - \dfrac{\left(u_{n} - 1 \right)^2}{u_{n} + 2}$. Les deux termes du quotients sont positifs, donc finalement pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $u_{n+1} - u_{n} < 0$ ce qui démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

Or $u_{n} - 1 > 0 \iff u_{n} > 1$. Donc d'après le {\bf 3.b.} la suite est minorée par 1. $(u_n)$ étant minorée par 1 et décroissante, elle converge vers une limite $\ell \geqslant 1$.% et par continuité de la fonction $f$, on a $\ell \dfrac{4\ell - 1}{\ell + 2}$ équation dont la seule solution est $\ell = 1$.
%La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $1$.
%\emph{N.B. La valeur de la limite n'est pas exigée.}
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
 
Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. 
On cherche à prouver que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $v_{n+1}=v_n+\frac{1}{3}$. Or par le {\bf 3.a.}, pour $n\in \mathbb{N}$, on a:\\
$v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}=\dfrac{(u_n-1)+3}{3(u_n-1)}=\dfrac{(u_n-1)}{3(u_n-1)}+\dfrac{3}{3(u_n-1)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{3(u_n-1)}=\dfrac{1}{3}+v_n$ \qed
		
\item  %Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
On a donc pour $n\in \mathbb{N}$, $v_n=v_0+n  \times \frac{1}{3}=\frac{1}{u_0-1}+\frac{n}{3}=\frac{1}{4}+\frac{n}{3}=\frac{4n+3}{12}$. Par ailleurs $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$ donc $u_n=1+\frac{1}{v_n}$. Donc $u_n=1+\frac{12}{4n+3}$
		\item  %En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
$\lim\limits_{ n \to +\infty} 4n+3=+\infty$ donc $\lim\limits_{ n \to +\infty} u_n=1+0=1$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%-------------------------------------------
\end{document}
%-------------------------------------------
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-2,-2)(7,4.25)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psplot[linewidth=0.7pt]{-2}{4.15}{x}
\psplot[linewidth=1pt,plotpoints=8000]{-0.5}{6.75}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](6.2,3){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}

\end{center}





\end{document}
% \newpage
% \lhead{\textbf{Nom:}}
%   \begin{center}
% \textbf{ANNEXE}

% \bigskip

% \textbf{\`A rendre avec la copie}
% \end{center}


% \psset{unit=0.5cm}
% \begin{pspicture}(-4,-3)(24,14)
% \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(24,14)
% \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-4,-3)(24,14)
% \psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
% \end{pspicture}


\def\Xmin{-3}
\def\Xmax{22}
\def\Ymin{0}
\def\Ymax{11}
\begin{small}
 % \begin{center}
\noindent
    \begin{pspicture}(-1.8,-0.1)(13.3,6.6)
      \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
      \psgrid[gridlabels=0,griddots=4,gridwidth=1pt,subgriddiv=0](\Xmin,\Ymin)(\Xmax,\Ymax)
      \psaxes[dx=1,Dx=1,dy=1,Dy=1,linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(\Xmin,\Ymin)(\Xmax,\Ymax)
      \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(0,1)
      \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(1,0)
      \uput[l](0.1,-0.3){$O$}
      \uput[r](0,-0.5){$\vec{\imath}$}
      \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
      \uput[r](17,5){$\mathscr{C}$}
      \psplot{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
    \end{pspicture}
  %\end{center}
\end{small}



\end{document}
