

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[]{pan_pan}
\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=15cm,textheight=24.5cm,marginparwidth=12pt,headheight=3cm]{geometry}
\begin{document}
\fcours{Nombres complexes}%{\term}

%%-----------------------
\section{Introduction-Premi\`eres d\'efinitions}
\label{sec:para1}

\subsection{Historique}
\label{sec:histo}
Cf. activit\'e. Bombelli en voulant r\'esoudre $x^3=15x+4$ a utilis\'e
des racines de nombres reels negatifs, comme $\sqrt{-1}$. On a peu a
peu construit un ensemble plus grand que $\R$ qui contient un nombre
imaginaire note $\I$ solution de l'equation $x^2=1$. La notation
$\sqrt{}$ reste réservée aux réels positifs. On n'écrira plus~$\sqrt{-1}$.

\subsection{Construction de $\C$}
\label{sec:cons}
\begin{Def} On appelle ens. des nombres complexes note $\C$ l'ens des $a+\I{}b$
  o\`u $a$ et $b$ sont des reels et {\rm i} une solution de $x^2=-1$
\end{Def}
Dans la suite, $a$ et $b$ désigneront deux réels, et $z$ un nombre
complexe égal à~$a+\I{}b$.
\begin{Def}
 Si $b=0$ on dit que $z=a$ est réel, si $a=0$, on dit
que $z=\I{}b$ est un imaginaire pur.
\end{Def}
Remarque: $\R \subset \C$. On a donc les inclusions d'ensembles de
nombres:
\[ \N\subset\Z\subset\Q\subset\R \subset \C\]
Les règles de calcul de $\R$ se prolongent à
$\C$ en tenant compte de $\I{}^2=-1$
On definit l'addition et la multiplication de deux complexes:
\begin{itemize}
\item Addition: La somme de deux complexes est un complexe. $z+z'=...$
  (L'opération $+$ est associative et commutative, l'élement
  neutre est le réel 0. Tout complexe admet un opposé. On dit que $\C$
  muni de l'addition est un groupe.
\item Multiplcation\dots idem.%, tout complexe non nul admet un inverse ($zz'=1$)
\end{itemize}

\begin{prop} $\C$ est stable par addition et  multiplication, la multiplication
  est distributive sur l'addition, tout complexe non nul admet un
  inverse qui est un nombre complexe. On dit que $\C$ est un corps.\end{prop}
\begin{prop} Tout complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme
  $a+\I{}b=\Re(z)+\I{} \Im(z)$ appelée forme algebrique du complexe
  $z$\end{prop}

\begin{proof}
    \begin{list}{$\bullet$}
  \item $a+\I{}b=0 \iff (a=0 \quad\text{et}\quad b=0)$. Car sinon $\I{}\in\R$
  \item $z=z' \iff z-z'=0 \iff ...$
  \end{list}
\end{proof}
\begin{Def}
  Lorsqu'un nombre complexe $z$ est mis sous forme algébrique $a+\I{}b$,
  alors $a$ s'appelle la partie réelle de $z$, notée $\Re (z)$ et $b$ sa
  partie imaginaire, notée: $\Im (z)$.
\end{Def}
\DangerZ La partie imaginaire comme la partie réelle est un nombre
réel!\\
\exemple $\Re (1+2i)=1$ et $\Im (1+2\I{})=2$ et pas $2\I{}$

Consequence: On peut identifier partie réelle et imaginaire de deux
complexes qui sont égaux
\begin{prop}
 $z=z' \iff \left(\Re(z)=\Re(z') \quad\text{et}\quad \Im(z)=\Im(z')\right)$ 
\end{prop}

 \subsection{Interprétation géométrique}
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O~;\vec{u},\vec{v})$. \`A tout point $M$ de coordonnées $(x;y)$ dans
   $(O~;\vec{u},\vec{v})$ on associe le nombre complexe $z=x+iy$, et
   réciproquement.
 \begin{Def}
On appelle \emph{affixe} d'un point $M$ de coordonnées cartésiennes
  $(x;y)$ le nombre complexe: $z=x+\I y$.
   
 \end{Def}
D'après l'unicité des coordonnées cartésiennes d'un point dans un
repère donné et de la forme algébrique d'un complexe, tout point du
plan a une unique affixe et tout complexe est l'affixe d'un point du
plan. On peut donc identifier $\mathbb{C}$ au plan, on parle alors du
\emph{plan complexe} de la même manière que l'on parlait de la droite
réelle.
\begin{prop}
  Dans le plan complexe, les réels sont représentés par l'axe des
  abscisses et les imaginaires purs par l'axe des ordonnées.
\end{prop}

