

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[]{pan_pan}
\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=15cm,textheight=24.5cm,marginparwidth=0pt,headheight=3cm]{geometry}

\begin{document}
\fcours{Fonctions continues}
\section{Continuité}
\subsection{Définitions, exemples et contre exemples}
La continuité est une notion de \emph{régularité} des fonctions. En
voici une définition heuristique:
\begin{Def}
On dit qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ lorsque
$f$ est définie sur $I$ et que sa courbe sur $I$ peut se tracer \og sans lever le crayon \fg{}.
\end{Def}

\begin{rem}
Cette définition est évidement uniquement intuitive, une \emph{vraie}
définition utilise les limites en un point (cf définition suivante).
\end{rem}

\begin{Def}
On dit qu'une fonction $f$ est continue en $a$ ($a\in\R$) si les trois
conditions suivantes sont vérifiées:
\begin{dingautolist}{172}
\item $f$ est définie en $a$.
\item $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$.
\item $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
\end{dingautolist}
\end{Def}
\noindent Si l'une quelconque de ces trois conditions n'est pas vérifiée, on dit
que $f$ n'est pas continue en $a$, ou qu'elle présente une
discontinuité en~$a$. 
\begin{rem}
Parfois le comportement d'une fonction $f$ est différent à gauche et à
droite d'un réel $a$. Il pourra alors être utile pour étudier
l'existence d'une limite en $a$ d'étudier les éventuelles limites à
gauche et à droite de $a$, \emph{i.e.}:
\[ \lim\limits_{ x \to a \atop x < a } f(x) \quad\text{et}\quad
\lim\limits_{ x \to a \atop x > a } f(x)\]
Si ces limites existent, alors, dire que  $f$ est continue en $a$
revient à dire que ces deux limites sont égales à $f(a)$.
\end{rem}
\noindent Les quatre fonctions $f$ représentées ci--dessous présentent
une discontinuité en~$1$. Dire lequel des trois points de la
définition est mis en défaut et pourquoi.\\\noindent
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.20}%
\hspace{\stretch{1}}%
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.21}%
\hspace{\stretch{1}}%
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.22}%
\hspace{\stretch{1}}%
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.23}%
\\\noindent
\fbox{\begin{minipage}{3.3cm}\[\]\[\]\[\]
  \end{minipage}}\hspace{\stretch{1}}%
\fbox{\begin{minipage}{3.3cm}\[\]\[\]\[\]
  \end{minipage}}\hspace{\stretch{1}}%
\fbox{\begin{minipage}{3.3cm}\[\]\[\]\[\]
  \end{minipage}}\hspace{\stretch{1}}%
\fbox{\begin{minipage}{3.3cm}\[\]\[\]\[\] \end{minipage}}%

\begin{Def}
On dit qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ lorsque
$f$ est continue en tout réel $a$ de~$I$.
\end{Def}
{\bf Convention} Dans un tableau de variation, lorsqu'on note une
flèche pour une fonction croissante (ou décroissante) sur un
intervalle, cette flèche signifie aussi la continuité de la fonction
sur l'intervalle. On mettrait une double barre en un point de discontinuité.
\begin{prop}
  Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
\end{prop}
\Danger La réciproque est fausse. Contre--exemple: La fonction valeur
absolue. Elle est continue sur~$\mathbb{R}$ mais non dérivable en~0.
La dérivabilité est donc une notion de régularité plus forte que
la continuité.
\begin{proof}(Du contre--exemple)
  $|x|= 
\begin{cases} x & \text{if $x\geq 0$,}
\\
-x &\text{if $x\leq 0$.}
\end{cases}\implies%
\frac{|x|}{x}= 
\begin{cases} 1 & \text{if $x> 0$,}
\\
-1 &\text{if $x< 0$.}
\end{cases}$\\
Le taux de variation de la valeur absolue en 0 a une limite à gauche
qui vaut -1, et une limite à droite qui vaut 1. Donc la limite en 0
n'existe pas.

