
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc} %encodage des caractï¿½es
\usepackage[latin1]{inputenc}%decodage des caractï¿½es
\usepackage[frenchb]{babel}   %gestion du francais
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\usepackage{amssymb,amsthm}  %gestion des symboles math\'{e}matiques
%-----------------------------
\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
\usepackage{pifont}
\usepackage{calc}
%Pour une numérotation en gras à la française: a. et pas: (a)
\renewcommand{\labelenumi}{{\bf{\arabic{enumi}}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{{\bf{\alph{enumii}}.}}

\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=15cm,textheight=24.5cm,marginparwidth=0pt,headheight=3cm]{geometry}
\pagestyle{fancy}\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\DeclareMathOperator{\e}{e}
\newcounter{exercice}
\newcommand{\exods}[2]{% Titre-bareme
                     \refstepcounter{exercice}
                     \vspace{1em} \par \noindent
                     \raisebox{-0.7ex}{\bf Exercice \no \arabic{exercice}  #1}
                     \hrulefill \raisebox{-0.7ex}{\, (\, \textit{#2 points} \, )}
                     \par \vspace{0.5em}
                    }

\rfoot{\textsl{Lycée Jean Zay, Orléans.}}
\lhead{{\bf \'Epreuve de mathématiques de T.S. }}
\rhead{ Durée: 2h.}
\begin{document}
\noindent
TS (\no 3, 4, 5)\hfill{{\Large {\bf Devoir commun \no 2}}}\hfill le
26/11/2007\\[.5cm]
\hrule

\begin{center}
  \begin{minipage}[c]{0.67\linewidth}
    \textsl{Ce sujet comporte trois pages. La page~3 comportant le
    Q.C.M. ainsi que le repère où tracer la courbe pour l'exercice
    d'analyse est à rendre avec votre copie, n'oubliez pas d'y apposer
    votre nom.}
  \end{minipage}
 \end{center}
\noindent
 %\setlength{\columnsep}{1cm} 
%\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
%%%_________________________________________________

%%##### COMPLEXES
\exods{--- Nombres complexes}{7}
Dans le plan complexe rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal
%direct
$\left(O;\vec{u},\vec{v}\right)$ (unit\'e graphique 2 cm),
 on consid\`ere les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives\quad
 $z_{A} =  2$,\quad
$z_{B} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$\quad et\quad $z_{C} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur le cercle de
  centre
$O$ et de rayon 2.
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$.
\end{enumerate}
\item D\'eterminer la nature du quadrilat\`ere $OBAC$.
\item D\'eterminer et construire l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$
 du plan
 tels que $|z| = |z - 2|$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}

\medskip

\noindent \`A tout point $M$ d'affixe $z$ tel que $z\neq z_{A}$,
 on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ d\'efini par:
\[ z' = \dfrac{- 4}{z - 2}.\]

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item R\'esoudre\footnote{On pourra se  ramener
    à une équation du second degré.} dans $\mathbb{C}$ l'\'equation: $\ z =  \dfrac{-4}{z - 2}$.
\item En d\'eduire les points $B'$ et $C'$ associ\'es aux points $B$ et~$C$.
%
%\item D\'eterminer et placer le point $G'$
% associ\'e au centre de gravit\'e $G$ du triangle $OAB$.
\end{enumerate}
\item	\begin{enumerate}
\item \textbf{Question de cours :}\\
\emph{Pr\'erequis :  le module d'un nombre complexe $z$,
 not\'e $|z|$, est le réel positif qui v\'erifie $|z|^2 =z\overline{z}$ 
o\`u $\overline{z}$ est le conjugu\'e de $z$. On suppose aussi connues
les propriétés du conjugu\' e d'un nombre complexe.}\smallskip\\
D\'emontrer que :
\begin{dingautolist}{172}
\item pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,
~ $| z_{1} \times z_{2}| =| z_{1}| \times | z_{2}|$.
\item pour tout nombre complexe $z$ non nul, 
$\left|\dfrac{1}{z}\right|  = \dfrac{1}{|z|}$.
\end{dingautolist}

