\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{pst-plot,array}
\usepackage{epsfig}\usepackage{graphicx}
\usepackage{pst-node,pstcol,pst-3d,pst-eucl}
\usepackage{calc}
%pour les lettres calligraphiques :
\usepackage{mathrsfs}	%a la place de $\cal{A}$ : $\mathscr{A}$
%pour le symbole de l'euro :
\usepackage{marvosym}   %symbole de l'euro : \EURcr
%\usepackage{slashbox}
%\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{fancyhdr}%
%\usepackage{ifthen}
%
% Environnement ``exercice''
\newenvironment{exercice}{\noindent {\bf Exercice
\theexo}\quad\hrulefill\\}{\addtocounter{exo}{1}\vspace{.5cm}}
% initialisation du compteur "exercice"
\newcounter{exo}\setcounter{exo}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Quelques commandes perso. (ensembles, e, ssi, vecteurs, reperes)
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}\ }}  % IN
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}\ }}  % IR
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}\ }}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}\ }}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}\ }}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}\ }}  % ID
\newcommand{\e}{\ensuremath{\rm e}}
\newcommand{\ssi}{\ensuremath{\Longleftrightarrow}}
% vecteurs et repères (p : plan (O,i,j) ; e : espace (O,i,j,k))
\def\vect#1{\ensuremath{\overrightarrow{#1\,}}}
\newcommand{\prepere}{$\left({\rm O}\ ;\vect{i},\vect{j}\right)$}
\newcommand{\erepere}{$\left({\rm O}\ ;\vect{i},\vect{j},\vect{k}\right)$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=15cm,lines=59,marginparwidth=0pt,headheight=3cm]{geometry}
%\setlength{\textheight}{25cm}
%\setlength{\textwidth}{16cm}
%\hoffset -3.5cm
%\voffset -3.8cm
\pagestyle{fancy}
\rfoot{\textsl{Lycée Jean Zay, Orléans.}}
\lhead{{\bf Nom: }}
\rhead{\'Epreuve de mathématiques. Durée: 2h.}
\begin{document}
\noindent
Terminales S\hfill{{\Large {\bf Devoir commun \no 1}}}\hfill le 15/10/2007\\[.5cm]

\noindent
L'énoncé comporte deux pages, celle--ci est à rendre
complétée de votre nom, avec
votre copie.\medskip\\
\noindent%
%
{\bf Exercice 1}\quad\hrulefill\quad (5 points)\\
On condidère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2;2]$
par la relation :
$$f(x)=x^3-3x-1.$$
\begin{enumerate}
\item
Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans
l'intervalle $[-2;2]$.
\item
Dans le repère ci-dessous, est tracée la courbe $\mathscr C$ représentative de la
fonction cube.
\begin{enumerate}
\item
En traçant une droite $\Delta\,$ judicieusement choisie, donner le nombre de
solutions de l'équation $f(x)=0$. Faire apparaître ces solutions sur le
graphique et les désigner avec des lettres. 
\item
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$
de chacune de ces solutions.
\end{enumerate}
\item
Donner le tableau de signe de $f(x)$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.25}
%\scalebox{0.8}{%\linewidth}{%
% \begin{pspicture}(-9,-8.5)(9,8.5)
% \psset{xunit=4cm,yunit=1cm}
% \psplot[plotpoints=500,linewidth=.2pt]{-2}{2}{x 3 exp}
% \uput[ul](1.9,7.5){${\mathscr C} : y=x^3$}
% \psgrid[gridlabels=0,gridwidth=.2pt,subgriddiv=0](-2,-8)(2,8)
% \psaxes[dx=.5,Dx=.5]{->}(0,0)(-2,-8)(2,8)
% \uput[dl](2,0){$x$}\uput[dl](0,8){$y$}
% \psset{xunit=2cm,yunit=.5cm}
% \psgrid[gridlabels=0,gridwidth=.15pt,subgriddiv=0](-4,-16)(4,16)
% \psset{xunit=.2cm,yunit=8cm}
% \psgrid[gridlabels=0,gridwidth=.1pt,subgriddiv=0,gridcolor=red](-40,-1)(40,1)
% \end{pspicture}%
%}
\end{center}

%\end{exercice}
\newpage


\noindent
{\bf Exercice 2}\quad\hrulefill\quad(4 points)\\
%\begin{exercice}
Pour cet exercice, de restitution organisée des connaissances, on ne
suppose connu (concernant la fonction exponentielle ) que le prérequis
suivant:\\

\noindent {\bf Prérequis :} la fonction exponentielle, notée $\exp$, est dérivable sur
$\R$
et vérifie
pour tout $x\in\R$ :
$$\left\{
\begin{array}{rl}
    \exp(0)=&1\\[.1cm]
    \exp'(x)=&\exp(x)\\
\end{array}
\right.$$

\begin{enumerate}
\item
Démontrer, à partir du prérequis uniquement, que pour tout réel $x$, $\exp(x)\times \exp(-x)=1$.
\item
On note $\mathscr E$ la courbe représentative de la fonction $\exp$ dans
un repère du plan.\\
Démontrer à partir du prérequis uniquement, que la tangente à
$\mathscr E$, au point d'abscisse 1, passe par l'origine du repère.
\end{enumerate}
%\end{exercice}
\vspace{.5cm}


\noindent
{\bf Exercice 3}\quad\hrulefill\quad (6 points)\\
%\begin{exercice}
On considère la suite $u$ définie sur $\N$ par :
$$\left\{\begin{array}{lcl}
u_0&=&7\quad{\rm  et\ pour\ tout\ }n\in\N,\\[.1cm]
u_{n+1}&=&u_n+2n-5.\\
	 \end{array}
\right.$$
\begin{enumerate}
\item
Vérifier les égalités $u_1=2$ et $u_2=-1$.
\item
Justifier que la suite $u$ est monotone à partir d'un certain rang.
\item
Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n\in\N$, on a
$$u_n=n^2-6n+7.$$
\end{enumerate}
%\end{exercice}
\vspace{.5cm}


\noindent
{\bf Exercice 4}\quad\hrulefill\quad (5 points)\\
%\begin{exercice}
Dans cet exercice, on admet le résultat suivant : 
$$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{{\e}^x}=0.$$

\noindent
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par
    la relation :
$$f(x)=\dfrac{x}{{\e}^{x}}.$$

\begin{enumerate}
\item
Calculer $f'(x)$ et justifier que $f'(x)$ est du signe de $(1-x)$ sur
$[0;+\infty[$.
\item
Dresser le tableau de variation complet de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\item
Démontrer que pour tout réel $k\in\left]0;\dfrac{1}{\e}\right]$,
l'équation
$f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[1;+\infty[$.
\item
Donner, suivant la valeur de $k\in\R$, le nombre de solutions de
l'équation $f(x)=k$. (Aucune justification n'est attendue.)
\end{enumerate}
%\end{exercice}


\end{document}






