
\documentclass[a4paper]{article}
%\usepackage[]{pan_pan}
 \usepackage[T1]{fontenc} %encodage des caractï¿½es
 \usepackage[latin1]{inputenc}%decodage des caractï¿½es
 \usepackage[frenchb]{babel}   %gestion du francais
 \usepackage{verbatim,ifthen}
 \usepackage{textcomp,graphicx,psfrag}
\usepackage{pst-plot,array}
%\usepackage{epsfig}
\usepackage{pst-node,pstcol,pst-3d,pst-eucl}
\usepackage{calc}
 \usepackage[dvips]{epsfig}
 \usepackage{amsmath}  %gestion des symboles math\'{e}matiques
\usepackage{amsfonts,mathrsfs} %gestion des fontes math\'{e}matiques
 \usepackage{amssymb,amsthm}  %gestion des symboles math\'{e}matiques
\usepackage{pifont}
% %-----------------------------
 \usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page

\usepackage{calc}
%Pour une numérotation en gras à la française: a. et pas: (a)
\renewcommand{\labelenumi}{{\bf{\arabic{enumi}}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{{\bf{\alph{enumii}}.}}

\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=15cm,textheight=25cm,marginparwidth=0pt,headheight=3cm]{geometry}

\DeclareMathOperator{\e}{e}
\pagestyle{fancy}

\begin{document}

%\ds{15S}
\lhead{{\bf Contrôle commun de mathématiques du 21 janvier 2008.}}
\rhead{{\sl T.S.}}
\rfoot{{\sl Lycée Jean Zay, Orléans.}}

Cette épreuve dure deux heures, l'énoncé comporte deux pages. La
deuxième est à remettre avec votre copie. \smallskip\\



%%-----##############################''
\medskip\noindent {\bf Exercice \no 1}\dotfill (9 points)\\
%\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}\\
%\noindent \textbf{Commun \`a tous les candidats}
%\vspace{0,25cm}
\noindent \textbf{Partie A}\\
La fonction $f$ est d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 
\[f(x) = (20x + 10)\text{e}^{-\frac{1}{2}x}.\]
On note $\mathcal{C}$ la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)$.
On rappelle que: 
\[\lim\limits_{ X \to +\infty } \frac{X}{\e^X}=0\]
\begin{enumerate} \item \'Etudier la limite de la fonction $f$ en
  $+\infty$. {\sl Indication: On pourra remarquer que $20=40\times \frac{1}{2}$. }\\




\item \'Etudier les variations de la fonction $f$, dresser son tableau
  de variations et enfin donner l'allure de~$\mathcal{C}$.
\item \'Etablir que l'\'equation $f(x) = 10$ admet une unique solution strictement positive~$\alpha$.  Donner une valeur d\'ecimale approch\'ee \`a $10^{-3}$ pr\`es de~$\alpha$.
%\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$. {\Large Est-ce bien nécessaire?
%Ou juste l'allure\dots}

\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}
\noindent \textbf{Partie B}\\
On note $y(t)$ la valeur, en degr\'es Celsius, de la temp\'erature d'une r\'eaction chimique \`a l'instant $t,~ t$ \'etant exprim\'e en heures. La valeur initiale, \`a l'instant $t =  0$, est $y(0) = 10$.\\
 On admet que la fonction qui, \`a tout r\'eel $t$ appartenant \`a
 l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ associe $y(t)$, est solution de
 l'\'equation diff\'erentielle (E) : 
\[ y' + \dfrac{1}{2}y = 20\text{e}^{-\frac{1}{2}t}. \tag{E}\]
\begin{enumerate} \item V\'erifier que la fonction $f$ \'etudi\'ee dans la \textbf{partie A} est solution de l'\'equation diff\'erentielle~(E) sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
\item On se propose de d\'emontrer que cette fonction $f$ est l'unique solution de l'\'equation
diff\'erentielle (E), d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, qui prend la valeur $10$ \`a l'instant~$0$.
\begin{enumerate} \item On note $g$ une solution quelconque de l'\'equation diff\'erentielle (E), d\'efinie sur  $[0~;~ + \infty[$ v\'erifiant $g(0) =  10$. D\'emontrer que la fonction $g - f$ est solution, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, de
l'\'equation diff\'erentielle :
\[   y'+ \dfrac{1}{2}y = 0. \tag{ E'}\]
\item R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle  (E'), puis conclure.
\end{enumerate}
\item Au bout de combien de temps la temp\'erature de cette r\'eaction chimique redes\-cent-elle \`a sa valeur initiale ? Le r\'esultat sera arrondi \`a la minute.