\begin{Def}
  Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur de coordonnées $\left(
    \begin{array}[l]{c}
      a\\
     b
    \end{array}
    \right)$ on appelle \emph{affixe du vecteur} $\overrightarrow{w}$ le complexe $z_{\overrightarrow{w}}=a+ib$
\end{Def}
L'affixe d'un point $M$ est donc aussi l'affixe du vecteur
$\overrightarrow{{\strut OM}}$ de la même manière que les coordonnées
du point $M$ sont les coordonnées du vecteur~$\overrightarrow{{\strut OM}}$.
Ainsi on a grace aux règles de calcul sur les complexes:
\begin{prop}
  Pour deux points $A$ et $B$ d'affixe $z_A$ et $z_B$, on a: $\boxed{ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A}$.
\end{prop}
\exemple Placer dans le plan complexe les points $A$, $B$, et $C$
ainsi que deux représentants de chaque vecteurs  $\vec{u}\,$ et $ \vec{v}\,
$ d'affixes respectives:
\[z_A=-3+\I \quad z_B=2i \quad z_C=2 \quad z_{\vec{u}}=1+2\I \quad z_{\vec{v}}=-2\I \]
\subsection{Conjugu\'e d'un nombre complexe}
\label{sec:conj}
\begin{Def} On appelle conjugu\'e de $z$, not\'e $\bar{z}$ \end{Def}


\subsubsection{Interprétation géométrique}
\begin{prop}[Interprétation géométrique du conjugué]
Soit un point $A$ d'affixe $z$ et $A'$ d'affixe $z'$. Alors $A$ et
$A'$ sont symétriques par rapport à $(Ox)$ ssi  $z'=\bar{z}$.
\end{prop}
\subsubsection{Propriétés}
\begin{prop} Conjugu\'e de: $z+z'$, $zz'$, $z^n$, $\dfrac{z}{z'}$ \end{prop}
\begin{prop} $z\in\R \iff \bar{z}=z$ et $z\in \I{}\R \iff
  \bar{z}=-z$\end{prop}
Cela peut rappeller la notion de fonction paire et impaire.
\proof{$z=\bar{z} \iff \cdots \iff 2\I b=0\iff b=0 \iff z\in \R$}
En particulier, $\bar{\lambda z}=\lambda \bar{z}$ pour $\lambda \in
\R$.\\
 On peut exprimer la partie réelle et la partie imaginaire d'un
  nombre complexe grace au conjugué:
\begin{prop}
 $\Re (z)=\frac{z+\bar{z}}{2}\quad\text{et}\quad \Im (z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$
\end{prop}
Cela peut évoquer la partie paire et la partie impaire d'une fonction
(cf ch et sh)
\subsection{Module d'un nombre complexe}
\begin{prop} $z\bar{z}\in\R^+$ Et on a la formule
  $z\bar{z}=a^2+b^2$\end{prop}
\begin{proof}
  Direct.
\end{proof}
\begin{Def} On appelle module d'un nombre complexe, not\'e $|z|$ le r\'eel
  positif: $\sqrt{z\bar{z}}$
\end{Def}



\begin{rem}
  Cette notation est la m\^eme que la valeur absolue d'un reel
et c'est bien justifie, les deux coincident sur $\R$.
\end{rem}
\begin{rem}
  On a donc la formule utile en pratique: $\boxed{|z|=\sqrt{a^2+b^2}}$
\end{rem}
\begin{prop}
  Tout nombre complexe non nul $z$ admet un inverse $z'$ pour la
  multiplication \emph{i.e.} qui vérifie~$zz'=1$. Ce complexe est:
  $z'=\frac{1}{|z|}\bar{z}$. On le notera encore~$1/z$.
\end{prop}
%Formule de l'inverse: $1/z=\bar{z}/z\bar{z}$
\begin{rem}
  En pratique pour calculer sous forme algébrique l'inverse d'un
  nombre complexe $z$, on multiplie la fraction $1/z$ par
  $\bar{z}/\bar{z}$. Au dénominateur apparait alors le module de~$z$.
\end{rem}
\subsubsection{Interprétation géométrique}
\begin{prop}[Interprétation géométrique du module]
Soit un point $A$ d'affixe $z_A$ et $B$ d'affixe~$z_B$. 
\[\boxed{AB=\|\overrightarrow{AB}\|=|z_{\overrightarrow{AB}}|=|z_B-z_A|}\]
\end{prop}
Cette égalité est vraie car le repère $(O~;\vec{u},\vec{v})$ est
orthonormé.
Le cacul d'une distance dans le plan se ramene donc au calcul du
module d'un nombre complexe.
\exercice Prouver que le triangle $OAB$ est isocèle rectangle où $A$ et
$B$ sont les points d'affixes respectives:
\[ z_A=1+2i\quad\text{et}\quad z_B=-2+i\]

\exemple \textbf{(fondamental)} L'ensemble des points d'affixe de module 1 est
le cercle de centre $O$ et de rayon~1.
% \begin{prop}
%   Deux vecteurs $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{w'}$ sont
%   colinéaires ssi il existe un réel $k$ tels que: 
% \[ z_{\overrightarrow{w}}=kz_{\overrightarrow{w'}}\]
% \end{prop}
% \begin{proof}
%   On l'écrit avec les coordonnées de vecteurs. Straight forward.
% \end{proof}
% \begin{prop}
%   Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés ssi il existe un réel $k$
%   tel que: 
% \[ z_B-z_A=k(z_C-z_A)\]
% \end{prop}
\subsubsection{Propriétés}
\begin{prop} Module de $zz'$, $z/z'$\end{prop}
\begin{proof}
  Avec les conjugués, ca va tout seul.
\end{proof}
Remarque: $\C$ c'est cool, mais on a perdu qqchose: l'ordre, c'est le
bordel, mais il reste le module...


