\chapter{Barycentres et droites de l'espace}
\section{Barycentre: rappels}
Rappel des différentes utilisations du barycentre
en sciences physiques: 
\begin{itemize}
\item Centre d'inertie. Cette notion permet de modéliser des systèmes
  solides complexes par des masses ponctuelles, les forces subies par le
  système s'appliquant au centre de masse, ou centre d'inertie. 
\item Point d'équilibre d'un système.
%\item Moment d'une force.
\item Utilisation en chimie: molécules polaires (moment
  dipolaire). Importance pour la question de solubilité d'une molécule
  dans un solvant.
\end{itemize}
Feuille de rappels (mathématiques) lue et commentée.\\ 
Séances d'exercices, annales à partir des connaissances de première. 
\centrage{Rappels}
On peut d\'efinir le barycentre d'un nombre quelconque de points
pond\'er\'es, pourvu que la somme des masses soit non nulle. Je traite ici
le cas de trois points.
 \begin{Def}
Soit le syst\`eme de points pond\'er\'es $\left\{(A;a);(B;b);(C;c)\right\}$ avec:
$a+b+c\neq 0$. Il~existe un unique point $G$ appel\'e barycentre de ce syst\`eme v\'erifiant:
  \begin{equation} \label{fonda3}
  \boxed{ a.\V{GA}+b.\V{GB}+c.\V{GC}=\V{0}}
  \end{equation}
 \end{Def}
\begin{prop}[\textbf{Homog\'en\'eit\'e du barycentre}]
 Soit $k$ un r\'eel non nul. Le barycentre reste inchang\'e si on multiplie toutes les masses par $k$. 
\end{prop}
\begin{prop}[\textbf{Position du barycentre de deux points}]
Soit $ G=Bar\{(A;a);(B;b)\}$
\begin{itemize}
\item[$(i)$] $G\in (AB)$. 
\item[$(ii)$] Si $a$ et $b$ sont de m\^eme signe: $G$ appartient \`a $[AB]$ et est plus pr\`es du point qui est affect\'e de la masse la plus grande en valeur absolue. 
\item[$(iii)$] Si $a$ et $b$ sont de signes contraires: $G$ est en dehors du segment $[AB]$ du c\^ot\'e du point qui est affect\'e de la masse la plus grande en valeur absolue.
\end{itemize}
\end{prop}
 \begin{prop}
   Pour tout point $M$, si $a+b+c\neq0$ on note $G=Bar\left\{(A;a);(B;b);(C;c)\right\}$ et on~a:
\begin{equation} \label{MG}
  \boxed{ a.\V{MA}+b.\V{MB}+c.\V{MC}=(a+b+c)\V{MG}}
  \end{equation}
 \end{prop}
On le d\'emontre \`a partir de \eqref{fonda3} en incrustant le point $M$ dans les quatre vecteurs \`a l'aide de la relation de Chasles. En particulier si on est dans un plan muni d'un rep\`ere $\oij$ on en d\'eduit les coordonn\'ees du $G$ en posant $M=O$ dans \eqref{MG}:
\begin{prop}
   Les coordonn\'ees de $G=Bar\left\{(A;a);(B;b);(C;c)\right\}$ dans $\oij$ sont:
\[ \boxed{ x_G=\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c} \qquad y_G=\frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}} \]
 \end{prop}
En rempla\c{c}ant $M$ par le point $A$ dans \eqref{MG} on a une expression
utile pour placer~$G$:
\[  \boxed{\V{AG}=\frac{b}{a+b+c}\V{AB} + \frac{c}{a+b+c}\V{AC} }\]

