\documentclass[a4paper,10pt]{book}
\usepackage[]{pan_pan}

\usepackage{eso-pic} %pour filigrane
\usepackage{minitoc}

\usepackage[marginratio=1:1,textwidth=15cm,textheight=24.5cm,marginparwidth=12pt,headheight=3cm]{geometry}

\usepackage[dvips,ps2pdf,colorlinks=false]{hyperref} %gestions des hyperliens dans un document .dvi

\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}}
\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}

% Raccourcis qui ne sont pas dans pan_pan.sty
\newcommand{\coordp}[2]{%
	\left(\begin{array}{c}
	#1 \\ #2
	\end{array}\right)%
}
\newsavebox{\fmbox}
%
\newenvironment{encadrer}{%
\smallskip \par \noindent
%\vspace{1em} \noindent
    \begin{lrbox}{\fmbox}\begin{minipage}{.98\linewidth}}
    {%\vspace{1em}
    \end{minipage}\end{lrbox}\fbox{\usebox{\fmbox}}
	\vspace{0.2em}
	%\vspace{1em minus .5em }
	}

%%
%% Pour en faire un BOOKLET A5
%%
% Suppose your source code is in the file Tous_les_exos_de_VP.tex, then the following
% commands typed into the command prompt will convert the file into an
% A5 booklet: 
%
% latex AAA_Tout_le_cours_Seconde.tex
% latex AAA_Tout_le_cours_Seconde.tex
% dvips -o AAA_Tout_le_cours_Seconde.ps AAA_Tout_le_cours_Seconde.dvi
% psbook AAA_Tout_le_cours_Seconde.ps AAA_Tout_le_cours_Seconde.bk.ps
% psnup -2 AAA_Tout_le_cours_Seconde.bk.ps AAA_Tout_le_cours_Seconde.booklet.ps
% En pdf ensuite avec ps2pdf:
% ps2pdf AAA_Tout_le_cours_Seconde.booklet.ps AAA_Tout_le_cours_Seconde.booklet.pdf

%  The resulting file exam.booklet.ps should then be printed doubled-sided, stapled down the middle, and folded to produce an A5 booklet. The paper size can be changed by using different command line options, see the psutils documentation for more information.

%% Chemins des images
%\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.10}
%penser à Command/File pour creer un .ps pour Metapost
%\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Fig_num/FIGURE_(99)}}


%%% Reste à faire:
%
%  1) chercher et remplacer les includegraphics par un environnement
%  figure puis \tableoffigures
%  2) Donner les ref des exos concernés à chaque partie... du livre
%  aussi (?)
%  3) Répertorier les exos séparément ? En faire une toc? Corrections
%  en fin d'ouvrage?
%  4) Faire un index et donc référencer des mots clefs
%  
%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Style du livre AMS-math
%%%%

\renewcommand{\sectionmark}[1]%
   {\markboth{\MakeUppercase{\thechapter.\ #1}}{}}
\renewcommand{\sectionmark}[1]%
   {\markright{\MakeUppercase{\thesection.\ #1}}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\newcommand{\Police}{%
   \fontfamily{%
%lmr
pag%style des hauts de page en avant garde small caps
}\fontseries{m}\fontshape{sc}\fontsize{9}{11}\selectfont}
\fancyhf{}
\fancyhead[LE,RO]{\Police \thepage}
\fancyhead[LO]{\Police \rightmark}
\fancyhead[RE]{\Police \leftmark}
%%%%%%%%%%%
\title{%
{\bf Cours de Mathématiques en \seconde}}
%\\rule{0cm}{1cm}\noindent\begin{center}
%includegraphics[width=7cm]{petite_frise_bague_viking}
%end{center}}
\author{Vincent PANTALONI}
\date{{\small {\Police Version du \today}}}
%\renewcommand{\iff}{\Longleftrightarrow}
%%%%
%\makeindex
%\setcounter{minitocdepth}{2}
\begin{document}
\frontmatter
\lfoot{\Pdpmail}
\rfoot{{\small {\Police Version du \today}}}
\AddToShipoutPicture*{\AtTextUpperLeft{\rotatebox{270}{\
      \includegraphics[scale=0.5]{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Fig_num/FIGURE_(111)%
%Rectangle_d_or%
}}}}
\maketitle
\dominitoc
\tableofcontents

%\AddToShipoutPicture*{\AtTextLowerLeft{\includegraphics[width=16cm]{petite_frise_bague_viking}}}
%\listoffigures

\mainmatter
\lfoot{}
\rfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%---------oo00OO§§§OO00oo----------%%%%%%%%%%%
%%                     DEBUT DU TEXTE                    %%
%%%%%%%%%%%%%%---------oo00OO§§§OO00oo----------%%%%%%%%%%%

\chapter{Nombres et calculs}
%\minitoc
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \centrage{Module:}
%% \Marge{Module:}
\section{Ensembles de nombres}
\subsection{Ensemble des réels}
\begin{Def} On note $\R$ l'ensemble des nombres connus. \end{Def}
\begin{Def} On note $\R^*$ l'ensemble des réels non nuls ($\R$ privé de zéro). \end{Def}
Représentation par une droite graduée (orientée, munie d'un repère). Placer sur cette droite les points:
\[ A(-2)\qquad B(-\frac32)\qquad C(\pi)\qquad D(\frac73)\qquad E(\sqrt2)\]
On s'intéresse maintenant à des sous ensembles de $\R$ qui sont donc des ensembles de réels particuliers:
%\subsection{Des réels particuliers}
\subsection{Ensemble des entiers naturels}
\begin{Def} On note $\N$\dots \end{Def}
Tout entier naturel est aussi un réel, on dit que l'ensemble des entiers naurels est \emph{inclus} dans l'ensemble des réels. On note: $\N\subset\R$
\subsection{Ensemble des entiers relatifs}
\begin{Def} On note $\Z$\dots\end{Def}
\subsection{Ensemble des rationnels} 
\begin{Def} On note $\Q$\dots\end{Def}
 
\paragraph{Ensemble des nombres décimaux} $\frac25$ et $\frac13$ sont des rationnels mais il y a une différence!
\begin{Def} On note $\Dr$\dots \end{Def}

On a finalement la suite d'inclusions:
\[\boxed{\N\subset \Z\subset\Dr\subset\Q\subset\R}\]
Ces inclusions sont strictes, citer des:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item \'Eléments de $\Z$ qui ne soient pas dans $\N$.
\item \'Eléments de $\Dr$ qui ne soient pas dans $\Z$.
\item \'Eléments de $\Q$ qui ne soient pas dans $\Dr$.
\item \'Eléments de $\R$ qui ne soient pas dans $\Q$. 
\end{list}
\subsection{Nombres irrationnels}
\begin{Def} \end{Def}
La somme ou le produit de deux irrationnels donnent-ils nécessairement un irrationnel? 
\Marge{Module:} $\sqrt2$ est irrationnel.
\section{Puissances et écriture scientifique}
\subsection{Règles sur les puissances}
\begin{Def} \end{Def}
\Marge{Calculette} Touche $\boxed{x^y}$ ou $\boxed{\wedge}$.
\begin{dingautolist}{172} 
\item $x^nx^p=x^{n+p}$
\item $\left(x^n\right)^p=x^{np}$

\item $x^ny^n=\left(xy\right)^n$
\item Pareil avec les fractions
\item Puissances négatives. On note: $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$
\end{dingautolist}
On vérifie que les trois premières règles s'apliquent pour des exposants négatifs
\subsection{Applications avec les puissances de 10}
\Marge{Calculette} Notation $10^x$ ou {\sc E} ou {\sc EE}. Affichage $3,53\times 10^2\longrightarrow$ {\tt 3.53E2}
\Bullet{Rappels: compter les zéros}
\subsection{\'Ecriture scientifique d'un décimal}
\begin{prop} Tout décimal peut s'écrire sous la forme:
\[A\times 10^n \text{ où } 1\leq A<10 \text{ et } n\in\Z\] \end{prop}
\subsection{Racine carrée}
\subsubsection{Définition}
\subsubsection{Règles}
\begin{dingautolist}{172} 
\item Produit
\item Quotient
\end{dingautolist}

\DangerZ Pas de formule pour $\sqrt{a+b}$
\subsubsection{Simplification des racines}
\begin{prop} Pour simplifier $\sqrt{n}$ où $n\in\N$, on met $n$ sous la forme $p^2q$ avec $p$ le plus grand entier naturel possible et on utilise que:
\[ \sqrt{n}=\sqrt{p^2q}=p\sqrt{q}\]
 \end{prop}
\exemple

\section{Nombres premiers}

\subsection{Critères de divisibilité}
\subsection{Définition, exemples}
Activité: essayer d'écrire 420 en un maximum de facteurs.
\subsection{Décomposition}
\subsubsection{Théorèmes d'Euclide}
\begin{theo} Tout nombre se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers. \end{theo}
\exemples 308 ($=2^2 \times 7\times 11$); 315 ($=3^2 \times 5\times 7$)
\begin{prop} Il existe une infinité de nombres premiers. \end{prop}
\subsubsection{Application: simplifications\dots}
\subsubsection{des racines carrées}
\subsubsection{des fractions}
\Marge{Module:} Crible d'\'Erathostène.


\section{Ordre dans $\R$}
\subsection{Réels positifs, négatifs}
Notation $\R^+$, $\R^-$
\subsection{Inégalités}
\subsubsection{Règles}
\begin{dingautolist}{172} 
\item On peut ajouter\dots \label{ineg_somme}
\item On peut multiplier\dots \label{ineg_prod}
\end{dingautolist}
\subsubsection{Résoudre des inéquations}
\subsection{Avec des carrés}
\begin{prop} Le carré d'un nombre réel est positif. Le seul carré nul est celui de zéro. 
\[ x\in\R\implies x^2\geq 0\]
\[x^2=0\iff x=0\]
\end{prop}
\begin{proof} On distingue deux cas. On utilise la règle~\ref{ineg_prod} \end{proof}
\begin{prop} Deux réels positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. 
\[0\leq a \leq b \implies 0\leq a^2\leq b^2\]\end{prop}
\begin{proof} On étudie le signe de la différence $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ \end{proof}
\exemple Justifier que $\sqrt 5 \geq 2$. Comparer sans calculette les deux réels: $2\sqrt 5+1$ et $3\sqrt 5 -1$.
Comparer pour $a$ positif les trois nombres: $a$, $a^2$ et $a^3$. Faire une conjecture.
\begin{prop} Soit $a$ un réel positif. 
  \begin{itemize}
  \item Si $a\geq 1$ alors $a^3\geq a^2\geq a$.
  \item Si $a\leq 1$ alors $a^3\leq a^2\leq a$.
  \end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof} On utilise la règle~\ref{ineg_prod} en multipliant par $a$ deux fois.\end{proof}
\subsection{Intervalles de $\R$}
\Marge{Poly.}
\subsection{Valeur absolue}
\Marge{Module} 
\begin{Def} On appelle valeur absolue du réel $x$ le réel positif noté $|x|$ tel que\dots\end{Def}

