

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
 \usepackage[T1]{fontenc} %encodage des caractï¿½es
 \usepackage[latin1]{inputenc}%decodage des caractï¿½es
 \usepackage[frenchb]{babel}   %gestion du francais
 \usepackage{verbatim,ifthen}
\usepackage{textcomp,graphicx,psfrag}
\usepackage{pst-plot,array}
\usepackage{pst-node,pstcol,pst-3d,pst-eucl}
\usepackage{calc}
 \usepackage[dvips]{epsfig}
 \usepackage{amsmath}  %gestion des symboles math\'{e}matiques
\usepackage{amsfonts,mathrsfs} %gestion des fontes math\'{e}matiques
\usepackage{amssymb,amsthm}  %gestion des symboles math\'{e}matiques
\usepackage{pifont}
\usepackage{slashbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{variations}
% %-----------------------------
 \usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page

\usepackage{calc}
%Pour une numérotation en gras à la française: a. et pas: (a)
\renewcommand{\labelenumi}{{\bf{\arabic{enumi}}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{{\bf{\alph{enumii}}.}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=15cm,textheight=25cm,marginparwidth=0pt,headheight=3cm]{geometry}

\DeclareMathOperator{\e}{e}
\pagestyle{fancy}
%\usepackage[]{pan}
\usepackage[firstpage]{draftwatermark}

\newcounter{exercice}
\newcommand{\exods}[2]{% Titre-bareme
  \addtocounter{exercice}{1}
  \vspace{1em} \par \noindent
  \raisebox{-0.7ex}{\bf Exercice \no \arabic{exercice}  #1}
  \hrulefill \raisebox{-0.7ex}{\, (\, \textit{#2 points} \, )}
  \par \vspace{0.5em}
}
%%%_________________________________________
%%%
%%%                DEBUT
%%%_________________________________________

\begin{document}
\SetWatermarkText{{\bf S p é c i a l i t é }}%O b l i g a t o i r e}}
\SetWatermarkFontSize{10cm}
\SetWatermarkLightness{0.5}
\pagestyle{fancy}
%\ds{\term S}
\lhead{{\sl Lycée Jean Zay}}%\textbf{Nom:}}
\chead{}%\textbf{Contr\^ole commun \no 3}}
\rhead{\textbf{Baccalauréat blanc}$\ $ page \thepage / 6 }
\lfoot{} \cfoot{}\rfoot{}
%\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\fbox{{\Huge BACCALAUR\'EAT G\'EN\'ERAL}}\\
\vspace{3.5cm}
Session 2008\\
\vspace{2cm}

{\LARGE {\bf MATH\'EMATIQUES}}\\
\rule{7cm}{1pt}\\
\vspace{1.5cm}
{\Large Série: {\bf S}}\\
\vspace{1.5cm}
DUR\'EE DE L'\'EPREUVE: {\bf 4 heures}-COEFFICIENT: {\bf 9}\\
\vspace{2cm}
{\bf {\it Ce sujet comporte six pages numérotées de 1/6 à 6/6}}\\
{\bf {\it La dernière page comporte une annexe à remettre complétée de
    votre nom et classe.}}\\
\vspace{2cm}
{\it L'utilisation d'une calculatrice est autorisée}\\
\vspace{1.5cm}
\framebox[1.1\width]{
\parbox{0.78\textwidth}{La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements  entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}}
\end{center}
\vspace{4cm}
\hfill {\bf Tournez la page S.V.P.}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%___________________________________________________
%%%
%%%___________________  COMPLEXES   __________________
%%
%%%___________________________________________________