La relation ci-dessus prouve que $G$ appartient au plan $(ABC)$ et que
ses coordonn\'ees dans le rep\`ere $(A;\V{AB};\V{AC})$ sont: $G(\dfrac{b}{a+b+c};\dfrac{c}{a+b+c})$

\begin{prop}[\textbf{Th\'eor\`eme d'associativit\'e}]
Soit trois r\'eels $a,\ b$ et $c$ tels que: $a+b+c\neq0$ et $a+b\neq0$. On consid\`ere alors les deux barycentres:
  \[ G=Bar\left\{(A;a);(B;b);(C;c)\right\} \ \text{et} \ H=Bar\left\{(A;a);(B;b)\right\}. \]
Alors: \[ G=Bar\left\{(H;a+b);(C;c)\right\} \]
\end{prop}

Plus g\'en\'eralement, le barycentre $G$ de $n$ points pond\'er\'es
($n\in\N,\, n\geq 3$) est inchang\'e si on remplace $p$ points
pond\'er\'es ($p<n$) dont la somme des masses $m$ est non nulle par leur
barycentre $H$ (dit partiel) affect\'e de ladite masse~$m$.

\subsection{Droites, segments de l'espace}
Dans cette partie, $\mathscr{E}$ désigne l'ensemble des points de
l'espace à trois dimensions. $A$ et $B$ sont deux points distincts de $\mathscr{E}$.
\subsubsection{Relation vectorielle}% $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$}
On considère le point $M_k$ de $\mathscr{E}$ vérifiant la relation
suivante où $k$ désigne un réel:
\begin{equation}
  \label{eq:amkab}
  \overrightarrow{AM_k}=k\overrightarrow{AB}
\end{equation}
Alors on a les résultats suivants qui proviennent du repérage sur une
droite, car $k$ représente l'abscisse du point $M_k$ dans le repère
$(A;\overrightarrow{AB})$ de la droite~$(AB)$.
\begin{dingautolist}{172}
\item Lorsque $k$ décrit $\mathbb{R}$, $M_k$ décrit~$(AB)$.
\item Lorsque $k$ décrit $\mathbb{R}^+$, $M_k$ décrit~$[AB)$.
\item Lorsque $k$ décrit $\left[0\,;1\right]$, $M_k$ décrit~$[AB]$.
\item Lorsque $k$ décrit $\mathbb{R}^*$, $M_k$ décrit~$(AB)$ privée de~$A$.
\item Lorsque $k$ décrit $\mathbb{R}\setminus\{a\}$, $M_k$
  décrit~$(AB)$ privée de~$M_a$. (où $a\in\mathbb{R}$)
\end{dingautolist}

\subsubsection{Caractérisation barycentrique}
\paragraph{Droites}
\begin{prop}
  La droite $(AB)$ est l'ensemble des barycentres de $A$ et
  $B$. \emph{i.e.} \[M\in(AB)\iff\exists (a;b)\in \mathbb{R}^2;\ 
  M=\Bary\{ (A;a);(B;b)\} \quad \text{avec}\quad a+b\neq 0 \]
\end{prop}
\begin{proof}
  On prouve les deux sens séparément, en utilisant la caractérisation:\\
  $M\in(AB)\iff\exists k\in \mathbb{R};\ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$
  
\end{proof}
\paragraph{Segment}
\begin{prop}
  Le segment $[AB]$ est l'ensemble des barycentres de $A$ et
  $B$ avec des masses de même signe. \emph{i.e.} \[M\in[AB]\iff\exists (a;b)\in \mathbb{R}^2;\ 
  M=\Bary\{ (A;a);(B;b)\}\quad \text{avec}\quad a+b\neq 0 \quad\text{et}\quad ab\geq 0\]
\end{prop}
\begin{proof}
  cf Première, et feuille de rappels pour la position du
  barycentres (plus près de quel point?). Rappels à l'oral sur le cas où les masses sont de  signes contraires.   
\end{proof}