\end{proof}
\begin{proof}
  On écrit l'approximation affine avec une fonction $\epsilon$ telle
  que: $\lim\limits_{ x \to a } \epsilon(x) =0$:
\[f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\epsilon(x)\]
\end{proof}
\begin{prop} (Admise)
Les fonctions usuelles: polynômes, racine carrée, valeur absolue,
fractions rationnelles, $\sin$, $\cos$,(bientôt  $\exp$ et $\ln$) et leurs composées sont continues sur les intervalles où elles sont définies.
\end{prop}
Cette propriété permet de justifier la continuité d'une fonction en un
point ou sur un intervalle.
\exemple Soit $f$ définie par: $f(x)=\sqrt{x^2-1}$. $f$ est définie
dès que $x^2-1$ est positif donc sur les intervalles
$\intof{-\infty}{-1}$ et $\intfo{1}{+\infty}$. Sur chacun de ces
intervalles, $f$ est la composée de la fonction racine (continue sur
$\R^+$) et d'un polynôme (donc continu sur $\R$). Ainsi $f$ est
continue sur les intervalles $\intof{-\infty}{-1}$ et
$\intfo{1}{+\infty}$. La phrase \og{\sl $f$ est continue sur les intervalles $\intof{-\infty}{-1}$ et
$\intfo{1}{+\infty}$ comme composée  de fonctions continues}\fg{} est plus
vague mais suffira.\\

Cependant il existe des fonctions qui ne sont pas continues:

\subsection{La fonction partie entière}
\begin{Def}
On appelle partie entière d'un réel $x$, notée $E(x)$, le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. \ie{} $E(x)$ est l'entier $n$ tel que: $n\leq x < n+1$
 \end{Def}
\exemples $E(2,36)=2$;  $E(2)=2$; $E(\pi)=3$; $E(-2,36)=-3$
\begin{prop}
Pour tout entier $n$, sur l'intervalle $\intfo{n}{n+1}$, la fonction partie entière est constante égale à~$n$. Elle n'est pas continue sur $\R$, elle admet une discontinuité pour chaque entier.%\ie{} $\forall x \in \intfo{n}{n+1},\ E(x)=n$
\end{prop}
\begin{proof} Soit $n\in\Z$. Par définition de $E$, pour
  $x\in\intfo{n}{n+1}$ on a $E(x)=n$. Prouvons la discontinuité de $E$
  en~$n+1$. Par passage à la limite (en restant dans l'intervalle
  $\intfo{n}{n+1}$): 
\[ %\displaystyle 
\lim_{x\rightarrow n+1\atop x<n+1}  E(x)=n\neq E(n+1)=n+1 \]

\end{proof}
On en déduit la courbe de la fonction partie entière, on dit que c'est une fonction en escalier.
\begin{center}
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.9} %\hfill  \includegraphics{courbe.8}
\end{center}
\subsection{Prolongement par continuité}
\exemple La fonction $f$ définie sur $\R\setminus \{3\}$ par:
\[f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}\] n'est pas continue sur $\R$ car non définie
en $3$, mais:
\[ x\neq 3\implies f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\]
Ainsi la courbe de $f$ est la droite d'équation: $y=x+3$ à laquelle il
manque le point d'abscisse~3. On pose alors la fonction $\widetilde{f}$ définie sur
$\R$:
\[ \widetilde{f}(x)=x+3.\quad \text{donc}\quad \widetilde{f}(x)=
\begin{cases} f(x) & \text{si $x\neq 3$,}
\\
6 &\text{si $x=3$.}
\end{cases}
\]
La fonction $\widetilde{f}$ est alors continue sur $\R$, on dit que
c'est un prolongement de $f$ par continuité en~3.
\exemple La fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{\e^x-1}{x}$ n'est pas définie en zéro, mais on a vu que sa limite en zéro
existe et vaut 1. On peut \og prolonger la fonction $f$ par
continuité\fg{} en~0, en posant la fonction $\tilde f$ définie sur
$\R$ par:
$\tilde f(x)=f(x)$ si $x\in\R^*$ et $\tilde f(0)=1$
\section{Théorème des valeurs intermédiaires}