%%####
%%%#########################################
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \begin{dingautolist}{172} \item \end{dingautolist}

\chapter{Vecteurs et repérage dans le plan}
\Marge{Poly} \verb#Cours_Vecteurs_seconde.doc#
\section{Rappels sur les vecteurs}
\subsection{Vecteurs égaux}
Trois caractéristiques. Parallélogramme. Notion de représentant notation $\vu$.
\subsection{Addition de deux vecteurs}
\begin{dingautolist}{172} 
\item Bout à bout, c'est la relation de Chasles.
\item Règle du parallélogramme.
\item Cas de vecteurs de même direction.
\end{dingautolist}
\subsection{Vecteur nul, vecteurs opposés}
$\V{AB}+\V{BA}=\V{AA}=\V{0}$. Par analogie on note donc $\V{BA}=-\V{AB}$ et on dit que $\V{BA}$ est le vecteur opposé au vecteur $\V{AB}$.
\section{Multiplication d'un vecteur par un réel}
\Marge{Module}
\subsection{Caractéristiques de $k\vu$}
\subsection{Vecteurs colinéaires}
%%%%%%%###############
%Ceci est une copie du fichier ``standalone'' en 12pt CoursRepérage
\section{Repérage dans le plan}

\subsection{Base du plan, coordonnées d'un vecteur}
\noindent
\begin{minipage}{7cm}
\noindent%
%\input{CoursRep1.pst}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.3,-2.6)(4,3.65)
% Bordure
%\pspolygon(-3.3,-2.6)(-3.3,3.65)(4,3.65)(4,-2.6)
%  (Grille)
\newrgbcolor{LineColor}{0.1529 0.1529 0.1529}%
\psset{linecolor=LineColor,linewidth=0.2pt}
\multips(0,-2.1)(0.35,0){11}{\qline(0,0)(0,5.25)}
\multips(-0.35,-2.1)(-0.35,0){8}{\qline(0,0)(0,5.25)}
\multips(-2.8,0)(0,0.35){10}{\qline(0,0)(6.3,0)}
\multips(-2.8,-0.35)(0,-0.35){6}{\qline(0,0)(6.3,0)}
%I  (Ligne Polyg.)
\psset{linecolor=black,linewidth=0.8pt}
\psline{->}(-1.4,-0.7)(-0.7,1.4)
%J  (Ligne Polyg.)
\psline{->}(-2.1,-1.4)(-0,-1.4)
%L1  (Label)
\rput(-1.4,0.7){\small $\vec{\imath}$}
%L2  (Label)
\rput(-1.05,-1.61){\small $\vec{\jmath}$}
%U  (Ligne Polyg.)
\psline{->}(0,2.8)(1.75,-1.4)
%L3  (Label)
\rput(1.26,0.7){\small $\vec{u}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
%& & 
\hfill
\begin{minipage}{7cm}
Soient $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ deux vecteurs \textbf{non colinéaires} du plan. Tout vecteur $\vec{u}$ du plan peut s'exprimer comme combinaison des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$, et ceci de manière unique: ces deux vecteurs forment ce que l'on appelle une \textbf{base} du plan.\vspace{2ex}\\
Par exemple, ici, on a $\vec{u}=\dots \vec{\imath}+\dots \vec{\jmath}$
\end{minipage}
\vspace{-2ex}
\begin{encadrer}
\textbf{Théorème et définition:}\\
Deux vecteurs \textbf{non colinéaires} du plan forment ce que l'on
appelle une \textbf{base} du plan.\\ Dans cette base tout vecteur
$\vec{u}$ du plan se décompose de manière unique sous la
forme: 
\[\vec{u}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath} \quad\text{où}\quad x\in\R,\,
y\in\R \]
 On dira que $\vec{u}$ a pour \textbf{coordonnées} $x$ et $y$ dans la base $(\vec{\imath};\vec{\jmath})$. On notera: $\vec{u}\coordp{x}{y}$
\end{encadrer}
\vspace{-1ex}
\exemple Si $(\vec{\imath};\vec{\jmath})$ est une base du plan, alors:
\begin{list}{$\bullet$}
\item %
  $\vec{u}=5\vec{\imath}-\vec{\jmath}\Longleftrightarrow \vec{u}\coordp{\dots}{\dots}$
%\item %
\hfill
 $\vec{v}\coordp{-2}{\phantom{-}3}\Longleftrightarrow\vec{v}=\dots\vec{\imath}+\dots\vec{\jmath}$
\item %
$\vec{\imath}\coordp{\dots}{\dots}$, \quad $\vec{\jmath}\coordp{\dots}{\dots}$, \quad $\vec{0}\coordp{\dots}{\dots}$
\end{list}

Dans tout ce qui suit, le plan est muni d'une base $(\vec{\imath};\vec{\jmath})$\medskip\\

\begin{encadrer}
\textbf{Egalité de deux vecteurs:}\\
Deux vecteurs sont égaux \emph{ssi} leurs coordonnées sont égales.\\
$\vec{u}\coordp{x}{y}$ et $\vec{v}\coordp{x'}{y'}$ sont égaux \emph{ssi} $x=x'$ et $y=y'$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}
\textbf{Somme de deux vecteurs:}\\
Soit $\vec{w}$ la somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Les coordonnées de $\vec{w}$ sont les sommes des coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$:\\
Si $\vec{u}\coordp{x}{y}$ et $\vec{v}\coordp{x'}{y'}$, alors $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\vec{w}\coordp{x+x'}{y+y'}$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}
\textbf{Produit d'un vecteur par un réel:}\\
Soit $\vec{u}$ un vecteur et $k$ un nombre réel.\\
Si $\vec{u}\coordp{x}{y}$ alors le vecteur $\vec{w}=k\vec{u}$ a pour coordonnées $\vec{w}\coordp{kx}{ky}$.
\end{encadrer}
\vspace{-1ex}
\exemple Si $\vec{u}\coordp{\phantom{-}1}{-3}$ et $\vec{v}\coordp{5}{3}$ alors:
%\vspace{-2ex}
\begin{multicols}{4}
$-\vec{u}\coordp{\dots}{\dots}$\\
$5\vec{v}\coordp{\dots}{\dots}$\\
$\vec{u}+\vec{v}\coordp{\dots}{\dots}$\\
$-\vec{u}+5\vec{v}\coordp{\dots}{\dots}$
\end{multicols}
\vspace{-2ex}
\subsection{Colinéarité de deux vecteurs}

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan, de coordonnées $\vec{u}\coordp{x}{y}$ et $\vec{v}\coordp{x'}{y'}$ \\
Dire que ces deux vecteurs sont \textbf{colinéaires} revient à dire
qu'il existe un réel $k$ non nul tel que $\vec{v}=k\vec{u}$. ceci se
traduit au niveau des coordonnées par $x'=kx$ et $y'=ky$; autrement
dit, les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
\textbf{proportionnelles}. Les produits en croix sont donc égaux:
$xy'=x'y$. Si un des vecteurs est nul, l'égalité tient encore.
\begin{encadrer}
\textbf{Définition:} Soit deux vecteurs $\vec{u}\coordp{x}{y}$ et
$\vec{v}\coordp{x'}{y'}$. On appelle  déterminant de $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ le réel:
$
\text{det}( \vec{u}\,;\vec{v}\,)= \left|%
\begin{array}{ll}
x&x'\\
y&y'\\
\end{array}
\right| =xy'-x'y
$
\end{encadrer}
\vspace{1ex}
\begin{encadrer}
\textbf{Condition de colinéarité de deux vecteurs:}\\
Les vecteurs $\vec{u}\coordp{x}{y}$ et $\vec{v}\coordp{x'}{y'}$ sont
colinéaires \emph{ssi} leur déterminant est nul.
\end{encadrer}

\exemple{\small Soit  $\vec{u}\coordp{\phantom{-}2}{-3}$ , $\vec{v}\coordp{-6}{\phantom{-}9}$ et
$\vec{w}\coordp{\phantom{-}5}{-7}$. On a $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires
mais pas $\vec{u}$ et $\vec{w}$:\medskip\\
$\text{det}( \vec{u}\,;\vec{v}\,)= \left|%
\begin{array}{ll}
\phantom{-}2& -6\\
-3& \phantom{-}9\\
\end{array}
\right| =%2\times9-(-3)\times(-6)=%
18-18=0%
%
\quad\text{et}\quad
%
\text{det}( \vec{u}\,;\vec{w}\,)= \left|%
\begin{array}{ll}
\phantom{-}2& \phantom{-}5\\
-3&-7\\
\end{array}
\right| =%2\times(-7)-(-3)\times 5=%
-14+15=1\neq 0
$
}

%\begin{list}{$\bullet$}
%\item Les vecteurs $\vec{u}\coordp{2}{-3}$ et $\vec{v}\coordp{-6}{9}$ sont colinéaires car: $2\times9-(-3)\times(-6)=18-18=0$.
%\item Les vecteurs $\vec{u}\coordp{2}{-3}$ et $\vec{w}\coordp{5}{-7}$ ne sont pas colinéaires car:  $2\times(-7)-(-3)\times 5=1\neq0$
%\end{list}