\subsection{Plans et triangles}
\subsubsection{Caractérisation barycentrique}
\paragraph{Plan}
\begin{prop}
  Le plan $(ABC)$ est l'ensemble des barycentres de $A$, $B$ et
  $C$. \emph{i.e.} \[M\in(ABC)\iff\exists (a;b;c)\in \mathbb{R}^3;\ 
  M=\Bary\{ (A;a);(B;b);(C;c)\}\ \text{avec}\ a+b+c\neq 0 \]
\end{prop}
\begin{proof}
  On prouve les deux sens séparément, en utilisant la caractérisation:\\
  $M\in(ABC)\iff\exists (x;y)\in \mathbb{R}^2;\ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$
  \end{proof}
\paragraph{Intérieur d'un triangle}
\begin{prop}
  L'intérieur du triangle $ABC$ est l'ensemble des barycentres de $A$, $B$ et
  $C$ avec des masses strictement positives. 
\end{prop}
\begin{proof}
  On prouve les deux sens séparément, géométriquement, par le théorème
  d'associativité. 
  \begin{dingautolist}{172}
  \item Soit $a$, $b$, $c$ trois réels strictement positifs. On considère
    $M=\Bary\{ (A;a);(B;b);(C;c)\}$. Comme $b+c>0$ on peut considérer
    $H=\Bary\{(B;b);(C;c)\}$ qui appartient à $[BC]$, alors par associativité du barycentre:
\[ M=\Bary\{ (A;a);(H;b+c)\} \]
Comme $a$ et $b+c$ sont du même signe, non nuls,
$M\in[AH]$ différent de $A$ et $H$. Figure. \og Donc \fg{} $M$ est à l'intérieur du triangle $ABC$.
\item Réciproque, on refait la construction dans l'autre sens. On
  appelle $H$ l'intersection de $[AM]$ et $[BC]$. Comme $H\in[BC]$
  (différent de $B$ et $C$) alors il existe $b$
  et $c$ strictement positifs tels que: $H=\Bary\{(B;b);(C;c)\}$. De
  même il existe $a'$ et $k$ strictement positifs tels que:
  $M=\Bary\{(A;a');(H;k)\}$. Par homogénéité en multipliant les masses
  par $\frac{b+c}{k}$ (strictement positif), on obtient, en notant
  $a=a' \times \dfrac{b+c}{k}$:
\[ M=\Bary\{(A;a);(H;b+c)\} \quad\text{donc}\quad M=\Bary\{
(A;a);(B;b);(C;c)\}\]

  \end{dingautolist}
  
  \end{proof}
  \begin{rem}
    La preuve peut être refaite avec des masses strictement
    négatives. Par conséquent, on retiendra qu'un point appartient à
    l'intérieur du triangle $ABC$ ssi il est barycentre de $A$, $B$ et
    $C$ affectés de masses non nulles, de même signe.
  \end{rem}
  \begin{rem}
    Si une des masse $a$, $b$ ou $c$ est nulle, le point appartient à un côté du
    triangle, et si deux masses sont nulles, le point est un sommet du triangle.
  \end{rem}
\medskip Exercice d'application: cf Poly \texttt{Barycentres fp3}
\section{Représentations paramétriques d'une droite de l'espace}
\subsection{T.P. sur GeoGebra (cas des droites du plan) }
Compte rendu sur feuille par binôme, puis oral en classe. Ramasser quelques
comptes rendus.\\
Questions complémentaires pour faire le point sur leurs connaissances
et leur compréhension de la problématique soulevée par le TP (à l'oral): 
\begin{dingautolist}{172}
\item Une représentation paramétrique d'une droite est elle unique?
  (Bah non! observer (1) et (2) qui définissent toutes deux~$\Delta$)
\item Mais alors, quel lien y a-t-il entre ces deux représentations
  paramétriques?
\item Quel nom donne-t-on aux vecteurs $\vec{u}\,$ et $\vec{v}\,$ dont
  on a trouvé les coordonnées au \textbf{6.c.} et \textbf{6.d.}?
\item Que peut-on dire de ces deux vecteurs (directeurs de $\Delta$) ?