\exods{}{4}%------------------------------------
\noindent%
\textbf{Première partie}\\On considère dans l'ensemble des nombres
complexes, l'équation suivante :
\begin{equation}
  \label{eq:BBcplxcube}
  z^3 + 2z^2 - 16 = 0.\tag{E}
\end{equation}

\begin{enumerate} \item Montrer que 2 est solution de~\eqref{eq:BBcplxcube}, puis que~\eqref{eq:BBcplxcube} 
peut s'écrire sous la forme : 
\[(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) = 0\]
 
où $a,~b$ et $c$ sont trois réels que l'on déterminera.
\item En déduire les solutions de l'équation~\eqref{eq:BBcplxcube} sous forme algébrique.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Deuxième partie}\\
Le plan complexe (P) est muni d'un repère orthonormal $(\text{O}\,;\vec{u},\vec{v})$ d'unité~2~cm.
\begin{enumerate} \item Placer les points A et B d'affixes 
respectives 
\[ z_{\text{A}} = - 2 - 2\text{i},\quad \text{et}\quad z_{\text{B}} = -2+2\text{i}.\]
\item Déterminer la forme exponentielle de chacun des nombres
  complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
%\item  Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
\item Soit $f$ la fonction de (P) dans (P) qui à tout point M d'affixe
  $z$ différente de~0 associe le point image M$'$ d'affixe  $z'$ tel
  que~: 
\[z'= \dfrac{1}{\overline{z}}\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer, sous forme algébrique, les affixes respectives des
  points A$'$ et~B$'$ images par $f$ des points A et~B.
\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$, c'est à
  dire l'ensemble des points M pour lesquels M$'$ est confondu avec~M
%\item Le quadrilatère A$'$B$'$C$'$D$'$ est-il un parallélogramme ? Justifier.
\item Prouver que O, M et M$'$ sont alignés.
%Donner une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{OM}},~\overrightarrow{\text{OM}'}\right)$.	Interpréter géométriquement ce résultat. 

% \item Soit M un point d'affixe $-2+y\text{i}$, avec $y$ un réel quelconque, déterminer la forme algébrique de l'affixe $z'$ de M$'$, image de M par~$f$.
% \\
% En déduire que si M appartient à la droite~(AD) alors M$'$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe~$-\frac{1}{4}$ et de rayon~$\frac{1}{4}$.

% \item {\bf En remplacement de la question précédente :\\} Soit M un point
%   d'affixe $z=-2+y\text{i}$, avec $y$ un réel quelconque. Prouver que:
% \[ z'+\frac14=-\frac14\times \dfrac{\overline{z}}{z}\]
% En déduire que si M appartient à la droite~(AD) alors M$'$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe~$-\frac{1}{4}$ et de rayon~$\frac{1}{4}$.

% \item \begin{enumerate}\item Démontrer qu'un point M d'affixe $z$ appartenant au cercle de centre B et de rayon~2 vérifie $z=2+2\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ un réel.
% \item Démontrer que 
% $1+\text{e}^{\text{i}\theta}=2\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\text{e}^{\text{i}\dfrac{\theta}{2}}$.
% \item Démontrer que si un point appartient au cercle de centre B et de rayon~2 privé de~O alors son image par $f$ appartient à une droite dont on donnera une équation.
% \end{enumerate}
% \item {\bf En remplacement de la question précédente :\\} On considère
%   ici les points M d'affixe $z=2+2\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec
%   $\theta$ un réel.
%   \begin{enumerate}
%   \item Quel ensemble décrit M lorsque $\theta$ décrit $\mathbb{R}$?
%   \item Prouver que $|z|^2=8(1+\cos \theta)$ puis que pour $z$ non nul,  la partie
%     réelle de $z'$ est égale à $\frac14$ pour tout~$\theta$.
%   \item Démontrer que si un point appartient au cercle de centre B et
%     de rayon~2 privé de~O alors son image par $f$ appartient à une
%     droite que l'on précisera.
%   \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{enumerate}
%{\bf Exercice trop long je pense.}
%\vspace{0.5cm}
\newpage
%%%___________________________________________________
%%%
%%%___________________  PROBA   ______________________
%%
%%%___________________________________________________

\exods{}{4}%%------------------------

Une entreprise confie  \`a une soci\'et\'e de sondage par t\'el\'ephone une enqu\^ete sur la qualit\'e de ses produits.\\
On admet que lors du premier appel t\'el\'ephonique, la probabilit\'e que le correspondant ne d\'ecroche pas est 0,4 et que s'il d\'ecroche, la probabilit\'e pour qu'il r\'eponde au questionnaire est 0,3.\\
On pourra construire un arbre pond\'er\'e.

\begin{enumerate}\item On considère les \'ev\`enements:

$\bullet~$D$_{1}$  : \og la personne d\'ecroche au premier appel \fg{} ;

$\bullet~$R$_{1}$ :  \og la personne r\'epond au questionnaire lors du premier appel~\fg{}.

Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\`enement R$_{1}$.

\item Lorsqu'une personne ne d\'ecroche pas au premier appel, on la contacte une seconde
fois. La probabilit\'e pour que le correspondant ne d\'ecroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilit\'e pour qu'il r\'eponde au questionnaire sachant qu'il d\'ecroche est 0,2. Si une personne ne d\'ecroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.

On considère les \'ev\`enements:%On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] D$_{2}$ : \og la personne d\'ecroche au second appel \fg{}.
\item[$\bullet~$] R$_{2}$  : \og la personne r\'epond au questionnaire lors du second appel~\fg{}.
\item[$\bullet~$] R  : \og la personne r\'epond au questionnaire \fg{}.
\end{itemize}

Montrer que la probabilit\'e de l'\'ev\`enement R est 0,236.

\item Sachant qu'une personne a r\'epondu au questionnaire, calculer la probabilit\'e pour que la r\'eponse ait \'et\'e donn\'ee lors du premier appel. (on donnera la r\'eponse arrondie au milli\`eme)

% \item Un enqu\^eteur a une liste de 25 personnes  \`a contacter. Les sondages aupr\`es des personnes d'une m\^eme liste sont ind\'ependants. Quelle est la probabilit\'e pour que 20\,\% des personnes r\'epondent au questionnaire ? (on donnera la r\'eponse arrondie au milli\`eme)


\item Un enquêteur a deux personnes  à contacter. Les sondages
auprès de ces personnes  sont indépendants.
On donnera les réponses arrondies au centième.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'aucune des deux personnes ne réponde au
questionnaire ?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une des deux personnes réponde au
questionnaire ? 
\end{enumerate}
 

\end{enumerate}

%{\bf Pour les candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}\\




\newpage
%%%___________________________________________________
%%%
%%%___________________   ANALYSE   ___________________
%%
%%%___________________________________________________
\exods{}{7}%-
Le plan est muni d'un rep\`ere orthonormal $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)$.\\
On s'int\'eresse aux fonctions $f$ d\'erivables sur $[0~;~ + \infty[$
v\'erifiant les deux conditions:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
(1)& :& \text{pour tout r\'eel}~ x~ \text{appartenant \`a}\ [0~;~ + \infty[,~f'(x) = 4 -\left[f(x)\right]^2\\
(2)& :& f(0) = 0\\
\end{array}\right.\]

\noindent On admet qu'il existe une unique fonction $f$ v\'erifiant simultan\'ement (1) et~(2).\\
Les deux parties peuvent \^etre trait\'ees de mani\`ere ind\'ependante. L'annexe sera compl\'et\'ee et remise avec la copie \`a la fin de l'\'epreuve.

\medskip

\noindent \textbf{Partie A. \'Etude d'une suite}

\noindent Afin d'obtenir une approximation de la courbe
repr\'esentative de la fonction $f$ on utilise la m\'ethode
it\'erative d'Euler avec un pas \'egal \`a~0,2. On obtient ainsi une suite de points not\'es $\left(M_{n}\right)$, d'abscisse $x_{n}$ et d'ordonn\'ee $y_{n}$ telles que :