\begin{theo}{\bf Théorème des valeurs intermédiaires.}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\intf{a}{b}$. Soit $\lambda$ un réel compris strictement entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors l'équation $f(x)=\lambda$ admet au moins une solution dans l'intervalle ouvert $\into{a}{b}$.
\end{theo}

\begin{rem}
Si la fonction n'est pas continue, cette propriété n'est pas nécessairement vérifiée. La fontion partie entière fournit un contre exemple: $E(0)=0$ et $E(1)=1$ mais l'équation $E(x)=0,5$ n'a pas de solution dans $\into{0}{1}$ (ni ailleurs).
\end{rem}

\begin{prop}[Cas particulier important: $\lambda=0$]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\intf{a}{b}$ avec $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle ouvert $\into{a}{b}$
\end{prop}
C'est un cas particulier, mais en fait cette propriété est équivalente
au théorème des valeurs intermédiaires, et on la démontre par
dichotomie en utilisant des suites adjacentes qui convergent vers une
racine de $f$. (cf TD)\\
Ces propriétés nous garantissent l'existence de solutions pour des
équations mais ne nous fournissent pas les solutions, ni leur unicité, juste des intervalles où elles se trouvent. On peut donc avec la calculatrice trouver des encadrements à la précision souhaitée des solutions cherchées.

\exemple
Sur le graphique ci-dessous, on a une courbe $\Cr$ représentant une fonction continue $f$ sur l'intervalle $\intf{-3}{2}$. On a $f(-3)=-1$ et $f(2)=$1,5. Comme la valeur $\lambda=1$ est comprise entre $-1$ et 1,5  le théorème des valeurs intermédiaires nous assure que l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution (ici il y en a trois) sur l'intervalle $\into{-3}{2}$. Autrement dit, la courbe $\Cr$ coupe la droite d'équation $y=1$ sur cet intervalle.

\begin{center}
\psfrag{C}{$\Cr$}
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Courbe.10} 
\end{center}

En pratique, la simple lecture d'un tableau de variation permet de
répondre aux questions du type: ``Combien l'équation $f(x)=\lambda$
admet elle de solutions? Donner des encadrements de ces solutions.''
Rappel: on admet qu'une flèche dans un tableau de variation traduit
aussi la continuité de la fonction sur l'intervalle en question. La
version suivante du théorème des valeurs intermédiares permet de
garantir l'unicité de la solution:

\begin{theo}[Utile en pratique\footnote{On dit dans ce cas que $f$ réalise une \emph{bijection}
croissante de $\intf{a}{b}$ dans $\intf{f(a)}{f(b)}$. C'est pourquoi
cette propriété est parfois appellée \og théorème de la bijection\fg{}.}]
Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur un
intervalle $\intf{a}{b}$. Soit $\lambda$ un réel tel que: $f(a)<
\lambda < f(b)$.  Alors l'équation $f(x)=\lambda$ admet une {\bf unique} solution dans l'intervalle ouvert $\into{a}{b}$.
\end{theo}
\begin{proof}   Laissé en exercice: 
On sait qu'il existe une solution $\alpha$ par le TVI. Prouvons
qu'elle est unique: Comme $f$ est strictement croissante
sur~$\intf{a}{b}$, pour $x$ de cet intervalle on a:
\[ x < \alpha \implies  f(x)<0\quad\text{et}\quad x>\alpha \implies  f(x)>0\]
\end{proof}
\begin{rem}
Il existe évidemment un énoncé similaire pour une fonction strictement décroissante...
\end{rem}
\exemple Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^5+x+7$. Justifier que $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intf{-2}{1}$. Réponse d'un bon élève: \\
$f$ est continue sur $\R$ (c'est un polynôme). Or $f'(x)=5x^4+1$ et $x^4$ est positif donc la dérivée de $f$ est strictement positive, donc $f$ est strictement croissante sur $\intf{-2}{1}$. De plus $f(-2)=-33<0 $ et $f(1)=9>0$. Donc $f(x)=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intf{-2}{1}$.
D'après le tableau de variation de $f$ et ses limites en $-\infty$ et $+\infty$ on en déduit aussi que $f(x)=0$ admet en fait une unique solution dans $\R$.
\\ Il est par contre imposible de résoudre par le calcul cette
équation, mais pouvez vous à l'aide de la calculette déterminer un
encadrement d'amplitude $10^{-2}$ du réel $\alpha$ vérifiant
$f(\alpha)=0$. Trois méthodes:\\