\subsection{Repères du plan, coordonnées d'un point}

\begin{encadrer}
\textbf{Définition:}\\
Un \textbf{repère} $\oij$ du plan est formé d'un point $O$, appelé
\textbf{origine} du repère, et d'une base de vecteurs
$(\vec{\imath};\vec{\jmath})$.
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item Lorsque les directions des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont \textbf{perpendiculaires}, on dit que le repère $\oij$ est \textbf{orthogonal}.
\item Lorsque, de plus, les normes des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont égales, on dit que le repère $\oij$ est \textbf{orthonormé}.
\end{list}
\end{encadrer}
%\vspace{-1ex}
\noindent
\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\begin{multicols}{3}
%\input{CoursRep2.pst}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.4)(-1,3.5)
%  (Grille)
\newrgbcolor{LineColor}{0.1529 0.1529 0.1529}%
\psset{linecolor=LineColor,linewidth=0.2pt}
\multips(-3.25,0.1)(0.25,0){8}{\qline(0,0)(0,3.4)}
\multips(-3.5,0.1)(-0.25,0){7}{\qline(0,0)(0,3.4)}
\multips(-5,1.75)(0,0.25){8}{\qline(0,0)(3.5,0)}
\multips(-5,1.5)(0,-0.25){6}{\qline(0,0)(3.5,0)}
%I1  (Ligne Polyg.)
\psset{linecolor=black,linewidth=0.8pt}
\psline{->}(-4,1)(-2.5,0.5)
%J1  (Ligne Polyg.)
\psline{->}(-4,1)(-2,2.5)
%L1  (Label)
%\rput(-3.25,3){\small \textbf{Repère quelconque:}}
%O1  (Label)
\rput(-4.2,1){\small $O$}
%M1  (Label)
\rput(-3.25,0.5){\small $\vec{\imath}$}
%N1  (Label)
\rput(-3.25,2){\small $\vec{\jmath}$}
\end{pspicture}
%%---------------------
% \input{CoursRep3.pst}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.4)(-1,3.5)
%  (Grille)
\newrgbcolor{LineColor}{0.1529 0.1529 0.1529}%
\psset{linecolor=LineColor,linewidth=0.2pt}
\multips(-3.25,0.1)(0.25,0){8}{\qline(0,0)(0,3.4)}
\multips(-3.5,0.1)(-0.25,0){7}{\qline(0,0)(0,3.4)}
\multips(-5,1.75)(0,0.25){8}{\qline(0,0)(3.5,0)}
\multips(-5,1.5)(0,-0.25){6}{\qline(0,0)(3.5,0)}
%I1  (Ligne Polyg.)
\psset{linecolor=black,linewidth=0.8pt}
\psline{->}(-4,1)(-2.5,0.5)
%J1  (Ligne Polyg.)
\psline{->}(-4,1)(-3.25,3.25)
%L1  (Label)
%\rput(-3.25,3.5){\small \textbf{Repère orthogonal:}}
%O1  (Label)
\rput(-4.2,1){\small $O$}
%M1  (Label)
\rput(-3.25,0.5){\small $\vec{\imath}$}
%N1  (Label)
\rput(-4,2){\small $\vec{\jmath}$}
\end{pspicture}
%%---------------------
%\input{CoursRep4.pst} 
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.4)(-1,3.5)
%  (Grille)
\newrgbcolor{LineColor}{0.1529 0.1529 0.1529}%
\psset{linecolor=LineColor,linewidth=0.2pt}
\multips(-3.25,0.1)(0.25,0){8}{\qline(0,0)(0,3.4)}
\multips(-3.5,0.1)(-0.25,0){7}{\qline(0,0)(0,3.4)}
\multips(-5,1.75)(0,0.25){8}{\qline(0,0)(3.5,0)}
\multips(-5,1.5)(0,-0.25){6}{\qline(0,0)(3.5,0)}
%I1  (Ligne Polyg.)
\psset{linecolor=black,linewidth=0.8pt}
\psline{->}(-4,1)(-2.5,0.5)
%J1  (Ligne Polyg.)
\psline{->}(-4,1)(-3.5,2.5)
%L1  (Label)
%O1  (Label)
\rput(-4.2,1){\small $O$}
%M1  (Label)
\rput(-3.25,0.5){\small $\vec{\imath}$}
%N1  (Label)
\rput(-4,2){\small $\vec{\jmath}$}
\end{pspicture}
%%---------------------
\end{multicols}
\vspace{-5ex}
\begin{multicols}{3}
 Repère quelconque\\
Repère orthogonal\\
 Repère orthonormé%
\end{multicols}
\end{center}
}%fin du parbox
\begin{encadrer}
\textbf{Coordonnées d'un point:}\\
Dire que le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère $\oij$ équivaut à dire que le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées $\coordp{x}{y}$ dans la base $(\vec{\imath};\vec{\jmath})$\\
Autrement dit, $M$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans $\oij$ $\Longleftrightarrow$
$\overrightarrow{OM}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$\\
$\bullet\ $ $x$ est l'\textbf{abscisse} du point $M$ dans le repère $\oij$ \\\noindent  
$\bullet\ $ $y$ est l'\textbf{ordonnée} du point $M$ dans le repère $\oij$
\end{encadrer}
\exemple

%\begin{tabular}{c c c}
\begin{minipage}{5cm}
%\input{CoursRep5.pst}
%-------------
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.4)(-1,4)

%  (Grille)
\newrgbcolor{LineColor}{0.1529 0.1529 0.1529}%
\psset{linecolor=LineColor,linewidth=0.2pt}
\multips(-3.25,0.1)(0.25,0){8}{\qline(0,0)(0,3.4)}
\multips(-3.5,0.1)(-0.25,0){7}{\qline(0,0)(0,3.4)}
\multips(-5,1.75)(0,0.25){8}{\qline(0,0)(3.5,0)}
\multips(-5,1.5)(0,-0.25){6}{\qline(0,0)(3.5,0)}
%I1  (Ligne Polyg.)
\psset{linecolor=black,linewidth=0.8pt}
\psline{->}(-4,1)(-2.5,0.5)
%J1  (Ligne Polyg.)
\psline{->}(-4,1)(-3.25,3.25)
%O1  (Label)
\rput(-4.2,1){\small $O$}
%M1  (Label)
\rput(-3.25,0.5){\small $\vec{\imath}$}
%N1  (Label)
\rput(-4,2){\small $\vec{\jmath}$}
%M  (Point(s))
\psset{dotstyle=+,dotsize=6pt 0}
\psdots(-2.5,3)(-4.75,1.25)
%I  (Label)
\rput(-2.25,0.5){\small $I$}
%J  (Label)
\rput(-3.25,3.5){\small $J$}
%A  (Label)
\rput(-2.25,3){\small $A$}
%B  (Label)
\rput(-4.75,1.5){\small $B$}
\end{pspicture}
%%-----------------------
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{9cm}
Dans le repère $\oij$:
\begin{list}{$\bullet$}
\item Le point $O$ a pour coordonnées $(\dots;\dots)$
\item Le point $I$ a pour coordonnées $(\dots;\dots)$
\item Le point $J$ a pour coordonnées $(\dots;\dots)$
\item Le point $A$ a pour coordonnées $(\dots;\dots)$
\item Le point $B$ a pour coordonnées $(\dots;\dots)$
\end{list}
\end{minipage}




\subsection{Calcul vectoriel dans un repère du plan}

Dans tout ce qui suit, le plan est muni d'un repère $\oij$:
\vspace{1ex}\\
\begin{encadrer}
\textbf{Coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$:}\\
Si $A$ a pour coordonnées $(x_A;y_A)$, et si $B$ a pour coordonnées $(x_B;y_B)$,\\ alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées \begin{center}
$\overrightarrow{AB}\coordp{x_B-x_A}{y_B-y_A}$
\end{center}
\end{encadrer}
%\vspace{-4ex}
\proof 
%$A(x_A;y_A)$ dans $\oij$ $\Longleftrightarrow \overrightarrow{OA}=x_A\vec{\imath}+y_A\vec{\jmath}$\\
%$B(x_B;y_B)$ dans $\oij$ $\Longleftrightarrow \overrightarrow{OB}=x_B\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath}$\\
D'après la relation de Chasles on a:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$. Ceci qui
permet de passer des coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ aux
coordonnées de $A$ et $B$:
\begin{align*} %
\overrightarrow{AB}
&=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\
&=-(x_A\vec{\imath}+y_A\vec{\jmath})+(x_B\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath})= -x_A\vec{\imath}-y_A\vec{\jmath}+x_B\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath}\\
\overrightarrow{AB}&= (x_B-x_A)\vec{\imath} + (y_B-y_A)\vec{\jmath}
\end{align*}
et donc, par définition, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\coordp{x_B-x_A}{y_B-y_A}$.

\exemple Si dans un repère $\oij$ du plan on a $A(5;-3)$,
$B(-1;6)$ et $C(7;2)$ alors on peut calculer les coordonnées de:

\begin{multicols}{3}
\noindent
$\phantom{-3}\overrightarrow{AB}\coordp{\dots}{\dots}$ \medskip\\
$-3\overrightarrow{AB}\coordp{\dots}{\dots}$ \\
%
$\phantom{2}\overrightarrow{AC}\coordp{\dots}{\dots}$ \medskip\\
 $2\overrightarrow{AC}\coordp{\dots}{\dots}$ \\
%
$\phantom{2}\phantom{-3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\coordp{\dots}{\dots}$\medskip\\
 $-3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\coordp{\dots}{\dots}$






\end{multicols}

\begin{encadrer}
\textbf{Coordonnées du milieu d'un segment:}\\
Si $A$ a pour coordonnées $(x_A;y_A)$, et si $B$ a pour coordonnées $(x_B;y_B)$,\\ alors le point $I$ milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées \begin{center}
$I\left(\cfrac{x_A+x_B}{2};\cfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
\end{center}
\end{encadrer}
\proof 
$I$ milieu de $[AB]$ $\Longleftrightarrow$
$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Notons
$(x_I;y_I)$ les coordonnées du point $I$.\medskip\\
\noindent
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AI}$ sont
$\coordp{\dots\dots\dots}{\dots\dots\dots}$, 
celles du vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ sont $\coordp{\dots\dots\dots}{\dots\dots\dots}$\medskip\\
\noindent
Ainsi, l'égalité vectorielle $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ équivaut à 
$\left\{\begin{array}{c c c}
\dots\dots\dots\dots&=& \dots\dots\dots\dots\dots\dots\\
\dots\dots\dots\dots &=& \dots\dots\dots\dots\dots\dots\\
\end{array}\right.$\\
qui donne bien $\left\{\begin{array}{c c c}
x_I &=& \frac{x_A+x_B}{2}\\
y_I &=& \frac{y_A+y_B}{2}\\
\end{array}\right.$
\medskip\\
\begin{encadrer}
\textbf{Distance dans un repère orthonormé:}\\
Soit $\oij$ un repère \textbf{orthonormé} du plan.\\ Si $A$ a pour coordonnées $(x_A;y_A)$, et si $B$ a pour coordonnées $(x_B;y_B)$, alors la distance entre $A$ et $B$ peut se calculer en utilisant la formule:
\begin{center}
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
\end{center}
(l'unité de longueur étant la norme des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$)
\end{encadrer}
\proof (Juste l'idée)\\
\noindent
\begin{minipage}{7cm}
%\begin{center}
%\input{CoursRep6.pst}
%----------------------
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.3,-1)(6,4)
%  (Axes)
\psset{linewidth=0.2pt}
\psline{->}(-0.8,0)(5.5,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,3.5)
%\def\Graduation(#1,#2,#3,#4){\rput[#4](#1,#2){\small $#3$}}%
\multips(0,-0.1)(1,0){6}{\qline(0,0)(0,0.2)}
%\Graduation(0,-0.31,0,c)
%\Graduation(1,-0.31,1,c)
%\Graduation(2,-0.31,2,c)
%\Graduation(3,-0.31,3,c)
%\Graduation(4,-0.31,4,c)
%\Graduation(5,-0.31,5,c)
\multips(-0.1,0)(0,1){4}{\qline(0,0)(0.2,0)}
%\Graduation(-0.205,0,0,r)
%\Graduation(-0.205,1,1,r)
%\Graduation(-0.205,2,2,r)
%\Graduation(-0.205,3,3,r)
%I  (Ligne Polyg.)
\psset{linewidth=1.2pt}
\psline{->}(0,0)(1,0)
%J  (Ligne Polyg.)
\psline{->}(0,0)(0,1)
%L1  (Label)
\rput(0.5,-0.25){\small $\vec{\imath}$}
%L2  (Label)
\rput(-0.25,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
%P  (Point(s))
\psset{dotstyle=+,dotsize=6pt 0}
\psdots(1.3,0.7)(4.6,3.1)(4.6,0.7)
%A  (Label)
\rput(1,0.9){\small $A$}
%B  (Label)
\rput(4.9,3.4){\small $B$}
%S  (Ligne Polyg.)
\psset{linewidth=0.8pt}
\psline(1.3,0.7)(4.6,3.1)
%T  (Ligne Polyg.)
\psset{linewidth=1.4pt,linestyle=dotted}
\psline(1.3,0.7)(4.6,0.7)(4.6,3.1)
%X1  (Ligne Polyg.)
\psset{linewidth=1pt}
\psline(1.3,0.7)(1.3,0)
%X2  (Ligne Polyg.)
\psline(4.6,0.7)(4.6,0)
%Y1  (Ligne Polyg.)
\psline(1.3,0.7)(0,0.7)
%Y2  (Ligne Polyg.)
\psline(4.6,3.1)(0,3.1)
%xA  (Label)
\rput(1.3,-0.2){\small $x_A$}
%xB  (Label)
\rput(4.6,-0.2){\small $x_B$}
%yA  (Label)
\rput(-0.6,0.7){\small $y_A$}
%yB  (Label)
\rput(-0.6,3.1){\small $y_B$}
%D1  (Label)
\rput(3,0.5){\small $x_B-x_A$}
%D2  (Label)
\rput(5.4,1.9){\small $y_B-y_A$}
%E  (Label)
\rput(4.9,0.7){\small $E$}
\end{pspicture}
%\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{\linewidth - 8.2cm}
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $AEB$ rectangle en $E$:
\begin{align*}
AB^2&=EA^2+EB^2\\
&=(\dots\dots\dots\dots)^2+(\dots\dots\dots\dots)^2
\end{align*}%
D'où la formule donnée ci-dessus.
\end{minipage}
\\