\[\left\{\begin{array}{l l l}
x_{0} = 0&  \text{et pour tout entier naturel}\ n,&x_{n+1} =  x_{n} + 0,2\\
y_{0} = 0& \text{et pour tout entier naturel}\ n,& y_{n+1} = - 0,2y_{n}^2 +y_{n} + 0,8\\
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Les coordonn\'ees des premiers points sont consign\'ees dans le
  tableau de l'annexe. Compl\'eter ce tableau. On donnera les r\'esultats \`a $10^{-4}$ pr\`es.
\item Placer, sur le graphique donn\'e en annexe, les points $M_{n}$ pour $n$ entier naturel
inf\'erieur ou \'egal \`a 7.
\item D'apr\`es ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite $\left(y_{n}\right)$ et sur sa convergence ?
\end{enumerate}
\item  Pour $x$ r\'eel, on pose: 
\[p(x) =  -0,2x^2 + x + 0,8\]
Ainsi  pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ on a $y_{n+1}=p(y_n)$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que pour tout $x$ de $\left[0\,; 2\right]$, on a: $p(x)\in\left[0\,; 2\right]$.
\item En déduire que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, $0\leq y_n\leq 2$.
\item Prouver que la suite $\left(y_{n}\right)$ est croissante sur~$\mathbb{N}$.
\end{enumerate}

 %  \begin{enumerate}
%   \item Montrer que pour tout réel $x$, on a:\quad $2-p(x)=0,2\times(3-x)(2-x)$
%   \item En déduire que pour $x\in[0;2]$, on a: \quad $0\leq 2-p(x)\leq
%     0,6\times(2-x)$
% \end{enumerate}

% \item \begin{enumerate}%
%   \item Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a:\quad $0\leq 2-y_n\leq 2\times 0,6^n.$
%   \item  Prouver que la suite $\left(y_{n}\right)$ est convergente,
%     et déterminer sa limite.
%   \end{enumerate}


\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\noindent \textbf{Partie B. \'Etude d'une fonction}\\
Soit $\mathscr{C}_{g}$ la courbe repr\'esentative de la
fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~ + \infty[$ par:
 \[g(x) =  2\left(\dfrac{\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1}\right)\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ v\'erifie les conditions (1) et (2).
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathscr{C}_{g}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une \'equation.
\item \'Etudier les variations de $g$ sur $[0~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}
\item On note $T_0$  la tangente \`a $\mathscr{C}_{g}$
  au point d'abscisse zéro. D\'eterminer l'abscisse $\alpha$ du point
  d'intersection de $T_0$ et $\Delta$.
\item Tracer, dans le rep\`ere de l'annexe,  la courbe $\mathscr{C}_{g}$ et les \'el\'ements mis en \'evidence dans les questions pr\'ec\'edentes de cette partie~B.
\end{enumerate}

%\vspace{0.5cm}
%%%___________________________________________________
%%%
%%%___________________  GEOMETRIE  ___________________
%%
%%%___________________________________________________
\newpage
% \exods{}{5}%------------------------------------
% Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.\medskip\\
% {\bf Partie A. Restitution organisée des connaissances.}\medskip\\
% On considère deux points distincts $A$ et $B$ de l'espace. On rappelle
% la caractérisation vectorielle de l'appartenance d'un point de
% l'espace à la droite~$(AB)$:\\
% \og Un point $M$ de l'espace appartient à la droite~$(AB)$ si, et
% seulement si, il existe un réel~$t$ tel que:
% $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$.\fg{}\\
% Prouver alors l'équivalence suivante:\\
% Un point $M$ de l'espace appartient à la droite~$(AB)$ si, et
% seulement si, il existe deux réels $a$ et $b$ de somme non nulle tels
% que~$M$ soit le barycentre des points pondérés:
% $(A;a)$ et $(B;b)$.\medskip \\
% %%%
% \noindent
% {\bf Partie B.}\raggedcolumns
% % \vspace{-2ex}
% \setlength{\columnsep}{0.1cm}
% % \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

% \begin{multicols}{2}
% \noindent
% On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-contre, et on munit
% l'espace du repère $\left(A;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$
% où:
%  $\vec{\imath}=\overrightarrow{AB}$,  $\vec{\jmath}=\overrightarrow{AD}$ et $\vec{k}=\overrightarrow{AE}$.
% \begin{enumerate}
% \item
% Calculer les coordonnées de $\Omega$, centre de gravité du triangle
% $BEG$.