{\bf Méthodes de résolution approchée de $f(x)=\lambda$}
{\small
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item Graphiquement, en zoomant de plus en plus sur le point
  d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses (pour $\lambda=0$) ou avec la droite d'équation $y=\lambda$.
\item Mieux encore, certaines calculettes disposent d'un outil de
  résolution graphique (G-solv pour Casio, CALC quand on est dans
  l'interface graphique avec une Texas Instruments) il faut choisir {\sl isect} pour
  l'intersection de deux courbes que l'on doit sélectionner (la courbe
  de $f$ et la droite d'équation $y=\lambda$ si on veut résoudre
  $f(x)=\lambda$) ou {\sl Root} si on cherche une racine.
\item En utilisant le tableau de valeurs que l'on doit paramétrer
  correctement. $pitch$ (Casio) ou $\Delta Tbl$ (TI) donne le pas de
  la variation de $X$,  donc la précision voulue. Mais il faut d'abord
  connaitre un vague encadrement de la solution (par une méthode
  graphique par exemple)
\item \`A l'aide d'un programme adapté, comme celui que nous allons
  établir qui fonctionne par dichotomie. On peut utiliser la méthode
  de Newton-Raphson ou méthode de la tangente\footnote{$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Cette suite converge vers une
  racine si elle existe, prendre $x_0$ assez près de la racine.} (plus rapide)
  
\end{list}
}

{\bf Cas des fonctions définies sur des intervalles non bornés.} On a
raisonné sur des intervalles fermés bornés, on peut ensuite étendre
les résultats à des intervalles non bornés, en utilisant les limites
de $f$ aux bornes de son intervalle de définition à la place de $f(a)$
ou $f(b)$.
\exemple \\
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
  Combien l'équation $f$ a--t--elle de racines sur $\mathbb{R}$ et
  préciser dans quels intevalles. On note $\alpha$ et $\beta$ ces deux
  racines avec $\alpha < \beta$. Donner le tableau de signes de $f$
  sur~$\mathbb{R}$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
  
\begin{center}
  \begin{variations}
    x       &\mI&   &  0  &   & 4 &   &\pI    \\
    \filet
    f'(x)   &   & + &  0  & - & 0 & + &       \\
    \filet
    \m{f(x)}&\mI&\c &\h{5}&\d &-3 &\c &\h{-1}\\%\h{\pI}\\
  \end{variations}
\end{center}
\end{minipage}


\end{document}












On a déjà résolu des équations de ce type où $y$ est l'inconnue et $n$ un entier. On applique la propriété: \textit{``Si a et b sont deux réels strictement positifs, alors: $\ln a =\ln b \iff a=b$''}
\exemples 
\begin{enumerate}
\item $\ln y =1\iff \ln y=\ln\e \iff y=\e$
\item $\ln y =2\iff \ln y=2\ln\e \iff \ln y=\ln\e^2 \iff y=\e^2$
\item $\ln y =-3\iff \ln y=-3\ln\e \iff \ln y=\ln\e^{-3} \iff y=\e^{-3}$
\end{enumerate}
Plus généralement, on montre de la même manière que si $n$ est un entier: $\ln y=n \iff y=\e^n$ 
\subsection{\'Equation $\ln y=x$}
On reprend la même équation mais où $x$ est un réel. Elle admet une unique solution car la fonction $\ln$ est dérivable et strictement croissante sur $\into{0}{+\infty}$ et admet les limites:
\[ \lim_{x\to 0^+}{\ln x}=-\infty  \quad \et{} \quad \lim_{x\to +\infty}{\ln x}=+\infty\]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $y$ tel que $\ln y=x$. Par analogie avec le cas où $x$ est entier, on note ce réel: $y=\e^x$
\begin{Def}
La fonction exponentielle--notée \emph{exp}--est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. À tout nombre réel $x$ elle associe l'unique nombre réel strictement positif $y$ tel que $\ln y=x$
\end{Def}
\begin{rem}
On utilise l'une ou l'autre des notations $\exp(x)$ ou $\e^x$ pour l'exponentielle de $x$.
\end{rem}
\exemple $\exp(\sqrt2)=\e^{\sqrt2}$ est le réel (strictement positif) tel que: $\ln(\e^{\sqrt2})=\sqrt2$
\section{Propriétés}
\subsection{Conséquences de la définition}
La fonction logarithme est définie sur $\into{0}{+\infty}$ et prend ses valeurs dans $\R$ donc:
\begin{prop}\label{positif}
La fonction exponentielle est définie sur $\R$ et prend ses valeurs dans $\into{0}{+\infty}$
\[\boxed{ \forall x \in \R,\; \e^x>0}\]
\end{prop}
\begin{prop}
Pour tout réel $x$ et tout réel strictement positif $y$: \dotfill $\boxed{\ln y=x\iff y=\e^x }$
\end{prop}
\begin{prop}
Pour tout réel $x$: \dotfill $\boxed{ \ln(\e^x)=x }$
\end{prop}