Par exemple, si on a $A(2;-1)$ et $B(-4;7)$ dans un repère orthonormé, alors $AB=\dotfill$

%%%%%%%###############
%\section{Repères et coordonnées dans le plan}
%\subsection{Différents repères}
%\subsection{Coordonnées de vecteurs, de points}
%\subsubsection{Définition}
%\subsubsection{Opérations sur les coordonnées}
%\subsubsection{Coordonnées d'un milieu}
%\subsubsection{Colinéarité et déterminant}
%%%%%%%%%%%%%

%%%#########################################
\chapter{Généralités sur les fonctions}
%\minitoc
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \begin{dingautolist}{172} \item \end{dingautolist}
\section{Définitions et aspect graphique}
\subsection{Qu'est-ce qu'une fonction}
\subsubsection{Transformation de nombres}
Une fonction est un objet mathématique qui transforme les nombres. On peut le voir comme une touche de calculette du type $\sqrt{\cdot}$ pour la fonction racine carrée.
On entre un nombre $x$ et il ressort $\sqrt{x}$. Par exemple: $25\longrightarrow \sqrt{\cdot}\longrightarrow 5$
 Cette fonction n'est définie que pour les $x$ positifs. Son ensemble de définition est $\intfo{0}{+\infty}$. Si on appelle {\tt sqrt} la fonction racine carrée, on note :
\[ 
\begin{array}{ll}
{\tt sqrt}: &\R^+ \to \R\\
      &x\mapsto \sqrt{x}
\end{array}
\]
On lit {\tt sqrt} est la fonction définie sur $\R^+$ qui à tout $x$ de $\R^+$ associe le réel $\sqrt x$. On peut aussi écrire: La fonction {\tt sqrt} est définie sur $\R^+$ par: ${\tt sqrt}(x)=\sqrt x$.
Plus généralement:
\begin{Def} Lorsqu'à tout nombre $x$ d'une partie $\Dr$ de $\R$ on associe un nombre $y$, on définit une fonction $f$ sur $\Dr$:
\[ 
\begin{array}{ll}
f: &\Dr \to \R\\
      &x\mapsto y=f(x)
\end{array}
\]
\end{Def}

\subsubsection{Vocabulaire}
Image, antécédent, ensemble de définiton.
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item $f(x)$ est appelée l'image de $x$ par $f$.
\item Si $y=f(x)$, on dit que $x$ est un antécédent de de $y$ par $f$.
\item 
\end{list}
\subsubsection{Exercices}
Si $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = -2x^2+x+3$
Quelles sont les images de 3 et de  2 par $f$ ? Calculer $f(-1)$. Quels sont les antécédents de 3?

\subsection{Courbe représentative de fonction}
\subsubsection{Tableau de valeurs}
Pour visualiser les variations d'une fonction f, on peut tracer sa courbe dans un repère. Mais pour cela il faut calculer des valeurs: Dans un tableau de valeurs il y a deux lignes : celles des $x$ et celles des $f(x)$ : Exemple cf Modules. On peut aussi tracer la courbe de la fonction carré $x\mapsto x^2$.
\subsubsection{Courbe}
On place ensuite dans un repère $\oij$ les points de coordonnées $\left(x ;f(x)\right)$ que l'on relie (sans règle). Formellement:
 \begin{Def} Soit $f$ une fonction définie sur $\Dr_f$. On appelle courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère $\oij$ l'ensemble des points de coordonnées $\left(x ;f(x)\right)$ où $x$ appartient à $\Dr_f$.\end{Def}
\exemple La fonction carré sur $\intf{-2}{2}$.
\subsubsection{Lecture graphique}
Sur cette courbe, donner une valeur approximative de $1,5^2$. 
Quels sont les antécédents de 4 par $f$ ? de 1 ? de -2? Résoudre $f(x)=1$.
\centrage{Ordre dans $\R$} On peut caser ce chapitre ici avant de continuer.
\section{Variations d'une fonction}
Dans ce paragraphe, $f$ désignera une fonction définie sur un \emph{intervalle} $I$ de $\R$.
\subsection{Fonction monotone sur un intervalle}
\subsubsection{Définitions}
\begin{Def} On dit que $f$ est croissante sur $I$ si $f$ conserve l'ordre, \ie{} pour tous $x_1$ et $x_2$ de $I$ on a l'implication:
\[ x_1 < x_2 \implies f(x_1)\leq f(x_2)\]
\end{Def}
Autrement dit, plus $x$ augmente, plus $f(x)$ augmente. On dit que $f$ est strictement croissante si on a:
\[ x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)\]
\DangerZ Attention aux signes stricts ou large.
\begin{Def} On dit que $f$ est décroissante sur $I$ si $f$ change l'ordre, \ie{} pour tous $x_1$ et $x_2$ de $I$ on a l'implication:
\[ x_1 < x_2 \implies f(x_1)\geq f(x_2)\]\end{Def}
Autrement dit, plus $x$ augmente, plus $f(x)$ diminue. On définit de même une fonction strictement décroissante.
\begin{Def} Si $f$ est croissante sur $I$ ou si elle est décroissante sur $I$, on dit que $f$ est monotone sur~$I$.\end{Def}
C'est à dire que $f$ est monotone sur $I$ si elle ne change pas de sens de variation sur~$I$.
\exemple La fonction carré n'est pas monotone sur $\R$ mais elle est décroissante sur $\R^-$ et croissante sur $\R^+$. Elle est donc montone sur chacun des intervalles $\intof{-\infty}{0}$ et~$\intfo{0}{+\infty}$.
\centrage{Méthode}
Comment prouver qu'une fonction est croissante (ou décroissante) sur un certain intervalle~$I$?
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|p{0.47\linewidth}|p{0.47\linewidth}|}
\hline
  \begin{center}
    Méthode générale
  \end{center} 
&
 \begin{center}
    Exemple: $f(x)=-2x-3$, définie sur $\R$.
  \end{center} \\ \hline
On écrit: Soit $x_1$ et $x_2$ dans $I$ tels que $x_1 < x_2$. 
& Soit $x_1$ et $x_2$ dans $\R$ tels que $x_1 < x_2$. \\ \hline
On établit une suite d'inégalités jusqu'à pouvoir comparer $f(x_1)$ et $f(x_2)$.
& $\begin{array}{ll}
x_1 < x_2 &\implies  -2x_1 > -2x_2\ \text{car}\ -2<0 \\
          &\implies  -2x_1-3 > -2x_2-3
\end{array} $ \\ \hline
On écrit une implication  du type:
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\  ?\ f(x_2)\]
Puis on conclut selon si $f$ change ou conserve l'ordre sur~$I$.
& On a donc:
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)\]
Ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\R$.\\ \hline

\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\subsubsection{Conséquences graphiques}
On voit sur la courbe de $f$ si elle est croissante ou décroissante sur~$I$. Si la courbe \og{} monte\fg{} c'est qu'elle est croissante, si elle \og{} descend \fg{} c'est qu'elle est décroissante.
\subsection{Tableau de variations}
On résume le sens de variation d'une fonction dans un tableau de variations. 
\exemple La fonction carré sur $\intf{-2}{2}$.
\subsection{Extrema}
\subsubsection{Maximum}
\begin{Def} Soit $a\in I$. On dit qu'une fonction $f$ admet un maximum en $a$ si pour tout $x$ de $I$ on a:
\[f(x)\leq f(a)\]  
Le maximum de $f$ sur $I$ est alors $f(a)$. 
\end{Def}
\DangerZ Ne pas confondre le maximum (qui est une valeur de $f(x)$) et la valeur $a$ de $x$ en laquelle $f$ atteint son maximum.
\DangerZ Si on a pour tout $x$ de $I$, $f(x)\leq 6$ on ne peut pas conclure que $f$ admet un maximum de 6 sur $I$ car on ne sait pas  si il existe $a$ tel que $f(a)=6$.
\subsubsection{Minimimum}

\begin{Def} Soit $a\in I$. On dit qu'une fonction $f$ admet un minimum en $a$ si pour tout $x$ de $I$ on a:
\[f(x)\geq f(a)\]  
Le minimum de $f$ sur $I$ est alors $f(a)$. 
\end{Def}

\begin{Def} Un maximum ou un minimum est appellé un extremum. (Un extremum, des extrema). 
\end{Def}
\exemple La fonction carré sur $\intf{-2}{2}$. Elle admet deux extrema: un minimum de 0 atteint en~0 et un maximum de 4 atteint en $-2$ et en~$2$.
\DangerZ On a aussi pour tout $x$ de $\intf{-2}{2}$, $x^2\leq 5$ mais 5 n'est pas le maximum de $f$ sur $\intf{-2}{2}$ car cette valeur n'est pas atteinte par~$f$ sur~$\intf{-2}{2}$.

\section{Résolutions graphiques}
On dispose dans cette partie de $\Cr_f$ et $\Cr_g$ les courbes respectives d'une fonction $f$ et d'une fonction $g$. Les fonctions $f$ et $g$ étant toutes deux définies sur un même intervalle~$I$.
\subsection{\'Equations}
\subsubsection{Résoudre graphiquement $f(x)=k$}
Résoudre  $f(x)=k$ sur $I$ signifie que l'on cherche les antécédents de $k$ par $f$ sur $I$.
\centrage{Méthode}
\begin{dingautolist}{172} 
\item On trace la droite horizontale $Dr$ d'équation $y=k$. 