\end{enumerate}
%%----------##############  Exo BARYCENTRES __________________________

\medskip \noindent {\bf Exercice \no 2}\dotfill (6 points)\smallskip\\
On considère la figure~\ref{lafigure}, page 2 où sont empilés 48 cubes
identiques au cube $ABCDEFGH$.\\
\begin{enumerate}
\item
Justifier que pour tout réel $t$, le barycentre $K_t$
des points pondérés $(A,-2t^2+2)$, $(B,t^2)$ et $(C,t^2)$ existe.
\item
Pour quelles valeurs de $t\in\mathbb{R}$ le point $K_t$ appartient-il au
triangle $ABC$ ?
\item
On note $I$ le milieu du segment $[BC]$.
Justifier que pour tout réel $t$, on a la relation vectorielle
$$\overrightarrow{AK_t}=t^2\,\overrightarrow{AI}.$$
\item
Quel est l'ensemble $\mathscr E$ décrit par le point $H_t$ lorsque
$t$ parcourt $\mathbb{R}$ ? Tracer $\mathscr E$ sur la figure.
\item
Prouver que l'ensemble $\mathscr F$ des points $M$
 de l'espace tels que:
$$\left\|-6\overrightarrow{AM}+4\overrightarrow{BM}+4\overrightarrow{CM}\right\|=2\left\|\overrightarrow{AM}\right\|.$$
est un plan dont dessinera la  trace sur le pavé constitué des 48 cubes.
\end{enumerate}


%%############################## QCM
\medskip \noindent {\bf Exercice \no 3}\dotfill (5 points)\medskip\\
Cet exercice est un \og QCM \fg{}. Voici les règles du jeu:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item Il sera attribué  1  point par réponse juste.%, sauf la derni\`ere  qui vaut 2 points
\item L'absence de réponse n'entraînera pas de pénalisation.
\item Une réponse fausse sera pénalisée $-0,25$ point.
\item Il y a une et une seule réponse juste de proposée à chaque question.
%\item On recopiera sur la copie, de façon bien lisible, la référence
%  de la question et la référence de la seule réponse qui convient. Par exemple : Question 13.  Réponse :  (a)
\end{list}
On se place dans l'espace à trois dimensions, muni d'un
repère~$(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\,)$. On considère la
droite~$\mathscr{D}$ dont on donne une représentation paramétrique:
\[ 
\mathscr{D} : 
\left\lbrace\begin{array}{lll}
x= -2+6t\\
y= 1-2t\\
z= 4+4t
\end{array}\right. \ , t\in\mathbb{R} 
\]
%%#####################"
%\rule{0mm}{-1mm}
%\noindent\ding{33}\dotfill
%\rule{0mm}{1mm}
%\hrule
\begin{enumerate}
\item Lequel de ces points appartient à $\mathscr{D}$?\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

\raggedright $I( 7 ;  2; 6 )$&
\raggedright $J( 7 ;  -2; 6 )$&
\raggedright $K(-\frac72; \frac32;3)$&
\raggedright $L( 7 ;  2; -6 )$
  
 \end{tabular*}
\hrule
%%----------------------------------
\item Soit $A ( 2 ;  2 ; 1 )$ et  $B ( 4 ; 1 ; 8 )$. Les droites $\mathscr{D}$ et $(AB)$ sont:\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

\raggedright Strictement parallèles.&
\raggedright Sécantes.&
\raggedright  Non coplanaires.&
\raggedright Coplanaires.
  