% \item
% Donner une représentation paramétrique de la droite $(DF)$, puis justifier
% que $\Omega$ appartient à cette droite.\\
% \end{enumerate}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%           %%%%%%%%%%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  FIGURE   %%%%%%%%%%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%           %%%%%%%%%%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \begin{center}
% \psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm,linewidth=.2pt}
% \begin{pspicture}(0,-.5)(6,5)
% \psset{PointSymbol=none}
% \pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){A}
% \pstGeonode[PosAngle=-90](3.5,0){B}
% \pstGeonode[PosAngle=135](0,3.5){E}
% \pstGeonode[PosAngle=45](6,5){G}
% \pstGeonode[PosAngle=0](6,1.5){C}
% \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](B)(E)(G)
% \pstGeonode[PosAngle=90](2.5,5){H}
% \pstGeonode[PosAngle=80](3.5,3.5){F}
% \pstGeonode[PosAngle=-45](2.5,1.5){D}
% \psline(0,0)(3.5,0)(6,1.5)(6,5)(2.5,5)(0,3.5)(0,0)
% \psline(0,3.5)(3.5,3.5)(6,5)
% \psline(3.5,3.5)(3.5,0)
% \psset{linestyle=dashed,PointSymbol=*,dotscale=.8}
% \psline(0,0)(2.5,1.5)(6,1.5)
% \psline(2.5,1.5)(2.5,5)
% \pstMiddleAB[PointName=none]{E}{B}{I}
% \pstMiddleAB[PointName=none]{G}{B}{J}
% \pstMiddleAB[PointName=none]{E}{G}{K}
% \psset{linewidth=.1pt}
% \psline(B)(K)\psline(G)(I)\psline(E)(J)
% \pstInterLL[PosAngle=-125,PointName=\Omega]{B}{K}{G}{I}{P}
% \psset{linestyle=solid,PointSymbol=none,PointName=none,linewidth=.4pt}
% \pstMiddleAB{A}{B}{U}\uput[d](U){$\vec{\imath}$}
% \pstMiddleAB{A}{D}{V}\uput[u](V){$\vec{\jmath}$}
% \pstMiddleAB{A}{E}{W}\uput[l](W){$\vec{k}$}
% \psline{->}(A)(B)
% \psline{->}(A)(D)
% \psline{->}(A)(E)
% \end{pspicture}
% \end{center}
% \end{multicols}


% \noindent
% % {\bf Partie C.}
% % Dans l'espace muni d'un repère \erepere, on considère
% % les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ de représentations
% % paramétriques :
% % \begin{multicols}{2}
% % $${\mathscr D}:\left\{\begin{array}{l}
% %     x=-3+2\,t\\
% %     y=-1+5\,t\\
% %     z=-4\,t\\	     \end{array},\right. t\in\R.$$

% % $${\mathscr D}':\left\{\begin{array}{l}
% %     x=1+\,t\\
% %     y=-2-3\,t\\
% %     z=-8-2\,t\\	     \end{array},\right. t\in\R.$$
% % \end{multicols}
% % \begin{enumerate}
% % \item
% % Les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ sont-elles parallèles ?
% % Justifier.
% % \item
% % Les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D'$ sont-elles sécantes ?
% % Justifier.
% % \end{enumerate}






% %%%%%%%%%%%%%___________
% % \noindent{\bf Partie B.}\medskip\\
% %  On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté
% % ci--dessous. Dans cette partie uniquement, on munit l'espace du repère $\left(A;\overrightarrow{AB},
% % \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$.
% % \begin{enumerate}
% % \item Justifier par une égalité vectorielle que les coordonnées de $G$
% %   sont~$(1;1;1)$.
% % \item Donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$ et~$F$. 
% % \item Calculer les coordonnées de $\Omega$ le centre de gravité du
% %   triangle~$BEG$.
% % \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(DF)$, puis
% %   jutifier que $\Omega$ appartient à cette droite.
% % \end{enumerate}
% % \medskip
% {\bf Partie C.}\medskip\\ 
% Dans l'espace muni d'un repère
% $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\,)$ on considère les droites
% $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ de représentations paramétriques:

% \[\mathscr{D}:
% \left\{\begin{array}{lll}
% x= -3+2t\\
% y= -1+5t\\
% z= -4t
% \end{array}\right. \ , t\in \mathbb{R}  \qquad \text{et} \qquad
% \mathscr{D}':
% \left\{\begin{array}{lll}
% x= 1+t\\
% y= -2-3t\\
% z= -8-2t
% \end{array}\right. \ , t\in\mathbb{R}
% \]
% \begin{enumerate}
% \item Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont-elles
%   parallèles? Justifier votre réponse.
% \item Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont-elles
%   sécantes? Justifier votre réponse.
% \end{enumerate}
% % \bigskip
% % %%%
% % %%%  CUBE:
% % \begin{center}
% %   \includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/cube.6}
% % \end{center}




%%%%%%%_______________ SPE____________
%%%_______________________________________
\exods{}{5}%%------------------------
%\hrule
\begin{center}
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}  
\end{center}

%{\footnotesize%
On pourra utiliser (en les citant) les propriétés $\mathscr{P}_1$
et~$\mathscr{P}_2$ suivantes:
\medskip \\
\fbox{%
 \parbox{0.75\linewidth}{%
\'Etant donn\'es deux entiers naturels $a$ et $b$ non nuls:\\
$\mathscr{P}_1$:\quad PGCD$(a~;~a+b)=\text{PGCD}(a~;~b)$.\\
\noindent
$\mathscr{P}_2$:\quad Si PGCD$(a~;~ b) = 1$, alors PGCD$(a^2~;~ b^2) = 1$.%
}%
}
\bigskip%\\
 
\noindent Une suite $\left(\text{S}_{n}\right)$ est d\'efinie pour $n
\in\mathbb{N}^*$ par:
\[
 \text{S}_{n}  = \displaystyle\sum_{p=1}^n p^3.
\] 
On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul $n$, le plus grand commun diviseur de S$_{n}$ et S$_{n+1}$.

\begin{enumerate}\item D\'emontrer que, pour tout $n > 0$, on a : S$_{n}  = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

\item \'Etude du cas où $n$ est pair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k$. 

\begin{enumerate}\item D\'emontrer que PGCD(S$_{2k}$~;~S$_{2k+1}) =  (2k+1)^2$PGCD$\left(k^2~;~(k+1)^2\right)$. 

\item Calculer PGCD $(k~;~ k + 1)$.

\item Calculer PGCD$\left(\text{S}_{2k}~;~ \text{S}_{2k+1}\right)$.

\end{enumerate}

\item \'Etude du cas où $n$ est impair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k+ 1.$

\begin{enumerate}\item D\'emontrer que les entiers $2k + 1$ et $2k +3$ sont premiers entre eux.

\item Calculer PGCD$\left(\text{S}_{2k+1}~;~ \text{S}_{2k+2}\right)$.

\end{enumerate}

\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes qu'il existe une unique valeur de $n$, que l'on d\'eterminera, pour laquelle S$_{n}$ et S$_{n+1}$ sont premiers entre eux.

\end{enumerate}
%}%fin du small

\newpage
\chead{ANNEXE}
\lfoot{\fbox{\textbf{Nom, classe:\phantom{Vincent PANTALONI
        $\dfrac12$de la Motte Piquet G, TS 1024 }}}}
\begin{center}
{\small \textbf{Cette page sera compl\'et\'ee et remise avec la copie avant la fin de l'\'epreuve}}

\bigskip
\textbf{ Annexe pour l'exercice \no 3}

\smallskip

%\textbf{Partie A}
%\smallskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$			&0	&1					&2					&3	&4	&5	&6	&7\\  \hline
$x_{n}$	&0	&0,2				&0,4				&	&	&	&	&\\  \hline
$y_{n}$	&0	&\nombre{0,8000}	&\nombre{1,4720}	&	&	&	&	& \\  \hline
\end{tabularx}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%\vspace{0.5cm}