\section{\'Equation du second degr\'e}
L'objectif est de r\'esoudre dans $\C$ toutes les \'equations du
second degr\'e \`a coefficients r\'eels. \ie{} de la forme:
\[az^2+bz+c=0 \quad \text{o\`u}\ a\in\R^*,\ b\in\R,\ c\in\R\]
\subsection{Forme canonique}
On commence \`a la main, sans formule, en utilsant la forme canonique.
\exemple On veut r\'esoudre: $z^2+2z+5=0$:
\[z^2+2z+5=(z+1)^2-1+5=(z+1)^2+4=(z+1)^2-(2\I{})^2\]
D'o\`u la factorisation et la r\'esolution:
\[ z^2+2z+5=0 \iff \left( z+1-2\I{}\right)\cdot\left(z+1+2\I{}\right)=0 \iff
z\in\{-1+2\I{}\,;\,-1-2\I{}\}\]
R\'esoudre de la m\^eme mani\`ere les \'equations du
second degr\'e suivantes dans $\C$:\\\noindent
\qcmabc{$z^2-4z+5=0$}{$z^2+6z+11=0$}{$2z^2-4z+3=0$}
\subsection{Formules}
Cette technique vue par factorisation gr\^ace \`a la forme canonique est
syst\'ematique et on peut donc obtenir des formules, similaires \` a
celles des racines r\'eelles.
\begin{enumerate}
\item Mettre $az^2+bz+c$ sous forme canonique. On fera appara\^itre $\Delta=b^2-4ac$
\item On suppose que $\Delta <0$. \'Ecrire $\dfrac{\Delta}{4a^2}$
  comme le carr\'e d'un nombre complexe.


\item En d\'eduire une factorisation de $az^2+bz+c$ sous la forme:
\[ az^2+bz+c= a(z-z_1)(z-\overline{z_1})\quad \text{o\`u}\ z_1\in\C \]

\item En d\'eduire les formules donnant les racines complexes de
  $az^2+bz+c$ dans le cas o\`u le discriminant est n\'egatif.
\end{enumerate}
\textbf{Remarque:} Comme dans $\R$, si $b$, le coefficient de $z$, est nul on
n'applique pas ces formules comme un \^ane. On proc\`ede ainsi: 
\exemple $z^2+3=0\iff z^2-(\I{}\sqrt3)^2=0 \iff z \in  \{\I{}\sqrt3\,;\,-\I{}\sqrt3\}$
\subsection{Application}
\exercice
R\'esoudre dans $\C$ les \'equations suivantes en appliquant les
formules pr\'ec\'edentes.
\begin{enumerate}
\item \qcmabc{$2z^2+4z+5=0$}{$-2z^2+6z-5=0$}{$-5z^2+2z+2=0$}
\item \qcmabc{$z^2+z+1=0$}{$(z^2+2)(z^2-4z+4)=0$}{$(z+1)^2=-(2z+1)^2$}
\item \qcmabc{$2z^4-9z^2+4=0$}{$\left(z^2+1\right)^2=1$}{$\dfrac{z-1}{z+1}=z+2$}
\end{enumerate}


\exercice \textbf{\'Equation \`a coefficients sym\'etriques}. Soit l'\'equation $(E)$:
  $z^4-5z^3+6z^2-5z+1=0$\\
Prouver que $(E)$ est \'equivalente au syst\`eme:
$\left\{\begin{array}{ll}
  u^2-5u+4=0\\
u=z+\dfrac{1}{z} 
\end{array}\right.$\\

R\'esoudre $u^2-5u+4=0$, puis r\'esoudre l'\'equation $(E)$ dans $\C$.




\exercice Un grand classique du rire. On veut r\'esoudre une \'equation
  de degr\'e trois dans $\C$. On ne vous donnera pas de formule, mais
  on vous pr\'esentera toujours les choses \`a peu pr\`es ainsi: On exhibe
  ou fait trouver une \og solution \'evidente\fg{} $z_0$, on factorise
  par $(z-z_0)$ le polynome de d\'epart, et on est alors ramen\'e \`a
  une \'equation de degr\'e deux.
  \begin{enumerate}
  \item Pour tout complexe $z$, on pose
    $P(z)=z^3-12z^2+48z-128$. Calculer $P(8)$. D\'eterminer trois
    r\'eels $a$, $b$, $c$ tels que pour tout complexe $z$:
\[ P(z)=(z-8)(az^2+bz+c)\]
R\'esoudre dans $\C$ l'\'equation $P(z)=0$.
  \end{enumerate}
  

%%-----------------------
\end{document}