 \end{tabular*}
\hrule


%-----------------------
\item Laquelle des représentations paramétriques données ci--dessous (où $t$ décrit
  $\mathbb{R}$) 
  représente aussi la droite~$\mathscr{D}$?\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

\raggedright $\left\{\begin{array}{lll} %1
x= -1+3t\\
y= \frac12-t\\
z= 2+2t
\end{array}\right. $&
\raggedright $\left\{\begin{array}{lll} %2
x= 4+6t\\
y= -1+2t\\
z= 8-4t
\end{array}\right.$ &
\raggedright $\left\{\begin{array}{lll} %3
x= -8+3t\\
y= 3-t\\
z= 2t
\end{array}\right.$  &
\raggedright $\left\{\begin{array}{lll} %4
x= 2-6t\\
y= -122t\\
z= -4-4t
\end{array}\right.$
  
 \end{tabular*}
\hrule
%-----------------------
\item La droite ~$\mathscr{D}$ coupe le plan $(xOy)$ en un point d'abscisse:\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

\raggedright $x=-8$&
\raggedright $x=4$&
\raggedright $x=-2$&
\raggedright $x=0$
  
 \end{tabular*}
\hrule
%-----------------------
\item Un point $A$ étant fixé, distinct de $O$, on note $\Delta$ l'ensemble des points  $M$ de l'espace tels que:
  $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{1+t^2}\overrightarrow{OA}$ pour
  $t$ décrivant $\mathbb{R}$. Alors $\Delta$ est:\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

\raggedright $(OA)$&
\raggedright $[OA]$&
\raggedright $[OA)$&
\raggedright Aucun des trois.
  
 \end{tabular*}
\hrule
%-----------------------

\end{enumerate}

\lfoot{{\bf Nom: }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\i{4}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\j{4}%%	dimensions du pavé	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\k{3}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{abscisse}\setcounter{abscisse}{0}
\newcounter{ordonnee}\setcounter{ordonnee}{0}
\newcounter{cote}\setcounter{cote}{0}
%\newcounter{indice}