%\textbf{Partie B}

\medskip

\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(2.5,2.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(2.4,2.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(2.5,2.5)
\end{pspicture}

\end{center}
% \medskip
% \begin{center}
% \textbf{Exercice 5 : Annexe}
% \end{center}
% \begin{center}
%   \includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/cube.6}
% \end{center}
\end{document}














%PROBA rejeté

On consid\`ere trois urnes U$_{1}$,~ U$_{2}$, et U$_{3}$.\\
L'urne U$_{1}$ contient deux boules noires et trois boules rouges ; l'urne U$_{2}$ contient une boule noire et quatre boules rouges  ; l'urne U$_{3}$ contient trois boules noires et quatre boules rouges.\\
Une exp\'erience consiste  \`a tirer au hasard une boule deéU$_{1}$ et une boule de~U$_{2}$,  \`a les mettre dans~U$_{3}$, puis  \`a tirer au hasard une boule de~U$_{3}$.\\
Pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 et 3, on d\'esigne par N$_{i}$, (respectivement R$_{i}$) l'\'ev\`enement \og on tire une boule noire de l'urne~U$_{i}$\fg{} (respectivement  \og on tire une boule rouge de l'urne~U$_{i}$\fg{}).

\begin{enumerate}\item Reproduire et compl\'eter l'arbre de probabilit\'es suivant :

\begin{center}\begin{pspicture}(6,7)
\psline{->}(0,3.5)(1.9,1.5) \psline{->}(0,3.5)(1.9,5.5)
\psline{->}(2.3,1.5)(3.9,0.5)  \psline{->}(2.3,1.5)(3.9,2.5)
\psline{->}(2.3,5.5)(3.9,4.5)   \psline{->}(2.3,5.5)(3.9,6.5) 
\psline{->}(4.3,6.5)(6,7)   \psline{->}(4.3,6.5)(6,6) 
\psline{->}(4.3,4.5)(6,5)   \psline{->}(4.3,4.5)(6,4) 
\psline{->}(4.3,2.5)(6,3)   \psline{->}(4.3,2.5)(6,2) 
\psline{->}(4.3,0.5)(6,1)   \psline{->}(4.3,0.5)(6,0) 
\rput(2.1,1.5){R$_{1}$}  \rput(2.1,5.5){N$_{1}$} 
\rput(4.1,0.5){R$_{2}$}  \rput(4.1,2.5){N$_{2}$}   
\rput(4.1,4.5){R$_{2}$}   \rput(4.1,6.5){N$_{2}$} 
\rput(6.2,0){R$_{3}$}   \rput(6.2,1){N$_{3}$}  
\rput(6.2,2){R$_{3}$}  \rput(6.2,3){N$_{3}$}  
\rput(6.2,4){R$_{3}$}  \rput(6.2,5){N$_{3}$}  
\rput(6.2,6){R$_{3}$}  \rput(6.2,7){N$_{3}$}                 
\end{pspicture} \end{center}

\item \begin{enumerate}\item Calculer la probabilit\'e des deux \'ev\'enements: $\text{N}_{1}  \cap \text{N}_{2}\cap  \text{N}_{3}$ et $\text{N}_{1}  \cap \text{R}_{2}\cap  \text{N}_{3}$.

\item En d\'eduire la probabilit\'e de l'\'ev\'enement $\text{N}_{1} \cap  \text{N}_{3}$.

\item Calculer de fa\c{c}on analogue la probabilit\'e de l'\'ev\'enement $\text{R}_{1} \cap  \text{N}_{3}$.

\end{enumerate}

\item D\'eduire de la question pr\'ec\'edente la probabilit\'e de l'\'ev\'enement N$_{3}$.

\item Les \'ev\'enements N$_{1}$ et N$_{3}$ sont-ils ind\'ependants ?

\item Sachant que la boule tir\'ee dans U$_{3}$ est noire, quelle est la probabilit\'e que la boule tir\'ee de~U$_{1}$ soit rouge ?

\end{enumerate}