\item Cette condition de colinéarité est elle suffisante pour établir
  que les deux systèmes représentent la même droite?
\item Comment caractériser une droite? (Deux points, oui\dots{} mais
  encore\dots{} barycentres\dots{} vecteur directeur et un point.)
\end{dingautolist}

\subsection{Caractérisation analytique d'une droite de l'espace}
\subsubsection*{Introduction}
\textsl{En T.P. on a étudié le problème physique de la trajectoire rectiligne de deux
points mobiles dans le plan. On a vu qu'il fallait distinguer point
d'intersection des trajectoires et \og collision \fg{} des deux
points mobiles. Dans le plan, pour savoir si des trajectoires
rectilignes sont sécantes, il suffit de savoir si les droites sont parallèles, ce qui
est simple.\\
Que donne le même problème dans l'espace? L'objectif est de savoir
déterminer par le calcul si deux droites sont sécantes, et le cas
échéant savoir calculer les coordonnées de ce point
d'intersection. Pour celà il nous faut une caractérisation analytique
d'une droite de l'espace. Malheureusement, il n'y a pas d'équation de
droite dans l'espace\dots{} On verra ensuite qu'une équation de la
forme $ax+by+cz+d=0$ est en fait celle d'un plan. \\}

\hrule
\medskip


Une droite~$\mathscr{D}$ de~$\mathscr{E}$ est définie:
\begin{itemize}
\item Soit par deux points distincts $A$ et $B$ de~$\mathscr{D}$. (Alors  $\mathscr{D}=(AB)$)
\item Soit par un point $A$ et un vecteur directeur
  $\vec{u}\,$. (Alors  $(A;\vec{u}\,)$ est un repère de~$\mathscr{D}$)
\end{itemize}
\textsl{(Rappels oraux sur les vecteurs directeurs.)}
\begin{Def}
 Soit $\vec{u}\,$ un vecteur non nul et $A$ un point
de~$\mathscr{E}$. La droite passant par~$A$ et de vecteur
directeur~$\vec{u}\,$ est l'ensemble des points $M$ de~$\mathscr{E}$ tels que
$\overrightarrow{AM}=t\vec{u}\,$ où $t$ décrit~$\mathbb{R}$.
\end{Def}