\item On relève les abscisses des points d'intersection de $\Cr_f$ et~$\Dr$.
\item La solution est l'ensemble de ces abscisses, notée: $S=\{\dots\}$
\end{dingautolist}
Cas particulier, pour résoudre $f(x)=0$, on relève les points d'intersection de $\Cr_f$ et de l'axe des abscisses.
\subsubsection{Résoudre graphiquement $f(x)=g(x)$}
\begin{dingautolist}{172} 
\item On relève les abscisses des points d'intersection de $\Cr_f$ et~$\Dr$.
\item La solution est l'ensemble de ces abscisses, notée: $S=\{\dots\}$
\end{dingautolist}
\subsection{Inéquations}
\subsubsection{Résoudre graphiquement $f(x)\leq k$}
\begin{dingautolist}{172} 
\item On trace la droite horizontale $\Dr$ d'équation $y=k$. 

\item On relève les abscisses des points  de $\Cr_f$ qui sont en dessous de~$\Dr$.
\item La solution est l'ensemble de ces abscisses, c'est un intervalle ou une union d'intervalles, ou l'ensemble vide, noté~$\emptyset$.
\end{dingautolist}
\subsubsection{Résoudre graphiquement $f(x)\leq g(x)$}
Même principe, on relève les abscisses des points de $\Cr_f$ qui sont en dessous de~$\Cr_g$.
%%%#########################################
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \begin{dingautolist}{172} \item \end{dingautolist}

\chapter{Triangles isométriques, triangles semblables}
%\minitoc
\section{Transformations isométriques}
\subsection{Définition, exemples}
Isométrique signifie même (iso) mesure (métrie).
\begin{Def} \label{def.isom}C'est une transformation du plan qui ne change pas les distances. \end{Def}
On utilisera la notation et le vocabulaie des fonctions. Soit $\Fr$ est une transformation du plan qui transforme un point $M$ en un point $M'$.
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item On notera: $\Fr(M)=M'$ ou $\Fr: M\mapsto M'$
\item On dira que $M'$ est l'image de $M$ par $\Fr$.
\item On dira que $M$ est un antécédent de $M'$ par $\Fr$.
\end{list}
La définition~\ref{def.isom} signifie alors que si $\Fr(A)=A'$ et $\Fr(B)=B'$ alors $A'B'=AB$.
\exemples Les translations, symétries axiales, symétries centrales, rotations sont des transformations isométriques.
\exemple Soit un segment $[AB]$ de milieu $I$. On note $\Sr$ la symétrie de centre $I$. Alors on a:
\[\Sr(A)=B\qquad \Sr(B)=A\qquad \Sr(I)=I\]
\subsection{Propriétés}
\begin{prop} \label{prop.isom}On admet les propiétés suivantes, valable pour toute isométrie:
\begin{dingautolist}{172}
 \item L'image d'un segment est un segment de même longueur.
 \item La composée de deux isométries est une isométrie.

 \item L'image d'une droite par une isométrie est encore une droite.
 \item Les angles sont conservés.
 \item Les aires sont conservées.
\end{dingautolist}
\end{prop}
\exemples Si $\Fr$ est une isométrie telle que: 
\[ \Fr(A)=A'\qquad \Fr(B)=B'\qquad \Fr(C)=C'\]
Alors:\newline
$
\begin{array}{llll}
\Fr\left([AB]\right)=[A'B']\quad \et{}\quad A'B'=AB\\
\Fr\left((AB)\right)=(A'B')\\
\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}\\
\text{L'aire des triangles $ABC$ est la même que l'aire de $A'B'C'$}
\end{array}
$
\subsection{Quatre transformations isométriques}
On a rappelé les quatre transformations vues au collège.
\Marge{cf. livre} page $214$
\subsection{Utilisation en géométrie}
On peut se servir de transformations pour prouver des égalités de longueur, ou des alignements de points.
\exercice $ABCD$ est un carré. On construit $E$ et $F$ tels que $BEC$ soit équilatéral, à l'intérieur du carré et $DFC$ équilatéral, extérieur au carré. On veut prouver que $A$, $E$ et $F$ sont alignés. Soit $G$ tel que $ACG$ soit équilatéral avec $G$ plus près de $B$ que de $D$. On considère la rotation $\Rr$ de centre $C$ et d'angle $60$°
\section{Triangles isométriques}

%Soient $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles de côtés respectifs $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ et $a'=B'C'$, $b'=A'C'$, $c'=A'B'$.
\subsection{Définition, exemples}

\begin{Def} On dit que $ABC$ et $A'B'C'$ sont isométriques si leurs côtés sont égaux deux à deux. 
\end{Def}

\exemple Si $AB=IJ$, $AC=JK$ et $BC=IK$ alors $ABC$ et $IJK$ sont isométriques. On dresse alors un tableau de correspondance des sommets en utilisant ces égalités:

\begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$A$&$B$&$C$\\ \hline
$J$&$I$&$K$ \\ \hline
\end{tabular}
\caption{Tableau de correspondance des sommets}
\label{tab:corres.sommets.triso}
\end{table}
\exercice Soit $ABC$ et $IJK$ deux triangles isométriques tels que: $AB=IK$ et $BC=JK$. Dresser un tableau de correspondance des sommets. Quelle troisième égalité en déduit--on?
\exercice 
\begin{minipage}{0.75\linewidth}
Soit $ABC$ et $IJK$ deux triangles isométriques tels qu'on ait le tableau de correspondance ci-contre. Donner les trois égalités de longueurs que l'on peut en déduire.
\end{minipage}\hfill%
\begin{minipage}{0.20\linewidth}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$A$&$B$&$C$\\ \hline
$K$&$J$&$I$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\exercice \label{exo.triso.para}Soit $ABCD$ un parallélogramme. Prouver que $ABC$ et $ACD$ sont isométriques et dresser un tableau de correspondance des sommets.

\subsection{Transformation par une isométrie}
\begin{prop} Soit $\Fr$ une isométrie, $ABC$ un triangle. On note:\[\Fr(A)=A'\qquad \Fr(B)=B'\qquad \Fr(C)=C'\] 
Alors $ABC$ et $A'B'C'$ sont isométriques et on a le tableau  de correspondance des sommets suivant:  
\[ 
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$A$&$B$&$C$\\ \hline
$A'$&$B'$&$C'$ \\ \hline
\end{tabular}\]
\end{prop}
\begin{proof} \'Evident. \end{proof}
\exercice Traiter l'exercice~\ref{exo.triso.para} avec cette propriété.
\begin{prop}[Réciproque]  \label{prop.triso.isom}Si deux triangles  $ABC$ et $A'B'C'$ sont isométriques avec $AB=A'B'$, $AC=A'C'$ et $BC=B'C'$ alors il existe une isométrie $\Fr$ telle que:
\[ \Fr(A)=A'\qquad \Fr(B)=B'\qquad \Fr(C)=C' \]\end{prop}
\begin{proof} Pas \'evident. Voici une illustration par des composées d'isométries.\newline cf. poly. \verb#Triso_Illustration_trois_prop_caractéristiques.doc# \end{proof}

\subsection{Propriétés caractéristiques}
\Marge{Poly}\verb#Triso_Illustration_trois_prop_caractéristiques.doc#
\begin{prop}[Propriétés caractéristiques] Les trois propriétés suivantes servent à prouver que des triangles sont isométriques:
\begin{dingautolist}{172} 
\item Deux triangles qui ont leurs trois côtés égaux deux à deux sont isométriques
\item Deux triangles qui ont deux côtés égaux deux à deux ainsi que la même mesure d'angle entre ces côté sont isométriques.
\item Deux triangles qui ont en commun une mesure de côté ainsi que les deux angles adjacents à ce côté sont isométriques.
\end{dingautolist}
\end{prop}
\begin{rem} La première est la définition de deux triangles isométriques. \end{rem}

\section{Triangles semblables}
\subsection{Définition, exemples.}
\begin{Def} Deux triangles qui ont leurs trois angles égaux deux à deux sont dit semblables ou de même forme.
 \end{Def}
\exemples 
\begin{dingautolist}{172} 
\item Deux triangles équilatéraux sont semblables.
\item Deux triangles isocèles rectangles sont semblables.
\item \label{iso.sembl}Deux triangles isométriques sont semblables.
\end{dingautolist}
\DangerZ La réciproque du~\ref{iso.sembl} est fausse!

\begin{prop}[Deux angles suffisent] Comme la somme des angles d'un triangle vaut $180$°, deux triangles sont semblables ssi ils ont deux mesures d'angles en commun. \end{prop}
\begin{proof} Si $ABC$ et $IJK$ sont deux triangles tels que $\widehat{A}=\widehat{I}$ et $\widehat{B}=\widehat{J}$ alors:
\[ \widehat{C}=180-(\widehat{A}+\widehat{B})=180-(\widehat{I}+\widehat{J})=\widehat{K}\]
La réciproque est évidente. Qui peut le plus peut le moins!
\end{proof}
On dresse encore un tableau de correspondance des sommets en faisant correspondre les sommets dont les angles sont égaux.
\exemple Si $ABC$ et $IJK$ sont deux triangles tels que $\widehat{A}=\widehat{I}$ et $\widehat{B}=\widehat{J}$ alors ils sont semblables et on note:
\[ 
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$A$&$B$&$C$\\ \hline
$I$&$J$&$K$ \\ \hline
\end{tabular}
\]
\DangerZ On ne déduit pas de ce tableau des égalités de longueur. On vavoir que ce sont des rapports de longueurs qui sont égaux.
\subsection{Rapport de similitude}
Soit $ABC$ et  $IJK$ sont deux triangles tels que $\widehat{A}=\widehat{I}$ et $\widehat{B}=\widehat{J}$.
\subsubsection{On se ramène à une configuration de Thalès}
Comme on a fait dans la preuve de la propriété~\ref{prop.triso.isom} à l'aide d'une isométrie $\Fr$ on peut se ramener à une situation où:
\[ \Fr(A)=A'\qquad \Fr(B)=B'\qquad \Fr(C)=C'\]
et:
\begin{dingautolist}{172} 
\item $ABC$ et $A'B'C'$ sont donc isométriques avec $AB=A'B'$, $AC=A'C'$, $BC=B'C'$.
\item $A'B'C'$ et $IJK$ sont dans une configuration de Thalès où $A'$ et $I$ sont confondus.
\end{dingautolist}
\begin{figure}[htbp]
  \centering
\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Geometrie.5}
%{ \Huge Figure à tracer}
  \caption{On se ramène à une configuration de Thalès}
  \label{fig:conf.thales}
\end{figure}

 \begin{proof} On admet que $I$, $B'$, $J$ sont alignés, ainsi que $I$, $C'$, $K$, et dans le même ordre. On prouve le deuxième point \ie{} $(B'C')%\varparallel %Trouver le bon package pour \varparallel
\parallele%
(JK)$.\newline
$ABC$ et $A'B'C'$ étant isométriques ils ont leurs angles deux à deux égaux. $ABC$ et $IJK$ étant semblables ils ont aussi leurs angles deux à deux égaux. Donc on a:
\[ \widehat{B'IC'}=\widehat{JIK}\]
Ainsi les droites $(B'C')$ et $(JK)$ sont parallèles.
 \end{proof}
\subsubsection{Proportionalité des côtés}
On utilise la figure~\ref{fig:conf.thales} pour en déduire:
\begin{prop}[Rapports égaux] 
Si deux triangles $ABC$ et  $IJK$ sont tels que $\widehat{A}=\widehat{I}$ et $\widehat{B}=\widehat{J}$, alors on a les égalités de rapports:
\[ \frac{AB}{IJ}=\frac{AC}{IK}=\frac{BC}{JK}\]
\end{prop}