% \begin{itemize}
% \item[$\bullet~$] 
% pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,
% ~ $| z_{1} \times z_{2}| =| z_{1}| \times | z_{2}|$.\\
% \item[$\bullet~$]
% pour tout nombre complexe $z$ non nul, 
% $\left|\dfrac{1}{z}\right|  = \dfrac{1}{|z|}$.\\
% \end{itemize}
\item D\'emontrer que pour tout nombre complexe $z$ distinct de 2,
\[\left|z' - 2\right| = \dfrac{2 |z|}{|z-2|}.\]
\item On suppose dans cette question que $M$ est un point quelconque
 de $\mathcal{D}$, o\`u $\mathcal{D}$ est l'ensemble d\'efini \`a la
 question 3
 de la partie~{\bf A}.\\
 D\'emontrer que le point $M'$ associ\'e \`a $M$ appartient \`a un
 cercle~$\Gamma$ dont on pr\'ecisera le centre et le rayon. Tracer~$\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

%%##### Exo Analyse
\exods{--- Analyse}{7}
On désigne par $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par:
\[f(x) = \frac{1}{1+\e^{-x}}\]
 On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un
 repère orthogonal $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)$ fourni en page~3.
%, (unité graphique :~5~cm).

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que pour tout nombre réel $x$  : $f(x) = \dfrac{\e^{x}}{1+\e^{x}}$.
  \item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
  \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  \item Dresser le tableau de variations de $f$.
  
  \item Déterminer l'équation cartésienne réduite de la tangente ($T$) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A$ de la courbe d'abscisse 0.
 \item Dans cette question, on étudie les positions relatives de la
   courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite ($T$). Soit~$\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$
           par:
 \[ \varphi (x) = f(x)-(\frac{1}{4}x+ \frac{1}{2})\]
       \begin{enumerate}
         \item Démontrer que pour tout réel $x$, on a:
           $\varphi'(x)=-\dfrac14\left(\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \right)^2$
% est décroissante sur $\mathbb{R}$.
         \item Conclure.
       \end{enumerate}
 \item Tracer la  tangente ($T$), la courbe $(\mathcal{C})$,  et ses
   asymptotes éventuelles dans le repère
   $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)$ fourni en page~3.      
 \item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: 
\[g(x) = f(x) - \frac{1}{2}\]
On note $(\mathcal{C}_{g})$ la courbe représentative de $g$ dans le repère $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)$.
     \begin{enumerate}
        \item Quelle transformation géométrique permet d'obtenir la courbe $(\mathcal{C}_{g})$ à partir de $(\mathcal{C})$ ?
        \item Démontrer que $g$ est impaire. Quelle propriété géométrique peut on en déduire concernant la courbe  $(\mathcal{C}_{g})$ ?
        \item Quel rôle joue le point $A\left(0,\frac{1}{2}\right)$ pour la courbe $(\mathcal{C})$ ? Expliquer.
    \end{enumerate}
    
% \item \texttt{Autre version de la question précédente.} Démontrer que pour tout $x$ réel $f(x)+f(-x))= 1$. En déduire que pour tout $x$ réel, le point $A(0,\frac{1}{2}))$  est le milieu des points $M(x,f(x))$ et $M'(-x,f(-x))$. Que peut on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C}_{g})$?

\item Combien y a t il de solutions à l'équation $f(x) = \frac{3}{4}$ ? Expliquer votre réponse. Puis donner une approximation à $10^{-2}$ près de la (ou des) solution(s) éventuelle(s) à $10^{-2}$ près.

\item Question bonus :\\
 Existe--t--il une tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ passant par l'origine du repère ? Expliquer.

\end{enumerate}
\newpage


%%##### QCM
\lfoot{\bf Nom:}
\exods{--- Q.C.M.}{6}
Ceci est un \bsc{Q.C.M.} Chaque question vaut 1 point, il peut y avoir
plusieurs réponses correctes à chaque question. Vous devez cocher
toutes les réponses valables (et elles seules) pour obtenir le maximum de points.
%Une réponse fausse ne retire pas de point. %Reporter sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à votre réponse.
\\
\rule{0mm}{2mm}
\hrule
\begin{enumerate}
%-----------------------
\item L'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $|z-1+{\rm i}|=2$ est:\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

 \raggedright un cercle de centre $\Omega$ d'affixe $1+{\rm i}$.&
 \raggedright un cercle de rayon~$\sqrt 2$.&
 \raggedright un cercle de centre $\Omega$ d'affixe $1-{\rm i}$.&
 \raggedright un cercle de rayon~$2$.
 \end{tabular*}
\hrule
%%----------------------------------
\item L'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $\text{Re}(z)\times\text{Im}(z)=0$ est:\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

 \raggedright la réunion de deux droites.&
 \raggedright l'origine du repère.&
 \raggedright une demie droite.&
 \raggedright l'axe des réels.
  