On veut traduire celà avec des coordonnées. Dans la suite, l'espace est rapporté à un repère~$(O~;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. 
\begin{prop}[Représentation paramétrique de droite] Soit $\mathscr{D}$
  une droite de l'espace. On note $A(x_A;y_A;z_A)$ un point
  de~$\mathscr{D}$ et $\vec{u}\,(a;b;c)$%
% \left(
%     \begin{array}[l]{c}
%       a\\
%       b \\
%       c
%     \end{array}
%   \right)$%
 un vecteur directeur de~$\mathscr{D}$. ($x_A,\,y_A,\,z_A,\,a,\,b,\,c$
sont des réels avec $a,\,b,\,c$ non tous nuls).\\
 La droite~$\mathscr{D}$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$
 de~$\mathscr{E}$ pour lesquels il existe un réel~$t$ tel
 que~\mbox{$\overrightarrow{AM}=t\vec{u}\,$}. $\mathscr{D}$ est donc caractérisée
 par le système:
 \begin{equation}
   \label{eq:represparadroite}
\left\{
\begin{array}{ll}
x=x_A+ta\\
y=y_A+tb\\
z=z_A+tc
\end{array}
\right.\quad ,\text{où:}\ t\in\R
 \end{equation}
\end{prop}
\begin{proof} Straight forward.
Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées. Or:
\[ \overrightarrow{AM}\left(
     \begin{array}[l]{c}
       x-x_A\\
       y-y_A \\
       z-z_A
     \end{array}
   \right) \quad\text{et}\quad
 \vec{u}\, \left(
     \begin{array}[l]{c}
       a\\
       b \\
       c
    \end{array}
   \right)\quad\text{donc}\quad %
t\vec{u}\, \left(
     \begin{array}[l]{c}
       ta\\
       tb \\
       tc
    \end{array}
   \right)
\]
$M\in\mathscr{D}\iff \exists t\in\mathbb{R};\ \overrightarrow{AM}=t\vec{u}\,$. En identifiant les trois coordonnées, on obtient le résultat.
\end{proof}
Un système comme~\eqref{eq:represparadroite} s'appelle une
représentation paramétrique de~$\mathscr{D}$. Le paramètre est~$t$. On
peut mettre n'importe quelle lettre à la place de~$t$. Il peut être
utile de se représenter~$t$ comme le temps (variant dans $\mathbb{R}$)
et le point~$M$ comme un point mobile dans l'espace en fonction du
temps dont les coordonnées vérifient le
système~\eqref{eq:represparadroite}.
 \begin{rem}
  Une représentation paramétrique comme~\eqref{eq:represparadroite}
  caractérise la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur
  directeur~$\vec{u}\,(a;b;c)$. On peut déterminer
  $x_A,\,y_A,\,z_A,\,a,\,b,\,c$ à partir du système que constitue~\eqref{eq:represparadroite}.
  \end{rem}
\begin{exercice}
  \begin{enumerate}
  \item Donner une représentation paramétrique de la droite~$(IJ)$ où
  $I(-1;\,0;\,2 )$ et $J(3;-2;\,1)$.\\
Une fois fait: Tout le monde a-t-il la même représentation
paramétrique? En donner une autre.
\item Le point $A(3;0,1)$ appartient-il à $(IJ)$? Et $B(3;-2;1)$? Et $C(4;4;4)$?
\item Donner une représentation paramétrique de la droite parallèle à
  $(IJ)$ passant par~$A$.
\item Déterminer l'intersection de $(IJ)$ avec le plan~$(xOy)$.

  \end{enumerate}
 

\rotatebox{180}{{\bf Solution:} On choisit un vecteur directeur, par
  exemple $\overrightarrow{IJ}(4;-2;-1)$ et un point, $I$ ou~$J$\dots}\\
\end{exercice}
 
Une fois fait: Tout le monde a-t-il la même représentation
paramétrique? En donner une autre.
\begin{rem}
Une droite n'a pas une unique représentation paramétrique. On a le
choix pour le vecteur directeur et pour le point. Alors comment savoir
si deux représentations différentes caractérisent la même droite?
\end{rem}

\centrage{Exercices}
cf. Représentations paramétriques de droites. fp.1 (fichier \texttt{Exos\_Repres\_par\_droites\_fp1.tex})
\centrage{Compétences à avoir.}
\begin{dingautolist}{172}
\item Savoir vérifier si un point appartient à une droite dont on
  donne une représentation paramétrique.
\item Savoir déterminer les coordonnées de deux (ou plus) points sur une droite dont on donne une représentation paramétrique.
\item Savoir déterminer une représentation paramétrique d'une droite
  $\mathscr{D}$ connaissant:
  \begin{itemize}
  \item Un point et un vecteur directeur de $\mathscr{D}$.
  \item Deux points distincts de $\mathscr{D}$.
  \item Un point et sachant que $\mathscr{D}$ est  parallèle à une droite $\mathscr{D}'$ dont on a une représentation paramétrique.
  %\item 
  \end{itemize}

\item Savoir décider si deux droites dont on donne des représentations
  paramétriques sont:
\begin{itemize}
  \item Parallèles.
  \item Confondues.
  \item Sécantes, et dans ce cas savoir déterminer les coordonnées du point d'intersection.
  \end{itemize}
\item Savoir déterminer les coordonnées du point d'intersection (si il
  existe) d'une
  droite avec un plan (parallèle à un plan de coordonnées d'abord).
\end{dingautolist}