\begin{proof} 
Grace à la configuration de Thalès on en déduit les égalités:
\[ \frac{A'B'}{IJ}=\frac{A'C'}{IK}=\frac{B'C'}{JK}\]
Et comme $AB=A'B'$, $AC=A'C'$, $BC=B'C'$ on en déduit l'égalité voulue.
\end{proof}

\begin{rem} On trouve facilement ces égalités  l'aide du tableau de corresondance de sommets. \end{rem}

\begin{Def} Dans ce cas le réel positif $k$ qui est égal à $\frac{AB}{IJ}$ s'appelle le rapport de similitude pour passer du triangle $IJK$ au triangle $ABC$
\end{Def}
On a donc:
\[ 
\left\{
\begin{array}{lll}
AB=k\times IJ\\
AC=k\times IK\\
BC=k\times JK
\end{array}
\right.
\]

\begin{rem} Le rapport de similitude $k$ apparait alors comme le coefficient de proportionnalité entre les côtés des deux triangles $ABC$ et $IJK$.\end{rem}
\Bullet{Trois cas}
\begin{dingautolist}{172} 
\item Si $k>1$ alors $k$ est un rapport d'agrandissement, \ie{} $ABC$ est plus grand que~$IJK$.
\item Si $0<k<1$ alors $k$ est un rapport de réduction, \ie{} $ABC$ est plus petit que~$IJK$.
\item Si $k=1$ alors $ABC$ et $IJK$ sont isométriques!
\end{dingautolist}


\subsection{Relation entre les aires}
\begin{prop} Si deux triangles $ABC$ et  $IJK$ sont semblables et que $k$ désigne le rapport de similitude pour passer du triangle $IJK$ au triangle $ABC$. 
Alors on a:
\[ \Ar_{ABC}=k^2\times\Ar_{IJK}\]
 \end{prop}

\begin{proof} On suppose que l'on a le tableau de correspondance
\[ \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$A$&$B$&$C$\\ \hline
$I$&$J$&$K$ \\ \hline
\end{tabular} \qquad \text{et donc: }\qquad
\left\{
\begin{array}{lll}
AB=k\times IJ\\
AC=k\times IK\\
BC=k\times JK
\end{array}
\right.
\]
On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans $ABC$ et $H'$ le pied de la hauteur issue de $I$ dans $IJK$. Alors $AHB$ et $IH'J$ sont semblables car ils ont deux angles en commun:
\[ \widehat{ABH}=\widehat{IJH'}\qquad \et{}\qquad \widehat{AHB}=\widehat{IH'J}=90\text{°} \]
On a donc le tableau: \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$A$&$H$&$B$\\ \hline
$I$&$H'$&$J$ \\ \hline
\end{tabular}
On en déduit l'égalité: $\displaystyle \frac{AH}{IH'}=\frac{AB}{IJ}=k$. Donc $AH=k\times IH'$, ainsi:
\[ \Ar_{ABC}=\frac12\times BC\times AH=\frac12\times kJK\times kIH'=k^2\times\left(\frac12\times JK\times IH'\right)= k^2\times \Ar_{IJK} \]

\end{proof}
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \begin{dingautolist}{172} \item \end{dingautolist}
%%#################################
\chapter{Droites du plan}
%\minitoc
\section{\'Equations cartésiennes de droite}
\subsection{Vecteur directeur}

%Toutes les droites ont elles une équation qui peut se mettre sous la forme $y=ax+b$? Pas si elle sont parallèles à $(Oy)$ en tout cas!
On se donne un repère $\oij$ du plan, soit une droite $\Dr$ du plan.
 On cherche une équation de la droite $\Dr$ \ie{} une égalité reliant des coordonnées $x$ et $y$, qui est réalisée ssi  $M(x;y)$ appartient à la droite~$\Dr$.
\begin{Def} Pour tous points distincts $A$ et $B$ sur $\Dr$, on dit qu'un vecteur non nul $\vu$ est un  vecteur directeur de $\Dr$ si $\vu$ et $\V{AB}$ sont colinéaires. \end{Def}
\begin{rem} Comme son nom l'indique, un veteur directeur d'une droite $\Dr$ a la même direction que~$\Dr$.
\end{rem}
\begin{rem} Pour tous points distincts $A$ et $B$ sur $\Dr$, le vecteur $\V{AB}$ est un vecteur directeur de~$\Dr$. 
\end{rem}
\begin{rem} Si $\vu$ est un vecteur directeur de $\Dr$, tout vecteur non nul colinéaire à $\vu$ est encore un vecteur directeur de~$\Dr$. \end{rem}

\subsection{Caractérisation vectorielle}
\begin{prop} Une droite est caractérisée par un point et un vecteur directeur.\end{prop}
\ie{} Il existe une unique droite passant par un point donnée $A$ et ayant un vecteur donné $\vu$ comme vecteur directeur. Plus précisément:
\begin{prop} Soit $A$ un point et $\vu$ un vecteur non nul. La droite $\Dr$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vu$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\V{AM}$ et $\vu$ sont colinéaires, \ie{}:
\[ M\in\Dr\iff \det (\vu;\,\V{AM})=0 \]
 \end{prop}
\subsection{\'Equations cartésiennes de droite}
On se donne deux points distincts $A(x_A;\,y_A)$ et $B(x_B;\,y_B)$ sur $\Dr$. Donc $\Dr=(AB)$. L'ensemble des points $M(x;y)$ qui appartiennent à $(AB)$ est tel que $\det (\V{AB};\V{AM})=0$.

\[ \V{AB}\cp{x_B-x_A}{y_B-y_A}\quad\et{}\quad \V{AM}\cp{x-x_A}{y-y_A}\]
\[\text{D'où:}\quad \det (\V{AB};\V{AM})=(x_B-x_A)(y-y_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=ax+by+c
\]
Où $a$, $b$, $c$ sont des constantes qui s'expriment en fonction des coordonnées de $A$ et~$B$. Plus précisément: $a=y_A-y_B$ et $b=x_B-x_A$. On en déduit:
\begin{prop} \label{eq.cart}Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme: $\boxed{ax+by+c=0}$ avec $a$ ou $b$ non nul. 
\end{prop}
\begin{proof} On l'a prouvé avant. Il reste à voir que $a$ ou $b$ n'est pas nul. On avait $a=y_A-y_B$ et $b=x_B-x_A$. Comme $A$ et $B$ sont distincts, ils n'ont pas leurs deux coordonnées identiques, donc $a$ ou $b$ est non nul. \end{proof}
\begin{prop}  \label{prop.eq.cart.vect.dir}Réciproquement, toute équation de la forme $ax+by+c=0$ est bien celle dune droite dont un vecteur directeur est $\vu\cp{-b}{a}$. 
\end{prop}
\DangerZ Une droite donnée n'a pas une unique équation cartésienne.
\exercice \label{exo.eq.cart}Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ où $A(3;2)$ et $B(-1;4)$.
Soit $M(x;\,y)$. On a donc: $\V{AB}\cp{-4}{2}$ et $\V{AM}\cp{x-3}{y-2}$.  $M\in (AB) \iff \det (\V{AB};\V{AM})=0$ d'où:
\[ M\in (AB) \iff -4(y-2)-2(x-3)=0 \iff -2x-4y +14 =0\]
Ainsi une équation cartésienne de $(AB)$ est $-2x-4y +14 =0$ mais en divisant par $-2$, on en a une autre: $x+2y-7=0$

\section{\'Equation réduite de droite}
\begin{prop}  Toute droite du plan admet une équation réduite de l'une des deux formes:
\begin{dingautolist}{172} 
\item $y=mx+p$
\item $x=x_0$
\end{dingautolist}
Où $m$, $p$, $x_0$ sont des constantes réelles.
\end{prop}

 \begin{proof}On part de la propriété~\ref{eq.cart}. On distingue deux cas:
\begin{dingautolist}{172} 
\item Si $b\neq 0$, alors $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ qui est bien de la forme $y=mx+p$.
\item Si $b= 0$, alors $a\neq 0$ par la propriété~\ref{eq.cart} et on a une équation du type: $ax+c=0\implies x=-\frac{c}{a}$ qui est bien de la forme: $x=x_0$.
\end{dingautolist}
 \end{proof}
Soit $m\in\R$, $p\in\R$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{comment}
\subsection{Caractérisation vectorielle}
Soit $a\in\R$, $b\in\R$.
On se donne un repère $\oij$ du plan, et $\vu$ un vecteur de coordonnées $\cp{1}{a}$ et $A$ le point de coordonnées $A(0;b)$. On cherche tous les points $M(x;y)$ tels que $\V{AM}$ est colinéaire à~$\vu$. On sait que c'est une droite, et $\vu$ s'appelle un vecteur directeur de cette droite.

\[ \V{AM}\cp{x-0}{y-b}\quad \et{}\quad \vu\cp{1}{a}\]
$\text{det}(\V{AM};\vu )=ax-(y-b)$. Donc $\V{AM}$ est colinéaire à~$\vu$ ssi $y=ax+b$

\begin{prop} L'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $\V{AM}$ est colinéaire à~$\vu$ est la droite de vecteur directeur $\vu\cp{1}{a}$ passant par $A$.  Elle admet comme équation réduite: $\boxed{y=ax+b}$ 
\end{prop}
\end{comment}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{prop} \label{prop.vec.dir}L'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $\boxed{y=mx+p}$ est la droite de vecteur directeur $\vu\cp{1}{m}$ passant par $A(0;p)$. \end{prop}
\begin{proof} Soit $M(x;y)$. On a $\vu\cp{1}{m}$ et $\V{AM}\cp{x-0}{y-p}$. \newline Donc $\det (\V{AM};\vu )=mx-(y-p)=-y+mx+p$. Ainsi $\V{AM}$ est colinéaire à~$\vu$ ssi $y=mx+p$
\end{proof}
\begin{Def} La droite $\Dr$ d'équation $y=mx+p$ passe par $A(0;p)$, $p$ s'appelle l'ordonnée  l'origine, et $m$ s'appelle le coefficient directeur de la droite~$\Dr$ \end{Def}
%Les deux propriétés ci-dessus disent qu'une 
\exemple L'équation $y=-2x+3$ est-elle l'équation d'une droite~$\Dr$? Son coeff. dir. est $-2$ son o.o. est $3$. Les points suivants appartiennent-ils à~$\Dr$? 
\[ P(-1;1)\; ;\; Q(2;-1)\; ;\; R(-\frac12; 4)\]
Déterminer l'abscisse du point d'intersection de $\Dr$ avec $(Ox)$. 