%%--------_______________________________________
%%--------_______________________________________
%%###################################################################
%%--------_______________________________________
%%--------_______________________________________
\begin{figure}[htb!]
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.8,-1.5)(10,6.5)
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,PointName=none,PointSymbol=none}
\psset{normal=0 0 1,viewpoint=27 -11 5,linewidth=.1pt}
\psset{linewidth=.2pt,linestyle=dashed}
\ThreeDput{\pstGeonode(0,0){O}\pstGeonode(1,0){I}\pstGeonode(0,1){J}}
\ThreeDput(4,0,3){\pstGeonode(0,0){A}%
\pstGeonode(0,1){B}\pstGeonode(-1,0){E}\pstGeonode(-1,1){F}}
\ThreeDput(4,0,2){\pstGeonode(0,0){D}%
\pstGeonode(0,1){C}\pstGeonode(-1,0){H}\pstGeonode(-1,1){G}}
\psdots(A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)
\uput[u](A){$A$}
\uput[u](B){$B$}
\uput[dr](C){$C$}
\uput[dl](D){$D$}
\uput[u](E){$E$}
\uput[u](F){$F$}
\uput[ur](G){$G$}
\uput[dl](H){$H$}
\whiledo{\thecote<\k}{\setcounter{abscisse}{0}\setcounter{ordonnee}{0}
	\whiledo{\theordonnee<\j}{
	\ThreeDput(0,0,\thecote){\psline(0,\theordonnee)(\i,\theordonnee)}
	\addtocounter{ordonnee}{1}}
%%	dans le plan [A(0,0,p);i,j]
	\ThreeDput(0,0,\thecote){\psline(0,\theordonnee)(\i,\theordonnee)}
	\whiledo{\theabscisse<\i}{
	\ThreeDput(0,0,\thecote){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\j)}
	\addtocounter{abscisse}{1}}
%%	dans le plan [A(0,0,p);i,j]
	\ThreeDput(0,0,\thecote){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\j)}
\addtocounter{cote}{1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\psset{normal=0 -1 0}
\ThreeDput{\pstGeonode(0,1){K}}
\setcounter{ordonnee}{1}
\whiledo{\theordonnee<\j}{\setcounter{abscisse}{0}\setcounter{cote}{0}
	\whiledo{\theabscisse<\i}{
	\ThreeDput(0,\theordonnee,0){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\k)}
	\addtocounter{abscisse}{1}}
%%	dans le plan [A(0,p,0);i,k]
	\addtocounter{ordonnee}{1}}
\setcounter{cote}{\k}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\psset{linestyle=solid,linewidth=.4pt}
\setcounter{abscisse}{0}\setcounter{ordonnee}{0}
	\whiledo{\theordonnee<\j}{
	\ThreeDput(0,0,\thecote){\psline(0,\theordonnee)(\i,\theordonnee)}
	\addtocounter{ordonnee}{1}}
%%	dans le plan [A(0,0,\k);i,j]
	\ThreeDput(0,0,\thecote){\psline(0,\theordonnee)(\i,\theordonnee)}
	\whiledo{\theabscisse<\i}{
	\ThreeDput(0,0,\thecote){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\j)}
	\addtocounter{abscisse}{1}}
	\ThreeDput(0,0,\thecote){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\j)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\addtocounter{cote}{1}
\psset{normal =1 0 0}
\setcounter{abscisse}{0}\setcounter{ordonnee}{0}
	\whiledo{\theordonnee<\thecote}{
	\ThreeDput(\i,0,0){\psline(0,\theordonnee)(\j,\theordonnee)}
	\addtocounter{ordonnee}{1}}
%%	dans le plan [A(p,0,0);j,k]
	\whiledo{\theabscisse<\j}{
	\ThreeDput(\i,0,0){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\k)}
	\addtocounter{abscisse}{1}}
	\ThreeDput(\i,0,0){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\k)}
{\psset{linestyle=dashed,linewidth=.2pt}
\setcounter{abscisse}{0}\setcounter{ordonnee}{0}
	\whiledo{\theordonnee<\thecote}{
	\ThreeDput(0,0,0){\psline(0,\theordonnee)(\j,\theordonnee)}
	\addtocounter{ordonnee}{1}}
	\whiledo{\theabscisse<\j}{
	\ThreeDput(0,0,0){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\k)}
	\addtocounter{abscisse}{1}}
	\ThreeDput(0,0,0){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\k)}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\psset{normal =0 -1 0}
\setcounter{abscisse}{0}\setcounter{ordonnee}{0}
	\whiledo{\theordonnee<\thecote}{
	\ThreeDput(0,0,0){\psline(0,\theordonnee)(\i,\theordonnee)}
	\addtocounter{ordonnee}{1}}
	\whiledo{\theabscisse<\i}{
	\ThreeDput(0,0,0){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\k)}
	\addtocounter{abscisse}{1}}
	%\ThreeDput(\i,0,0){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\k)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\psset{linestyle=dashed,linewidth=.2pt}
\setcounter{abscisse}{0}\setcounter{ordonnee}{0}
	\whiledo{\theordonnee<\thecote}{
	\ThreeDput(0,\j,0){\psline(0,\theordonnee)(\i,\theordonnee)}
	\addtocounter{ordonnee}{1}}
	\whiledo{\theabscisse<\i}{
	\ThreeDput(0,\j,0){\psline(\theabscisse,0)(\theabscisse,\k)}
	\addtocounter{abscisse}{1}}
%\psdots(0,0)\uput[dl](0,0){$O$}
\psset{linestyle=solid}
%\psline[linewidth=.7pt]{->}(O)(I)
%\psline[linewidth=.7pt]{->}(O)(J)
%\psline[linewidth=.7pt]{->}(O)(K)
%\pstMiddleAB{O}{I}{i}\uput[dl](i){$\overrightarrow{i}$}
%\pstMiddleAB{O}{J}{j}\uput[ul](j){$\overrightarrow{j}$}
%\pstMiddleAB{O}{K}{k}\uput[l](k){$\overrightarrow{k}$}
\end{pspicture}
\caption{{\bf Exercice \no 2}}\label{lafigure}
\end{center}
\end{figure}
%%--------_______________________________________
%%--------_______________________________________
%%###################################################################
%%--------_______________________________________
%%--------_______________________________________