\begin{prop}
Pour tout réel strictement positif $x$ : \dotfill $\boxed{\e^{\ln x}=x}$
\end{prop}
Les deux dernières traduisent que $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre de la même manière que la fonction carré et la fonction racine carrée sont réciproques l'une de l'autre:\\
Pour tout réel positif $x$: $ (\sqrt x)^2=x $ et $\sqrt{ x^2}=x$\\
\subsection{Propriétés des puissances}
\begin{prop}
Pour tous réels $a$ et $b$ on a les formules usuelles avec les puissances: 
\end{prop}
\[ \boxed{\e^a\times \e^b=\e^{a+b}} \qquad \boxed{\frac{\e^a}{\e^b}=\e^{a-b}}
\qquad \boxed{(\e^a)^b=\e^{a\times b}} \]
\textbf{Cas particuliers importants:} $\boxed{\e^1=\e} \qquad \boxed{\e^0=1} \qquad \boxed{\e^{-x}=\dfrac{1}{\e^x}} $
\section{\'Etude de la fonction exponentielle}
\subsection{Dérivée et variation}
\begin{prop}
La fonction exponentielle est sa propre dérivée: $\boxed{(\e^x)'=\e^x}$
\end{prop}
D'après la propriété \ref{positif}, on en déduit:
\begin{prop}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$
\end{prop}
\begin{prop}[Dérivée d'une fonction composée avec $\e^x$] 
Si $u$ désigne une fonction dérivable sur $\R$ alors $\exp(u)$ est dérivable et:
\[ \boxed{[\e^{u(x)}]'=u'(x)\times\e^{u(x)}}\]
\end{prop}
\subsection{Limites}
On admet les limites suivantes (où $n\in \N \,)$ qui découlent de celles de $\ln x$:
\[ \boxed{\lim_{x\to -\infty}{\e^x}=0} \qquad
\boxed{\lim_{x\to +\infty}{\e^x}=+\infty} \qquad
\boxed{\lim_{x\to -\infty}{x^n\e^x}=0} \qquad
\boxed{\lim_{x\to +\infty}{\frac{\e^x}{x^n}}=+\infty}  \]
La première limite indique que l'axe de abscisses est asymptote à $\Cr_{\exp}$ en $-\infty$. Les deux dernières sont \emph{a priori} des formes indéterminées que l'on retient par \emph{``L'exponentielle l'emporte sur les puissances de~$x$.''}
\subsection{Courbe}
Comme la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction $\ln$, leurs courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite $\Dr$ d'équation $y=x$\\
%\hfill{\stretch{1}}
\begin{center}
\psfrag{i}{$\vec{\imath}$} \psfrag{j}{$\vec{\jmath}$} \psfrag{O}{$O$}
\psfrag{F}{$\Cr_{\exp}$}
\psfrag{L}{$\Cr_{\ln}$}
\psfrag{D}{$\Dr:\ y=x$}
\psfrag{e}{$\e$}
\includegraphics{Courbe.5} 
\end{center}
%\hfill{\stretch{1}}

\end{document}