\subsection{Comment déterminer l'équation réduite d'une droite $(AB)$}
Soit deux points $A(x_A;\,y_A)$ et $B(x_B;\,y_B)$. On cherche l'équation de la droite $(AB)$.
\Bullet{}Si $x_A=x_B$, alors l'équation réduite de $(AB)$ est: $x=x_A$.
\Bullet{}Si $x_A\neq x_B$, $\V{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$ et  un autre vecteur directeur de $(AB)$ est:
\[ \vu = \frac{1}{x_B-x_A}\V{AB}.\quad \text{Or:}\quad\V{AB}\cp{x_B-x_A}{y_B-y_A}\quad \text{D'où:}\quad \vu\cp{1}{\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}
\]
Ainsi par la propriété~\ref{prop.vec.dir} le coefficient directeur de $(AB)$ est $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. Il reste à trouver l'ordonnée à l'origine:~$p$.\\
\noindent
\parbox{\linewidth}{
\centrage{Méthode}
Si $x_A=x_B$, (\ie{} $(AB)$ est parallèle à $(Oy)$, alors l'équation réduite de $(AB)$ est: $x=x_A$. Sinon:
\begin{dingautolist}{172} 
\item On note $y=mx+p$ l'équation de $(AB)$.
\item On calcule le coefficient directeur $m$ par: $\boxed{m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$.

\item On écrit: $A\in (AB)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation $y=mx+p$. Donc: \mbox{$y_A=mx_A+p$}
\item \`A ce stade seul $p$ est inconnu, et on en déduit donc~$p$.
\item On conclut: $(AB)$ a pour équation: $y=\dots$
\end{dingautolist}
\hrule
}
\exemple $A(3;2)$ et $B(-1;4)$. Trouver l'équation réduite de $(AB)$. On comparera au résultat trouvé à l'exercice~\ref{exo.eq.cart}.
\begin{dingautolist}{172} 
\item On note $y=mx+p$ l'équation de $(AB)$.
\item $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{4-2}{-1-3}=-\frac12$

\item $A\in (AB)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation $y=-\frac12 x+p$. Donc: $2=-\frac12\times 3+p$
\item On résout: $2=-\frac12\times 3+p\implies p=2+\frac32\implies p=\frac72$
\item On conclut: $(AB)$ a pour équation: $y=-\frac12 x+\frac72$
\end{dingautolist}
\begin{rem}
Si on dispose de la droite tracée, on relève deux points dont les
coordonnées sont claires et on procède de même. De plus si on lit
clairement l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe
des ordonnées, cela nous donne directement $p$ l'ordonnée à l'origine.\\
 \end{rem}
\begin{rem} 
 Si $(d)$ a pour eq réduite $y=mx+p$ c'est la courbe de
la fonction affine...
Si $(d)$ a pour eq réduite $x=x_0$ ce n'est la représentation d'aucune
fonction (pourquoi?)
\end{rem}
\section{Droites parallèles}
\begin{prop} Deux droites sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. \end{prop}
On a vu (prop.~\ref{prop.eq.cart.vect.dir} et prop.~\ref{prop.vec.dir}) que la droite:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ admettait $\vu\cp{-b}{a}$ comme vecteur directeur.
\item d'équation réduite $y=mx+p$ admettait $\vu\cp{1}{m}$ comme vecteur directeur.
\end{list}
Par conséquent pour savoir si on dispose des équations de deux droites, on peut trouver un vecteur directeur pou chacune, calculer leur déteminant et si il est nul, les droites sont parallèles, sinon, elles ne le sont pas.
\subsection{Avec deux équations réduites}
\begin{prop} Soit  $\Dr:\ y=mx+p\quad\et{}\quad \Dr:\ y=m'x+p'$. Alors:
\[\boxed{\Dr\parallele\Dr' \iff m=m'}\]
\end{prop}

\begin{proof} Soit $\vu\cp{1}{m}$ et $\vu '\cp{1}{m'}$. $\det(\vu;\vu')=m'-m$.
\end{proof}
\subsection{Avec deux équations cartésiennes}
\begin{prop} Soit  $\Dr:\ ax+by+c=0\quad\et{}\quad \Dr' : a'x+b'y+c'=0$. Alors:
\[\boxed{\Dr\parallele\Dr ' \iff 
\left|\begin{array}{ll}
a&a'\\
b&b'
\end{array}\right|=
ab'-a'b=0}\]
\end{prop}

\begin{proof} Soit $\vu\cp{-b}{a}$ et $\vu '\cp{-b'}{a'}$. $\det(\vu;\vu')=-ba'+ab'$. Donc $\det(\vu;\vu')=0 \iff ab'-a'b=0$.
\end{proof}
\section{Systèmes d'équations}
On s'intéresse aux systèmes linéaires à deux équations et deux inconnues $x$ et~$y$. \ie{} les systèmes de la forme:
\[S:\quad\left\{
\begin{array}{ll}
ax+by+c=0\\
a'x+b'y+c'=0
\end{array}\right.
\]
\subsection{Point de vue géométrique}
On reconnaît deux équations cartésiennes de droites disons $\Dr$ et $\Dr'$. Résoudre le système $S$ signifie trouver un $x$ et un $y$ qui vérifient les deux équations simultanément. On cherche donc les coordonnées d'un point qui soit sur $\Dr$ et sur $\Dr'$. 
\begin{prop} Résoudre le système $S$ revient à chercher les coordonnées d'un éventuel point d'intersection des deux droites d'équations cartésiennes respectives: \mbox{$ax+by+c=0$} et \mbox{$a'x+b'y+c'=0$}.\end{prop}
Il existe une unique solution \ie{} un unique couple $(x;y)$ solution ssi les droites ne sont pas parallèles.
\begin{Def} On appelle déterminant du système $S$ le réel:
\[ \left|\begin{array}{ll}
a&a'\\
b&b'
\end{array}\right|=
ab'-a'b
\]
\end{Def}
\begin{prop} Le système admet un unique couple solution ssi le déterminant du système est non nul. \end{prop}
\begin{proof} Si le déterminant est nul, les deux droites sont parallèles, donc elles  n'ont soit aucun point commun soit une infinité de points commun. Si le déterminant est non nul, les droites sont sécantes et l'unique point d'intersection a des coordonnées qui vérifient les deux équations.\end{proof}
\subsection{Résolution du système}
\subsubsection{Par substitution}
cf collège
\subsubsection{Par combinaison}
\begin{prop} On a les deux règles suivantes qui ne changent pas les solutions du système:
\begin{dingautolist}{172} 
\item On peut multiplier une ligne par un réel non nul.
\item On peut remplacer une ligne par la somme (ou la différence) des deux lignes.
\end{dingautolist}
\end{prop}
\centrage{Règle}
On peut remplacer une des équations par une combinaison
    linéaire des deux équations. \\
\ie{} On peut remplacer la ligne  $(L_1)$ par $2L_1-3L_2$\\
 \hrule
\noindent\parbox{\linewidth}{
\centrage{Méthode}
Pour résoudre un système:
\begin{dingautolist}{172} 
\item On calcule le déterminant du système, si il est nul, on s'arrète et on écrit: \og{} Le système n'a pas une unique solution \fg{} sinon:
\item On multiplie une ligne ou les deux par un réel de manière à ce que le coefficient de $x$ (ou de $y$) soit le même dans les deux équations.
\item On réécrit la première ligne et on remplace la seconde par la différence des deux. \`A ce stade les $x$ ont disparu de la deuxième ligne.
\item On trouve une des inconnues avec la deuxième équation, on remplace alors dans la première pour trouver l'autre inconnue.
\end{dingautolist}
}
\DangerZ \`A chaque étape il faut garder un système avec deux équations, on sépare les systèmes par le signe~$\iff$.
\centrage{Exemple de résolution}
%%%%%%%%
\[ (S) \iff %\displaystyle 
\left\{\begin{array}{rcrc}
2 x-3 y&=&-1\quad&(L1)\\
-3 x+5y&=&4 &(L2)
\end{array}\right. 
\iff
\left\{\begin{array}{rcrc}
6 x-9 y&=&-3\quad&(L1)\times 3\\
-6 x+10y&=&8 &(L2)\times 2
\end{array}\right. 
\]
Maintenant, si on additionne les deux lignes terme à terme (les $x$
avec les $x$, les $y$ avec les $y$ et les constantes ensemble) les $x$
s'annulent: $6x-6x=0$, il reste à gauche: $10y-9y=y$  et à droite:
$8-3=5$. On remplace donc la deuxième équation par la somme des deux
dernières soit par: $(L2)\times 2+(L1)\times 3$ 
\[(S) \iff
\left\{\begin{array}{rcl}
2 x-3 y&=&-1\\
      y&=&5 
\end{array}\right. 
\iff 
\left\{\begin{array}{rcl}
2 x&=&-1+3\times 5\\
      y&=&5 
\end{array}\right. 
\iff 
\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&7\\
y&=&5 
\end{array}\right. 
\]
\hrule
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exemple 
Résoudre par les deux méthodes les systèmes:
\[ 
(S): \left\{
\begin{array}{ll}
  3x-y=2\\
  2x+y=8
\end{array}\right.\qquad
(S'): \left\{
\begin{array}{ll}
  2x-3y=-1\\
  4x+5y=1
\end{array}\right.
\]
Cas où le det est nul:

\[ 
(S): \left\{
\begin{array}{ll}
  2x-y=-3\\
  -6x+3y=10
\end{array}\right.\qquad
(S'): \left\{
\begin{array}{ll}
  6x-2y=12\\
  -x+\frac13 y=-2
\end{array}\right.
\]
%%#################################
\chapter{Fonctions de référence}
%\minitoc
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \begin{dingautolist}{172} \item \end{dingautolist}
\section{Fonctions affines}

\subsection{Fonction affine ou linéaire}
\subsubsection{Fonction affine}
\begin{Def} Une fonction affine est une fonction $f$ définie sur $\R$ dont l'expression est de la forme: $f(x)=mx+p$. $m$ s'appelle le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
\end{Def}
\exemples $f(x)=-x+2$, $f(x)=3$, $f(x)=-2(x+3)$, $f(x)=\frac{x+2}{3}$ sont des expressions de fonctions affines. Donner leurs coeff. dir. et leur o.o.
\subsubsection{Fonction linéaire}
\begin{Def} Une fonction linéaire est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle.\end{Def}
Les fonctions linéaires correspondent à des phénomènes de proportionalité.
\exemple $\Para=2\pi R$. $\Para$ est proportionnel au rayon, le coefficient de proportionalité est $2\pi$. Donc \mbox{$f: R\mapsto 2\pi R$} est une fonction linéaire. Mais \mbox{$g: R\mapsto \pi R^2$} n'est pas linéaire.
\subsection{Représentation graphique}
 \begin{prop} La représentation graphique d'une fonction affine d'expression $f(x)=mx+p$ est la droite d'équation $y=mx+p$. \end{prop}
On a donc tous les résultats déjà vu sur les équations de droites.
Vous devez savoir déterminer l'expression d'une fonction affine $f$ connaissant deux informations comme:
\begin{dingautolist}{172} 
\item $f(2)=-4$ et $f(-1)=3$
\item Le coefficient directeur vaut 2 et $f(1)=5$.
\item L'ordonnée à l'origine vaut $-1$ et $f(2)=3$.
\item $\vu\cp{2}{3}$ est un vecteur directeur de la droite représentant $f$ et $f(0)=1$.
\end{dingautolist}
\subsection{Caractérisation par le taux de variation}
\begin{Def} Soit $f$ une fonction quelconque définie sur $\R$. Soit $x_1$ et $x_2$ deux réels distincts. On appelle taux de variation de $f$ entre $x_1$ et $x_2$ le réel:
\[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\] \end{Def}
Vous devez reconnaitre un quotient du type $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Ce nombre donne le coefficient directeur de la droite $(AB)$ où $A(x_1;f(x_1)$ et $B(x_2;f(x_2)$. Ces deux points étant donc sur la courbe de~$f$.