\end{document}
%%#############################  FIN  ##################









\item Soit un réel $z_0$. La droite ~$\mathscr{D}$ coupe le plan d'équation $z=z_0$ en un point d'abscisse:\\
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

\raggedright $x=4+\frac64 z_0$&
\raggedright $x=\dfrac{z_0+2}{6}$&
\raggedright $x=\frac32 z_0-8$&
\raggedright $x=\frac14 z_0-1$
  
 \end{tabular*}
\hrule
%-----------------------
\item 
\rule{0mm}{2mm}
\begin{tabular*}{1.0\linewidth}{
@{$\Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\
  $}p{0.20\linewidth}@{$\quad \Box\ $}p{0.20\linewidth}}

\raggedright &
\raggedright &
\raggedright &
\raggedright 
  
 \end{tabular*}
\hrule
%%_________________________________________________
%%
%% Exo Maurice& Proba
Maurice veut installer un jeu dans une fête foraine:\\
Le joueur dispose d'une urne contenant des jetons blancs et trois
jetons rouges. Il effectue deux tirages successifs sans remise d'un
jeton. Si il obtient deux jetons rouges il gagne un nounours géant, si il a un unique jeton rouge, il gagne un bonbon, et sinon, il ne
gagne rien.\\
On utilisera les notations suivantes:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item {\bf B}: \og le jeton tiré est blanc \fg{}
\item {\bf R}: \og le jeton tiré est rouge \fg{}

\item {\bf N}: \og le joueur gagne le nounours géant \fg{}
\end{list}


\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose qu'il y a cinq jetons blancs.
  \begin{enumerate}
  \item Faire un arbre pondéré schématisant la situation.
  \item Calculer la probabilité $\mathbf{P}(\mathrm{N})$.
  \item Calculer la probabilité de l'événement \og le joueur gagne un bonbon\fg{}.
  \item Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré un jeton
    blanc au premier tirage, sachant qu'il a gagné un bonbon?
  \end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose qu'il y a $n$ jetons blancs où
  $n$ est un entier naturel. On note $p_n=\mathbf{P}(\mathrm{N})$.
  \begin{enumerate}
  \item Dresser un arbre pondéré, et donner l'expression de $p_n$ en
    fonction de~$n$.

  \item Maurice veut que le joueur gagne le nounours dans moins de
    20\% des cas. Justifier que~$n$ doit vérifier:
\[ n^2+5n-144\geq 0\]
\item Quel est le nombre minimum de jetons blancs que Maurice devra placer  dans son urne?

  \end{enumerate}
\end{enumerate}

%%#######-------oooooooOOO ROC suprimé OOOOOOOoooooooooooooo------------
\medskip\noindent {\bf Exercice \no 3}\dotfill (4 points)\medskip\\
La lettre $a$ désignant un réel non nul, on considère les deux
équations différentielles sur~$\mathbb{R}$:
\begin{align}
  \label{eq1:diffCC3}
  y'&=ay \\%\tag{(E_1)}\\
\label{eq2:diffCC3}
y'&=ay+1 %\tag{(E_2)}
\end{align}
{\bf Prérequis:}
La solution générale de l'équation~\eqref{eq1:diffCC3} est constituée
des fonctions $f_k:\, x\longmapsto k\e^{ax}$ où~$k$ est une constante
réelle quelconque.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution constante $g$ à l'équation~\eqref{eq2:diffCC3}.
\item Démontrer que:\\
Une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution
de~\eqref{eq2:diffCC3} si et seulement si $(f-g)$ est solution
de~\eqref{eq1:diffCC3}.
\item En déduire l'ensemble des solutions de~\eqref{eq2:diffCC3}. 
\end{enumerate}