\end{tabular*}
\hrule
%%----------------------------------
\item L'équation $z^2+z\bar{z}=0$ a pour nombre de solutions dans~$\mathbb{C}$:\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

 \raggedright 0&
 \raggedright 1&
 \raggedright 2&
 \raggedright une infinité
  
\end{tabular*}
 \hrule
%%----------------------------------

%%----------------------------------
\item Cocher les nombres complexes solutions de l'équation: $z^2+{\rm i}\bar{z}=0$\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

 \raggedright 1+i&
 \raggedright i&
 \raggedright $-{\rm i}$&
 \raggedright 0
  
\end{tabular*}
 \hrule
%%%_________________________________________________
\item Pour $x$ dans $\mathbb{R}$, on pose  $\displaystyle
  Q(x)=\frac{\e^{x}+\e^{3x}}{\left(\e^{x}\right)^2}$. Alors on a aussi:\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

 \raggedright $\displaystyle Q(x)=\e^x+\frac{1}{\e^x}$&
 \raggedright $\displaystyle Q(x)=\e^{2x}$&
 \raggedright $\displaystyle Q(x)=\frac{\e^{5x}+\e^{3x}}{\e^{4x}}$&
 \raggedright $\displaystyle Q(x)=\frac{\e^{4x}}{\e^{x}\e^{x}}$
\end{tabular*}
\hrule

%%----------------------------------
\item On considère pour $x$ dans $\mathbb{R}$, l'équation (E): $\e^{x^2} -\e^{x} =0$ \\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

 \raggedright (E) n'a pas de solution. &
 \raggedright $x=1$ est solution de (E).&
 \raggedright (E) a deux solutions. &
 \raggedright (E) a les mêmes solutions que: $x^2=x$.
  
\end{tabular*}
\hrule
  
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textsl{Repère pour l'exercice d'analyse.}\medskip\\
\noindent
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.29}

\newpage
Solution, à éviter de distribuer aux élèves\\
\noindent
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.30}

\end{document}

















\noindent \ding{33}\dotfill
%%----------------------------------
\item Pour $x$ dans $\mathbb{R}$, on pose encore: $\displaystyle f(x)=\frac{\e^{x}-\e^{-x}}{\e^{x}+\e^{-x}}$\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

 \raggedright $\lim\limits_{ x \to -\infty } f(x)=0$.&
 \raggedright $\lim\limits_{ x \to -\infty } f(x)=1$.&
 \raggedright $f$ est paire.&
 \raggedright $f$ est impaire.
  
\end{tabular*}
 \hrule
%%----------------------------------
\item On considère pour $x$ dans $\mathbb{R}$, l'équation (E): $\e^{x^2} -\e^{x} =0$ \\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

 \raggedright (E) n'a pas de solution. &
 \raggedright $x=1$ est solution de (E).&
 \raggedright (E) a deux solutions. &
 \raggedright (E) a les mêmes solutions que: $x^2=x$.
  
\end{tabular*}
\hrule
%%----------------------------------

\item Pour $x$ dans $\mathbb{R}$, on pose: $\displaystyle f(x)=\frac{\e^{x}-\e^{-x}}{\e^{x}+\e^{-x}}$\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

 \raggedright $\lim\limits_{ x \to +\infty } f(x)=+\infty$&
 \raggedright $\lim\limits_{ x \to +\infty } f(x)=1$&
 \raggedright $\displaystyle f(x)=\frac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1} $&
 \raggedright $\displaystyle f(x)=\frac{\e^{3x}-\e^{x}}{\e^{3x}+\e^{x}}$.
  
\end{tabular*}
 \hrule