%% \exemple 

\begin{prop} Les fontions affines sont exactement les fonctions dont le taux de variation est constant. 
Ce taux de variation est le coefficient directeur.
\end{prop}

Il y a deux choses à démontrer:
\begin{dingautolist}{172} 
\item Une fonction affine a un taux de variation constant (\ie{} qui ne dépend pas du choix de $x_1$ et $x_2$).
\item Une fonction qui a un taux de variation constant est une fonction affine (dont le taux de variation est le coefficient directeur).
\end{dingautolist}
\begin{proof} 
\begin{dingautolist}{172} 
\item Soit $f$ une fonction affine, d'expression: $f(x)=mx+p$. Soit $x_1$ et $x_2$ deux réels distincts. 
\[f(x_2)-f(x_1)=\dots =m(x_2-x_1)\]
Donc le taux de variation vaut $m$ quels que soit $x_1$ et $x_2$ distincts choisis.
\item Soit $f$ une fonction qui a un taux de variation constant, égal à~$m$. En particulier le taux de variation entre $0$ et un réel non nul $x$ vaut~$m$. On a donc:
\[\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=m\implies f(x)=mx+f(0)\]
Ainsi $f$ est bien une fonction affine dont le taux de variation est le coefficient directeur, et d'ordonnée à l'origine~$p=f(0)$.
\end{dingautolist}
\end{proof}
On peut utiliser cette propriété pour prouver qu'une fonction n'est pas une fonction affine.
\exercice Soit $f$ une fonction qui admet le tableau de valeurs suivant:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
$x$ & $-2$ & $1$ & $4$\\\hline 
$f(x)$ & $5$ & $1$ & $-2$\\\hline 
\end{tabular}
. Prouver qu'elle n'est pas affine.
\newline
On peut utiliser cette propriété pour trouver la valeur prise par une fonction affine, sans connaître son expression:
\exercice Soit $f$ une fonction affine, compléter ce tableau de valeurs:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
$x$ & $-2$ & $1$ & $4$\\\hline 
$f(x)$ & $5$ & $1$ & ? \\\hline 
\end{tabular}
\subsection{Sens de variation}
\begin{prop} Une fonction affine est monotone, son sens de variation est donné par le signe du coefficient directeur~$m$:
\begin{dingautolist}{172} 
\item $m\geq 0\implies f$ croissante.
\item $m\leq 0\implies f$ décroissante.
\item $m= 0\implies f$ constante.
\end{dingautolist}
\end{prop}

\begin{proof} Soit $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$. $f(x_2)-f(x_1)=m(x_2-x_1)$. Comme $(x_2-x_1)>0$, $f(x_2)-f(x_1)$ est du signe de~$m$. D'où le résultat.
\end{proof}
cf figure~\ref{fig:fct.affine}
\begin{figure}[htbp]
  \centering
 % \includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.13}%
%\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.14}%
%\includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.15}
  \caption{Fonctions affines: croissante, décroissante, constante.}
  \label{fig:fct.affine}
\end{figure}
\subsection{Tableau de signe}
\subsubsection{Résoudre $mx+p=0$}
\subsubsection{Signe de $mx+p$}
\subsubsection{Signe d'un produit $(ax+b)(cx+d)$}
\subsubsection{Signe d'un quotient $\frac{ax+b}{cx+d}$}


\section{Fonction carré}
\subsection{Rappels}
\subsubsection{Propriétes du carré d'un réel}
\begin{prop}\label{carre.rap} On a déjà établi les propriétés suivantes:
\begin{dingautolist}{172} 
\item Le carré d'un nombre réel est positif ou nul, c'est-à-dire: \mbox{$\forall x\in\R\ x^2\geq 0$}
\item Deux nombres réels opposés ont même carré, c'est-à-dire : \mbox{$\forall x\in\R\ x^2=(-x)^2$}
\item Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.\label{carre.ordre}
\end{dingautolist} 
\end{prop}
\begin{prop}[Produits remarquables] Pour tous réels $a$ et $b$ on a:
\begin{dingautolist}{172} 
\item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
\item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
\item $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
\end{dingautolist} 
\end{prop}
\subsection{\'Etude de la fonction carré}
\begin{Def}La fonction carré $f$ est définie sur $\R$ par \mbox{$f(x)=x^2$}
\end{Def}

\begin{prop}[Parité]On dit que la fonction carré est paire car elle vérifie pour tout $x$ de $\R$ \mbox{$f(x)=f(-x)$} \ie{} \mbox{$(-x)^2=x^2$} 
\end{prop}

\begin{prop}[Sens de variation] La fonction carré est croissante sur $\R^+$ (par prop.~\ref{carre.rap}~\ref{carre.ordre}). Elle est décroissante sur~$\R^-$
\end{prop}
\begin{proof} Soit $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que $x_1<x_2$. $f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)$. Comme $(x_2-x_1)>0$ alors $f(x_2)-f(x_1)$ est du signe de $(x_2+x_1)$ d'où le résultat. \end{proof}
Ainsi la fonction carré présente un minimum en zéro, qui vaut zéro.
\subsubsection{Tableau de variation}
\subsubsection{Courbe représentative}
\begin{Def} 
Dans un plan muni d'un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole. 
L'origine du repère est le sommet de cette parabole. 
\end{Def}
cf. figure~\ref{fig:parabole.hyperbole}.
\begin{prop} La représentation graphique de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. (cela vient de la parité)
\end{prop}
\subsection{\'Equations, inéquations}
\begin{prop} L'équation $X^2=a$  peut avoir 0, 1 ou deux solutions:
\begin{dingautolist}{172} 
\item Si $a<0$, $X^2=a$ n'a aucune solution car un carré est positif.
\item  Si $a=0$, $X^2=0$ a une unique solution: zéro.
\item Si $a>0$, $X^2=a$ a deux solutions distinctes: $\sqrt a$ et~$-\sqrt a$.
\end{dingautolist}
\end{prop}
\exercice Résoudre dans $\R$: $4x^2=1$; $(3x+2))^2=5$; $(3x-4)^4=0$; $(2x^2-3x+2)^2+1=0$.
\exercice Résoudre les inéquations suivantes par un raisonnement graphique: $x^2\leq 4$; $x^2\geq 2$, $x^2<-1$.
\exercice \`A l'aide d'un tableau de variation, déterminer un encadrement de $x^2$ lorsque: $x\in\intfo{2}{5}$; $x\in\intf{-2}{1}$; $x\in\intof{-5}{6}$.
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \begin{dingautolist}{172} \item \end{dingautolist}

\section{Fonction inverse}
\subsection{\'Etude de la fonction inverse}
 \begin{Def} 
La fonction inverse $f$ est définie pour tout nombre réel différent de 0 par : $f(x)=\frac{1}{x}$ . 
La fonction inverse est définie sur $\R^*$
\end{Def}
Autrement dit zéro est une valeur interdite pour la fonction inverse.
\begin{prop}[Parité]On dit que la fonction inverse est impaire sur $\R^*$ car elle vérifie: $f(-x)=-f(x)$ sur $\R^*$.
\end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}
\begin{prop}[Sens de variation] 
La fonction inverse est décroissante sur $\intof{-\infty}{0}$ et décroissante sur $\intfo{0}{+\infty}$
\end{prop}
\DangerZ On ne dit pas qu'elle est décroissante sur $\R^*$  car ce n'est pas un intervalle ! Contre exemple avec $x_1<0<x_2$ et $f(x_1)<f(x_2)$
%% \begin{proof} \end{proof}
\subsection{Tableau de variation}
\subsection{Hyperbole}
\begin{Def} Dans un plan muni d'un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole.
 \end{Def}

 \begin{prop} Cette hyperbole est symétrique par rapport à l'origine du repère. c'est une conséquence du fait que la fonction inverse est impaire. \end{prop}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.8}
  \caption{Parabole représentant la fonction carré et hyperbole représentant la fonction inverse}
  \label{fig:parabole.hyperbole}
\end{figure}


\section{Fonctions trigonométriques}
\subsection{}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/NewCourbe.3}
  \caption{Courbe de la fonction cos}
  \label{fig:courbe.cos}
\end{figure}

%%%#########################################
\chapter{Géométrie dans l'espace}
\Marge{Poly} \verb#Geom_3D#
%\minitoc
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \begin{dingautolist}{172} \item \end{dingautolist}
\section{Points, droites, plans de l'espace}
\Marge{Modules}
\section{Orthogonalité dans l'espace}
\begin{Def} On dit qu'une droite est orthogonale à un plan si elle est perpendiculaire  deux droites distinctes de ce plan.\end{Def}
\begin{prop} \end{prop}

\section{Section d'un solide par un plan}
%Pb pour mettre deux includegr dasn une figure?
%\begin{figure}[htbp]
\Marge{Poly:} \verb! Geometrie_3D/Cours_activite/Sections!\\
%--------------
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.2}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.4}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.6}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.8}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.10}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.12}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.14}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.16}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.18}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics%%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.20}
\end{minipage}\\
\clearpage
%\rfoot{\bf Solutions}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.3}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.5}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.7}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.9}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.11}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.13}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.15}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.17}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.19}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics[width=7cm]%
{/home/pan/Desktop/TeX_MiX/Figures/Metapost_fig/Section.21}
\end{minipage}\\





 % \caption{}
%  \label{section.1}
%\end{figure}
%%%%%%

%%%%%%
%%%#########################################

\chapter{Statistiques}
%\minitoc
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \begin{dingautolist}{172} \item \end{dingautolist}
\section{Différentes représentations}
\section{Résumés numériques d'une série statistique}
\subsection{Tendance centrale}
\subsubsection{Moyenne}
\begin{Def} \end{Def}
\subsubsection{Médiane}
\begin{Def} \end{Def}
\subsection{Dispersion}
\subsubsection{\'Etendue}
\begin{Def} \end{Def}
\subsubsection{Quartiles, diagramme en boîte}
\begin{Def} \end{Def}
\section{\'Echantillonnage et simulation}
%%%#########################################

%\appendix
%\sommaire[2] %marche pas

\end{document}



%%%#########################################
%% \begin{Def} \end{Def}
%% \exemple 

%% \begin{prop} \end{prop}

%% \begin{proof} \end{proof}

%% \begin{rem} \end{rem}
%% \begin{dingautolist}{172} \item \end{dingautolist}

\chapter{}
\section{}
\subsection{}
\subsubsection{}
\subsubsection{}